Représentations linéaires et espaces homogènes

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J EAN -P IERRE S ERRE
Représentations linéaires et espaces homogènes
kählériens des groupes de Lie compacts
Séminaire N. Bourbaki, 1951-1954, exp. no 100, p. 447-454
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1951-1954__2__447_0>
© Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1951-1954,
tous droits réservés.
L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki.
ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la
présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire BOURBAKI
(Mai 1954)
REPRÉSENTATIONS
LINÉAIRES
ET ESPACES
HOMOGÈNES KÄHLÉRIENS
DES GROUPES DE LIE COMPACTS
par Jean-Pierre SERRE.
Les résultats
vont être
qui
exposés sont dûs à
(non publiés)
Armand BOREL et André WEIL
Espaces homogènes symplectiques.
Une variété compacte connexe X est dite symplectique si sa dimension est un
nombre pair, soit 2n , et s’il existe x E
tel que
0 (dans ce
numéro, les groupes de cohomologie sont pris à coefficients réels). Toute variété
kählérienne est symplectique.
1.
THÉORÈME 1. - Soient
G
un
groupe de Lie
compact, connexe, semi-simple,
G/U est symplectique, il existe un tore
soit égal au commutant C(S) de S dans G (autrement dit,
s.x
pour tout se S).
particulier (HOPF)~ U est un groupe connexe de même rang que G.
un sous-groupe
tel que
fermé
de
G . Si
et
U
S cG
U
=
En
(Un
cas
particulier
ce
théorème
se
trouve dans
une
Note de LICHNEROWICZ
[1] ;
également [2] ).
voir
DÉMONSTRATION. S
soit
(resp.
a
de
(resp.
Soit
composante connexe de l’élément neutre de U ,
la composante connexe de l’élément neutre du centre de U
o
du centre de
Uo
la
et soit
V =
C(S)
le commutant de
S
dans
G.
On
donc les inclusions :
Considérons le diagramme commutatif suivant :
où 03C4
désigne
la
le sous-groupe de
par
U/U~ .
transgression,
H~(U~)
(resp,
et où
de
(resp.
H~(G/U~) )
447
H2(G/Uo)U/Uo)
désigne
formé des éléments invariants
semi-simple, Hl(G)
= 0 , d’où il résulte tout de suite
que C est une bijection (noter que V est connexe, d’après un résultat bien
connu, dû à HOPF). D’autre part, la définition même de V montre que « est
surjectif, et un théorème élémentaire sur les revêtements finis montre que est
bijectif. Donc Y est surjectif.
G
Puisque
est
=
S’il existe
Ii-(G/u)
dim
dim
V ~
U , d’où
V
=
=
dim
GlU),
il existe alors aussi
qui entraîne évidemment dim G/V ~ 2n , d’où
puisque V est connexe, et l’on a bien U C(S).
0,
avec
(2n
0
avec
ce
U
=
C.Q.F.D.
REMARQUES. - Réciproquement, si U = C(S) , on peut construire sur .G/U une
métrique kählérienne telle que G/U soit une variété de Hodge. Cela peut se voir
par une méthode ~infinitésimale". Mais nous obtiendrons au n° 3 un résultat plus
précis,
exhibant
en
On notera que,
un
plongement
. Structure complexe
Soit
T
(resp. G).
û
on
tel
,
homothétie
W
notera
("chambre
Le
ai(x)
désignera
G,
est
par
une
e
forme
la
de
l’élément de
est
a1,...,ar
partie de t définie
9 ’
pour tout
un
par
(x,y)
désignerons par h
où
a
défini par
b
nales à
de
trouvent
en
parti-
E:;t, c
sous
a
la forme
est
une
complexifiée
de Lie
(ea
T
Lie de
est défini à
de racines
de g ,
de
une
on
ai(t) )~ 0 ~
l’opposé
en
particulier,
des
racines ~
0
Killing
les
ai
do
g
peuvent
g c engendré
par
C’est
une
de 9 .
~C c .
élément de
soit
b 9
le sous-espace vectoriel de
sous-algèbre
W ,
l’ensemble des
racines ~ 0 orthogog c engendré par b et les e -a,
L b de 9 c (en effet, L b est engendrée par
un
une
de la forme de
.
est
est
t
le sous-espace vectoriel de
parcourt l’ensemble
e ,
sous-algèbre résoluble
Si
algèbre
système simple
les inégalités
permet d’identifier t et t c à leurs duals ;
être considérés comme des éléments de t .
et les
se
Weyl").
produit scalaire
Nous
C(S),
linéaire réelle sur t . Si
=
Si
type
projectif.
