3. Étude de fonction d`une variable réelle

3. Étude de fonction d’une variable réelle
3.1 Généralités
3.1 Généralités
3.2 Continuité, dérivabilité
3.2 Continuité, dérivabilité
3.3 Opérations sur les limites d’une fonction
3.3 Opérations sur les limites d’une fonction
3.4 Plan d’étude d’une fonction
3.4 Plan d’étude d’une fonction
3.5 Formule de Taylor
3.5 Formule de Taylor

3.1 Généralités
a) Ensemble de définition
I={x Є R tel que f(x) existe}
Exemple:
] [
+∞=
−
=,1 ,
1
1
)(
f
D
x
xf

b) Propriétés de base
Soit f:D
f
Rune fonction.
Définition : fonctions paires/impaire
paires f(-x)=f(x) pour tout x ЄD
f
(symétrie par rapport a l’axe Oy)
impaire f(-x)=-f(x) pour tout x ЄD
f
(symétrie centrale par rapport a l’origine)
Définition : fest périodique de période T (ou T-
périodique) si pour tout x ЄR f(x+T)=f(x)

3.2 Continuité, dérivabilité
a) Continuité
Définition: On dit que fest continue en asi
f est dite continue sur un intervalle I si elle est continue en tout
point ade I.
)()(lim afxf
ax
=
→

b) Dérivabilité
Définition : On dit que fest dérivable en a si
vaut une valeur finie let alors f’(a) est égale a cette limite l.
Exemple: f(x)=x
2
+1 en a=0
l
ax
afxf
ax
=
−
−
→
)()(
lim
0limlim
11
lim
0
)10()1(
lim
0
2
0
2
0
2
0
===
−+
=
−
+−+
→→→→
x
x
x
x
x
x
x
xxxx