Fiche 22 : Reconnaître une fraction irréductible

Fiche 22 : Reconnaître une fraction irréductible
Énoncé :
Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ? Justifier.
a.
23
27
b.
345
560
c.
23057
27908
Solution : Commentaires / Conseils :
a.
Les diviseurs de 23 sont 1 et 23.
Les diviseurs de 27 sont 1, 3, 9 et 27.
23 et 27 n'ont que 1 comme diviseur commun donc la
fraction
23
27
est irréductible.
b. 345 et 560 ont 5 comme diviseur commun (car ils
se terminent par 0 ou 5) donc la fraction
345
560
n'est
pas irréductible.
(elle peut être simplifiée au moins par 5)
c.
On utlise l'algorithme d'Euclide :
27908 = 23057 × 1 + 4851
23057 = 4851 × 4 + 3653
4851 = 3653 × 1 + 1198
3653 = 1198 × 3 + 59
1198 = 59 × 20 + 18
59 = 18 × 3 + 5
18 = 5 × 3 + 3
5 = 3 × 1 + 2
3 = 2 × 1 + 1
2 = 1 × 2 + 0
Donc PGCD (27908 , 23057) = 1
23057
27908
est donc irréductible.
a. Lorsque l'on peut déterminer les diviseurs
communs du numérateur et du dénominateur (grâce
aux tables de multuplication) alors la fraction est
irréductible si et seulement si 1 est le seul diviseur
commun.
b. Si le numérateur et le dénominateur possède un
diviseur commun autre que 1 alors on peut simplifier
la fraction.
c. Si le PGCD du numérateur et du dénominateur
d'une fraction est égal à 1 alors la fraction est
irréductible.
On commence toujours par énoncer la méthode
utilisée.
Le PGCD est le dernier reste non nul dans
l'algorithme d'Euclide.
On n'oublie pas de conclure.
Remarque : Cette méthode fonctionne pour tous les
nombres (qu'ils soient « grands » ou « petits »).
Cette fiche a été créée par : Kevin D. (3è3)