Faisceaux localement asphériques - Institut de Mathématiques de

Faisceaux localement asph´eriques
par
Denis-Charles Cisinski
Version pr´eliminaire : 26 janvier 2003.
Institut de Math´ematiques de Jussieu
Universit´e Paris 7-Denis Diderot
Case 7012, 2 Place Jussieu, 75 251 Paris cedex 05 France
[email protected]

Abstract. This text deals with a natural generalization of the theory of Gro-
thendieck’s test local categories in the topos setting. In other words, we give
necessary and sufficient conditions for witch a category of sheaves Emodelize
“canonically” homotopy types (i.e. CW -complexes up to homotopy), and such
that this property remains true locally on E. For this purpose, we develop a
general homotopy theory in sheaves categories with a particular emphasis on
functoriality and descent properties. This allows us to define different homotopy
theories of topoi, and then a language for the theory we are looking for. We are
particularly interested in the caracterization of topoi weak equivalences in terms
of cohomology and of Galois theory, recovering the classical theory of M. Artin
and B. Mazur. We thus obtain a common framework to describe homotopy types
from a combinatorial point of view (for example by considering the topos of
simplicial sets), or from a geometric point of view (for example by considering the
topos of sheaves on the site of real differential or analytic manifolds). Furthermore,
the purely local theory allows the equivariant homotopy theories in this frame
(considering for example the actions of a simplicial group as well as the actions
of a Lie group or of an orbifold).
R´esum´e. Ce texte contribue `a une g´en´eralisation naturelle de la th´eorie des ca-
t´egories test locales de Grothendieck au cadre des topos. Autrement dit, nous y
donnons des conditions n´ecessaires et suffisantes pour qu’une cat´egorie de fais-
ceaux Emod`ele “canoniquement” les types d’homotopie (i.e. les CW -complexes
`a homotopie pr`es) et pour que cette propri´et´e soit locale sur E. Pour se faire, nous
d´eveloppons la th´eorie g´en´erale de l’homotopie dans les cat´egorie de faisceaux, en
mettant l’emphase sur les propri´et´es de fonctorialit´e et de descente. Cela permet
de d´efinir diff´erentes th´eories de l’homotopie des topos, et donc un langage pour
la th´eorie recherch´ee. Nous avons pris soin de caract´eriser autant que possible les
diff´erentes notions d’´equivalences faibles en termes cohomologiques et galoisiens,
faisant ainsi le lien avec la th´eorie de M. Artin et B. Mazur. Nous obtenons ainsi
un cadre g´en´eral permettant de d´ecrire les types d’homotopie d’un point de vue
combinatoire (par exemple en consid´erant le topos des ensembles simpliciaux)
ou bien d’un point de vue g´eom´etrique (par exemple en consid´erant le topos des
faisceaux sur le site des vari´et´es diff´erentielles ou analytiques r´eelles). La th´eo-
rie purement locale permet d’int´egrer dans ce cadre les th´eories de l’homotopie
´equivariantes (par exemple en consid´erant les actions d’un groupe simplicial aussi
bien que celles d’un groupe de Lie ou encore d’un orbifold).

Table des mati`eres
Chapitre 1. Alg`ebre homotopique des faisceaux 5
1. Accessibilit´e 5
2. E-localisateurs 8
Chapitre 2. Combinatoire locale 15
1. Points faibles des topos 15
2. Rel`evement local 21
3. Diagrammes plats, limites inductives locales 28
Chapitre 3. Du local au global 33
1. Localisateurs de descente 33
2. Alg`ebre homotopique locale 40
3. Localisateurs r´eguliers 54
4. Descente homotopique 61
5. Cat´egories test locales et faisceaux 71
Chapitre 4. Th´eorie homotopique des topos 77
1. Localisateurs topologiques 77
2. Modeleurs locaux 83
3. Asph´ericit´e locale 86
Chapitre 5. Cohomologie 95
1. Faisceaux d’Eilenberg-MacLane 95
2. Th´eorie de Galois et cohomologie non ab´elienne 103
3. ´ Equivalences d’Artin-Mazur 109
Chapitre 6. G´eom´etrie et homotopie 117
1. Mod`eles g´eom´etriques des types d’homotopie 117
2. Homotopie ´equivariante 119
Bibliographie 123
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4 TABLE DES MATI` ERES

CHAPITRE 1
Alg`ebre homotopique des faisceaux
1. Accessibilit´e
1.1.1.Nous renvoyons le lecteur `a SGA 4 [31, expos´es II `a IV] pour les notions
de site et de topos. La terminologoie “topologique” que nous utiliserons sera,
sauf mention explicite du contraire, issue de ce texte. En particulier, on parlera
indiff´eremment d’objet d’un topos Eou de faisceau sur E(sous-entendu, pour la
topologie canonique sur E). Si Eet Fsont deux topos, on note Homtop(E,F) la
cat´egorie dont les objets sont les morphismes de topos de Evers Fet dont les
fl`eches ϕ−→ ψsont les morphismes de foncteurs images directes de ϕ∗vers ψ∗.
Les notions d’accessibilit´e envisag´ees ici sont celles de [13, 15].
On fixe pour le moment un petit site (C, J). On note E=e Cle topos des
faisceaux sur celui-ci, i:E −→ b Cle foncteur d’oubli, et a:b C−→ E le foncteur
“faisceau associ´e”.
Lemme 1.1.2.Le foncteur compos´e ia :b C−→ b Cest accessible.
D´ emonstration. On rappelle que le foncteur ia peut-ˆetre d´efini comme suit.
Si Xest un pr´efaisceau sur C, on pose
LX(U) = lim
−→ R∈J(U)◦Hom b
C(R, X), U ∈Ob C ,
J(U) d´esignant l’ensemble ordonn´e, cofiltrant pour l’inclusion, des cribles cou-
vrants de Upour la topologie Jsur C. Cela d´efinit un endofoncteur de b C,
X7−→ LX. On sait que le foncteur ia est isomorphe au foncteur it´er´e L2(cf.
[31, expos´e II, th´eor`eme 3.4]). Il suffit par cons´equent de montrer que le foncteur
Lest accessible. Soit αun cardinal tel que pour tout objet Ude C, et tout crible
couvrant Rde U,Rsoit α-accessible. Comme toute petite limite inductive de
foncteurs α-accessibles est α-accessible, il est imm´ediat que les foncteurs
X7−→ LX(U), U ∈Ob C ,
sont α-accessibles. On en d´eduit aussitˆot l’assertion.
Proposition 1.1.3.Le foncteur d’oubli i:E −→ b Cest accessible.
D´ emonstration. Soit αun cardinal tel que le foncteur ia soit α-accessible
(ce qui existe en vertu du lemme pr´ec´edent). On va montrer que iest α-accessible.
Soient Iun petit ensemble ordonn´e α-filtrant, et F:I−→ E un foncteur. Alors
on a les identifications suivantes,
lim
−→ iF ≃lim −→ iaiF ≃ia lim −→ iF ≃ilim −→ aiF ≃ilim −→ F ,
ce qui prouve bien la proposition.
Corollaire 1.1.4.Tous les objets de Esont accessibles.
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