(resp. 9 ) l’algèbre de
9 (relativement’ à t )
t
que [t,e a ] 2 n i.a(t).ea
près).
du
espace
G/U.
sur
Nous écrirons les racines de
où
racine,
U
un
G .
tore maximal de
un
dans
les sous-groupes
parmi
culier les tores maximaux de
2.
G/U
de
Pb
t
et les
t
L= ~ ~
si
bE W ). Si
où
e
en
désignant par C (b)
un
tore de
T,
dense, d’où
un
~b - 9 c . On voit
b = 0 1
on
l’ensemble des
b ( t
automorphisme intérieur,
un
Nous supposerons à
clair que cela
simplement
fermée
gèbres
partir
connexe
soient
trer que
Lb
il G
cela résulte
Tc’
C(b) ;
et
T
=
(BOREL
C(b)
également
G/C(b) =
que
9c,
Gc/Lb ’
et
outre,
effectuant
en
connexe ; il est
simplement
contient
le groupe
Gc
G
comme
complexe
sous-groupe
les sous-groupes de
cela résulte de
et de même pour
et WEIL utilisent
comme on a vu
est
paramètre partout
H).
De
ce
plus,
raisonnement
un
théorème 1 et de la construction du n°
du
S
0 . Si
d’al-
Gc
sont des sous-groupes fermés de
L~
pour
9c,
est
C(b) ,
ce
en
Soit alors
qui
H,
C (b) ;
pour
G
généralité.
=
b E W .
supposer que
de Lie
propre normalisateur dans
son
peut
de
(c’est évident
sous-groupe à 1
de maintenant que
d’algèbre
on sait ?
comme
on
intérieur à W ,
[x,b] =
tels que
E9
un
est
tout de suite que
que £ (b) = J~(S) ;
tel
restreint pas la
ne
S
trouver dans
peut
élément
x
b
que tout
C(S)
est
égal
est
peut mondirect, mais
on
3),
à
L.
que
Gc
On
en
déduit
C(b~ ~
un
on
obtient finalement :
THEOREME 2. - Les espaces
G)
homogènes G/U ~
où
U
=
C(S) (S
était
un
tore de
sont des
En
espaces homogènes complexes.
particulier, G/T Gc/H est un espace homogène complexe,
=
observé BOREL dans
(On notera toutefois que la structure complexe
du système simple de racines choisi).
3. Plongement associé à
Soit
x ~
vectoriel
dite
un
Q,t(e)
n’est
Q,x
une
complexe
représentation linéaire complexe
de
9c
E
de
inversement,
est
dant à
un
ainsi obtenue
G .
poids pour
poids dominant ;
unique et l’élément
si E
G/U
de
aucune
un
de
représentation irréductible
une
dimension finie. Une forme linéaire
poids do la représentation, s’il
~ 21i.b(t).e pour tout t et ;
un
l’avait
comme
thèse.
sa
si la
e
valeur de
i
représentation
correspondant
existe
un
poids
b
un
tel que
est dit dominant si
toute
espace
t est
sur
e~0,e~E,
(1 i ~ r) ;
est
dans
dépend
b
+
a
représentation possède
irréductible, ce poids dominant est
déterminé (à une homothétie près) ;
est bien
engendré par les transformés d’un élément e
poids dominant, la représentation est irréductible. Enfin,
correspon-
les
poids
représentations
dominants des diverses
de
sont
9c
caractérisés par les for-
mules :
A tout
poids dominant b,
(c’est licite,
l’espace homogène
n~ 2
au
peut faire correspondre l’algèbre
on
Gc/Lb
dit associé à cette
dit strictement associé à la
sera
irréductible de poids dominant
b;
représentation.
d’écrire) ;
représentation
les formules que l’on vient
d’après
car
comme
tout espace
G/U -
où
b’
On observera que, si
I~, C Lb
est
un
sera
élément quel-
toujours un poids dominant b tel que Lb = Lb, : il
suffit de prendre b orthogonal aux mêmes
ai que b’ ~ ce qui est.évidemment
tout
Donc
du
étudié
espace G/U
plus haut est strictement associé
possible.
type
conque de
à
W ~
il existe
de G .
représentation irréductible
c
une
Soit alors
x >
E ,
et
prolongeons-la
est
un
élément ~
0
une
p,X
en une
E
de
représentation de g C
représentation analytique
correspondant
si
inversement,
propre de
dans
telle
au
Si
de
poids dominant b ~
est tel que
x ~ Gc
espace vectoriel
un
admette
Ax
est
e
e
un
e
vecteur
pour vecteur
xE Lb (on
vérifie d’abord, par la théorie infinitésimale, que, si
il en résulte évidemment que, si
est vecteur propre de
~, X ~ on a x ~
propre,
on a
L;
e
est vecteur propre de
e
revient donc à prouver
A ,
que Lb
BOREL et WEIL démontrent par
Gantmacher ;
un
tout
est contenu dans le normalisateur de
x
est
son
propre normalisateur dans
raisonnement direct, utilisant
un
Gc f
ce
que
résultat de
mais cela résulte aussi du théorème 1 et des résultats établis ci-
dessous).
