Les nombres complexes : forme algébrique

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Isabelle Morel-TS-cours complexes forme algébrique
Les nombres complexes : forme
algébrique
1
1.1
Introduction
Le problème
L’histoire des nombres complexes commence en pleine Renaissance italienne avec les
algébristes italiens, à propos de la résolution des équations de degré 3. Citons, entre
autres, Cardan (1501-1576) et Tartaglia (1500-1557).
En 1547, Cardan s
publie dans Ars Magna
suivant : Une solution de l’équation
sle résultat
r
r
3
2
2
3 q
3 q
p
p3
q
q
+
−
+
−
− .
x3 = px + q est
2
4
27
2
4
27
Cette formule fonctionne parfaitement pour l’équation x3 = 36x+91 par exemple : une
solution est 7. En factorisant alors, on obtient : x3 − 36x − 91 = (x − 7)(x2 + 7x + 13).
Le discriminant de x2 + 7x + 13 étant négatif, on en conclut que l’équation
x3 = 36x + 91 a une unique solution réelle : 7.
Nous avons cependant l’habitude de travailler dans le plan (en dimension 2) et non pas
sur une droite (en dimension 1). On convient alors que tout point du plan représente
un nombre, que l’on appellera nombre complexe :
−
→ −
→
• Les nombres i et j étant des nombres complexes particuliers, on notera O ; u , v
−
→ −
→
et non pas O ; i , j le repère du plan.
• L’axe des abscisses reste l’axe des réels. Tout point de cet axe rerpésente donc un
nombre réel.
• Le point J(0; 1) représente le nombre complexe noté i.
Le point N (0; y) représente le nombre complexe y × i.
• Placer alors les points N1 (3 × i), N2 (0 × i), N3 (−2 × i).
Quels nombres complexes les nombres suivants représentent-ils : N4 (0; 3);
N5 (0; −5)?
−−→
−→ −→
• Le point M (a; b) représente le nombre complexe a+ib, puisque OM = aOI +bOJ.
Quels sont les nombres complexes représentés par les points M1 (1; 1); M2 (−2; 4);
M3 (3; −2)?
Déterminer les coordonnées des points M du plan représentant les nombres complexes z1 = 2 + 3i, z2 = −1 + 2i et z3 = 4 + (−3)i.
Considérons à présent l’équation : x3 = 15x + 14. Si on applique la formule
p3
q2
−
= −76, ce qui pose un problème puisque l’on doit en prendre la Tout point M (a; b) représente donc le nombre complexe a + ib.
précédente,
4
27
racine. Pourtant, cette équation a trois solutions réelles, dont −1 qui est une solution Tout nombre complexe a + ib est représenté par le point M (a; b).
évidente.
N(iy)
Afin de contourner ce problème, Bombelli a l’idée, en utilisant les règles de calcul
usuelles, d’introduire des nombres pouvant avoir un carré négatif : c’est l’introduction
3
des nombres complexes.
M (a + ib)
b
2
Il a cependant fallu attendre deux siècles pour avoir une construction correcte
de l’ensemble des nombres comples C, faite pas Euler.
1 J(i)
Il a encore fallu attendre pour une interprétation géométrique des nombres complexes
(Gauss et Argand au début du 19ième siècle), interprétation qui jouera un rôle
~v
prépondérant dans notre étude des nombres complexes.
a
~u 1
−1
2
3
4
5
b
b
1.2
Un petit peu de géométrie
La droite des réels est en bijection avec l’ensemble des réels : à tout nombre réel x,
−
→
on peut associer un unique point de la droite (O; i ) : le point M d’abscisse x; et
−
→
réciproquement, à tout point M de la droite des réels (O; i ), on peut associer un
nombre : l’abscisse x de M .
−1
On peut remarquer que pour passer du point A1 (1) au point A2 (i), on effectue une
π
rotation de centre O et d’angle . Par conséquent, on peut conjecturer que pour passer
2
du point A2 (i) au point A3 (i2 = i × i) on effectue encore une rotation de centre O et
π
d’angle . Il semblerait donc que i2 = −1.
2
2
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1.3
Le corps des complexes
On admet le théorème suivant :
Théorème sur l’existence de C
Il existe un ensemble C contenant R et vérifiant :
• C est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de R et
suivent les mêmes règles de calcul;
• Il existe un élément i de C tel que i2 = −1;
• Tout élément z de C s’écrit de manière unique : z = a + ib avec a et b réels.
C est l’ensemble des nombres complexes.
Vocabulaire et définitions
• L’écriture z = a + ib avec a et b réels est appelée forme algébrique du nombre
complexe z.
• Soit z = x + iy un nombre complexe, x et y étant des réels.