l’espace projectif complexe quotient de E
d’équivalence définie par les homothéties, et soit K
P
Soit
de
E -- ~ 0
P. A tout
sur
on
obtient ainsi
x
tante
une
ferons
0~
la
par la relation
projection canonique
correspondre ;1 1 élément
application
consC
N
sur
les classes
qui Précède,
N
est
de Gc),
x E. G c
nous
-
~Qb
mod
donc
est biunivoque. On vérifie par
partout
d’après
qui définit
de rang maximum
(il
ce
raisonnement infinitésimal
un
,
,
,
suffit de le voir â l’élément neutre
donc :
THÉORÈME 3. -
définit un
Toute
représentation irréductible
plongement b
de
=
G/U
comme
poids dominant b ,
sous-variété analytique sans
de
de
singularités (donc algébrique; d’après CHOW)
associé à l’espace de la représentation.
Si
G/U
de
sous-espace
de
P ,
éléments
tation
G/U
dans
P ~ d’où
l’irréductibilité de A .
une
classe de cohomo-
part,
le
d(G/U,Z) ,
donc
b
et
vu
poids b peut être identifié à un élément
de
par transgression. On peut montrer que les
coïncident (au signe près, dépendant des conventions d’oriend’autre
logie
h
obtient par compo-
sur
système linéaire précédent définissent
Les diviseurs du
4.
de diviseurs
projectif
Hl(U,Z) ,
on
G/U : 1.’image réciproque des sections hyperNous verrons au n° 4 que ce système est complet ; notons
qu’en tout cas l’image de G/U dans P n’est contenue dans aucun
dès maintenant
de
variétés algébriques.
une
système linéaire
planes
sont des
l’espace projectif complexe
associé à la représentation Ax 1
simplement
-b-~. P
application analytique de
est
sition :
un
G/U
les variétés
En particulier,
de
choisies).
Représentation
irréductible associée à
une
classe de diviseurs
sur
G/U.
homogène du type étudié ci-dessus. Considérons une
classe d de diviseurs sur G/U contenant au moins un diviseur D > 0 (rappelons que deux diviseurs sont dans la même classe, ou sont linéairement équivalents,
si leur différence est égale au diviseur d’une fonction méromorphe). Soit ~D~
l’ensemble des diviseurs )0 équivalents à D ~ et L(D) l’ensemble des fonctions méromorphes f telles que
(f) ~ ~D ; l’application f-~(f)+D définit
P~ associé à L(D) sur l’enune application biunivoque de l’espace projectif
G/U
Soit
=
Gc/L
~D~ (qui
semble
un
se
espace
trouve ainsi muni d’une structure
projective, d’ailleurs
».D est un diviseur
indépendante du diviseur D choisi dans d). Si x
de G/U , évidemment .?- 0 , et qui est linéairement équivalent à D ( en effet,
G/U est kählérien, puisque algébrique, et de plus simplement connexe, puisque U
a
même rang que
à
phe
puisque
un
G ;
donc le groupe des classes de diviseurs de
sous-groupe de
Gc
est
Soit
connexe).
une
d’un espace
sur
On
base de
a
lequel
G
ne
c
G/U
est isomor-
peut qu’opérer trivialement,
donc
L(D).
Si l’on fait
correspondre à
tout
xEG/U
on
projectif P de coordonnées homogènes
a priori "méromorphe" , de
application
G/U dans P ; en fait
cette application est partout nolomorphe : cela résulte de ce que la série linéaire complète IDI n’a pas de "points de base" (autrement dit, pour tout
point
obtient
une
Fo(x)~ " ,~ r(x) ~
le
il existe
DI E
~D)
tel que
à
xfD’
IDI
de l’invariance de
cause
par
translation). L’espace projectif P peut être considéré comme "dual" de l’espace
P associé à L(D)~ ~ les éléments de ~Di sont les images réciproques des sections
hyperplanes
de
n’est contenu dans
P. De par
dans
aucune
Nous allons maintenant montrer que l’on
morphisme
P
de
associer à tout
peut
o-(G/U)
même,
P .
E Gc.
x
auto-
un
tel que :
xl.D
Puisque
construction
sa
sous-variété projective de
et que l’on
considérée
connue
fonction de
homothétie
près,
telle que :
a
évidemment
étant
(Fi(x.y)
existe
définie à
fonction
une
une
r
où
A..(x)
est
une
automorphisme x
matrice inversible attachée à
x 9 et
qui définit
donc
un
vérifiant évidemment la condition (*)
(~} détermine uniquement X ~ puisque
outre,
contenu dans aucune sous-variété projective de P ; la même raison montre que x
dépend analytiquement de x ~ donc définit une représentation projective de G .
de
la condition
En
E
Soit alors
l’espace
associé n’est autre que
trouver
une
par passage
à
écrite plus haut.
o-(G/Uj n’est
P
un
quotient.
ment neutre de
tel que
représentation
b
(.)
E
contient
d’après
Nous
avons
E ,
et que
ainsi
E
de
x
projectif
simplement connexe, on p~ut
G
dans E qui donne
c
un
un
Soit
irréductible,
yo l’image dans G/U
E
élément
,~
dans
de l’éléP
soit
vecteur propre de L
donc correspond à un poids doe
donc de
transformés de
l’image
associée
et
est
dont
0
montre alors que
Les
tel que
dans
E’ =
Gc
x-A
Lb:) L .
x--~.AX),
x ~ Gc , engendrent
que
est
espace dont le
Montrons maintenant que
La formule
la
minant
P ;
linéaire
et soit e E E
G~
à
égale
(dans
b
dominant
poids
du fait que
représentation
au
L(D) ,
vectoriel dual de
e
sous-espace vectoriel
est
un
par les
opérations A ~
E’ dont
l’image
dans
P
égale à P , ce qui montre
irréductible d’après ce qui a été rappelé au n° 3.
la formule
est
(~),
complètement reconstitué
donc est
la situation du n° 3. Résumons les
résultats obtenust
THEOREME
4. - Un élément de
seulement si c’est le
Le
système
poids
linéaire complet
H~(G/U~Z)
dominant d’une
|D|
est dual d’un diviseur
représentation
l’espace
est alors dual de
de
G
de la
si et
associée à
GlU.
représentation ;
il est
ample
si et seulement si la
représentation
est strictement associée à
linéaire de diviseurs est dit ample s’il n’a pas de
composante fixe, et si l’application de la variété dans un espace projectif qu’il
définit est un isomorphisme analytique).
(Rappelons qu’un système
exemple, si U = T , tous les poids dominants b L ki.bi (les bi
étant les poids fondamentaux) correspondent à des diviseurs ~ 0 de G/T ; pour
que le système linéaire complet contenant ce diviseur soit ample, il faut et il
Par
=
suffit que tous les
Une
soient ~ 0 .
ki
conséquence intéressante
de
ce
qui précède
sentation irréductible de
D
associé à
b
rème de Riemann-Roch
justement
5.
poids dominant b est égale à la dimension de
plus haut, dimension qui peut être calculée grâce
comme
moyen de la classe de
au
repréL(D) ,
est que la dimension de la
cohomologie
do
au
théo-
D J c’est-à-dire
b , On retrouve ainsi la formule classique d’H. WEYL.
de
Compléments.
D’après GOTO, les variétés G/U sont des variétés rationnelles. Il
probable (et peut-être démontré) qu’elles admettent des décompositions
laires"
dit,
complexes, analogues
il existerait
une
à celles des
grassmanniennes complexes J
famille de sous-variétés de
est même
"cellu.-
autrement
G/U emboîtées, telles que
algébriquement isomorphe
la différence entre deux sous-variétés consécutives soit
à
un
espace affine. C’est
siques,
et
ce
que WEIL
a
en
tout
cas ce
que l’on vérifie pour les groupes clas-
pu démontrer pour
G
=
E6 ’
et
U
convenable.
résulterait notamment que les espaces G/U (et en particulier G/T) n’ont
pas de torsion, conformément à une conjecture émise par BOREL dans sa thèse (et
et pour
au
qu’il avait pu vérifier pour les groupes classiques, pour
Il
en
Gz
moyen des fibrations de
ces
groupes).
F4’
BIBLIOGRAPHIE
[1]
LICHNEROWICZ (André). - Sur les espaces
Paris, t. 237, 1953, p. 695-697.
homogènes kählériens,
C.R. Acad. Sc.
[2] Colloque
de Géométrie différentielle, Strasbourg 1953. - Paris, Centre National de la Recherche scientifique, 1953 (Colloques internationaux du
C.N.R.S. n°
52).
ADDITIF
Les questions mentionnées ci-dessus ont été résolues par BOREL, BOTT, CHEVALLEY,
GOTO, TITS. On en trouvera une bibliographie dans :
BOREL (Armand). - Topology of Lie groups and characteristic classes, Bull.
Amer. math. Soc., t. 61, 1955, p. 397-432.
TITS (Jacques). - Sur certaines classes d’espaces homogènes de groupes de
Lie, Mém. Acad. roy. Belg., t. 29, 1955, p. 168.
[Avril 1957]
454