Le point M du plan, de coordonnées (x; y) est l’image de z ou point associé à z.
Il est noté M (z).
• Au point M du plan de coordonnées (x; y) est associé le complexe z = x + iy,
appelé affixe de M et noté zM .
• L’axe des abscisses représente l’ensemble R des réels.
L’axe des ordonnées représente l’ensemble iR des imaginaires purs.
• La distance OM est appelée module de z, notée OM = |z|. Par conséquent
(application
directe du théorème de Pythagore, le repère étant orthonormé), |z| =
p
2
2
x +y .
→
→
→
• Le vecteur −
w = x−
u + y−
v est l’image vectorielle du complexe z.
→
z = x + iy est appelé l’affixe du vecteur −
w.
−
−
→
−
−
→
En particulier, AB a pour affixe zB − zA et kABk = AB = |zB − zA |.
6
• Dans ce cas, a est appelé la partie réelle de z et noté <ez et b la partie
imaginaire de z et noté =mz.
5
• Si b = =mz = 0 alors on dit que z est réel.
4
• Si a = <ez = 0 alors on dit que z est un imaginaire pur. On écrit : z ∈ iR.
Remarques :
3
Im(z)
1. <ez et =mz sont des réels.
2
2. Pour tout nombre réel x, on a : x = x + i × 0 ∈ C. On a donc bien R ⊂ C.
1
3. Si <ez = =mz = 0, alors z = 0 : z est le complexe nul.
~v
Exemples :
1. 2+4i est le nombre complexe ayant 2 pour partie réelle et 4 pour partie imaginaire.
2. Le nombre complexe 5 est réel.
3. Le nombre complexe −2i est imaginaire pur.
1.4
Représentation géométrique d’un nombre complexe
−
→ −
→
On considère le plan muni d’un repère orthonormal direct O ; u , v .
axe imaginaire pur
b
OM = |z|
axe réel
~u 1
−1
M (z)
2
3
4 Re(z)5
6
7
8
−1
Applications :
1. Déterminer le module des nombres complexes suivants :
1
z2 = 1 − i
z3 = −11i
z1 = −2 + i
2
7π
2π
π
z4 = −7
z5 = cos
+ i sin 7π12 z6 = cos
+ i sin
12
3
4
2. On considère les points A(−1 + 3i) et B(2 − i). Déterminer AB.
3
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3. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = −1+3i, zB = 2−i, apprendre : vous devez simplement savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser
deux nombres complexes donnés.
zC = −1 − 5i et zD = −4 − i. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?
4. Déterminer l’ensemble des points M (z) du plan tels que |z + 3| = |z − i|.
0
0
0
Soient z = a + ib et z = a + ib deux nombres complexes.
5. On considère deux points A(zA ) et B(zB ). Quelle est l’affixe du milieu I de [AB]? D’après le théorème 1, pour additionner ou multiplier deux complexes, on suit les
mêmes règles de calcul que dans R. On a alors :
0
0
0
6. Soient A(zA ), B(zB ) et C(zC ) trois points du plan et soient α, β et γ trois
z+z
=
a + ib + a + ib
0
0
0
réels tels que α + β + γ 6= 0. Quelle est l’affixe du barycentre du système
z+z
= (a + a ) + i(b + b )
{(A; α); (B, β); (C, γ)}?
et : 0
0
0
zz
=
(a + ib) × (a + ib )
0
0
0
0
0
zz
=
aa − bb ) + iab + iba
1.5 Egalité de deux complexes
0
0
0
0
0
zz
= (aa − bb ) + i(ab + ba )
Théorème sur l’égalité de deux complexes
0
Par conséquent, en prenant z = −1, −z = −1 − ib.
0
0
0
1. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie
On en déduit alors, z − z = (a − a ) + i(b − b ).
imaginaire et même partie réelle.
0
0
0
0
0
0
C’est-à-dire : soient a, b, a et b des réels. a + ib = a + ib ⇔ a = a et b = b .
Si z = a + ib 6= 0, alors a 6= 0 et b 6= 0. On a alors : (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 6= 0.
D’où :
2. Soient a et b des réels.
b
(a + ib)(a − ib)
a2 + b 2
a
−
i
)
=
=
=1
(a + ib) × ( 2
a + ib = 0 ⇔ a = b = 0.
a + b2
a2 + b 2
a2 + b 2
a2 + b 2
Démonstration :
Donc tout nombre complexe z non nul admet un inverse, noté z1 . Ceci permet de
z
1
0
1. C’est une reformulation du troisième point du théorème sur l’existence de C.
définir le quotient 0 = z × 0 avec z 6= 0.
z
z
2. Soient a et b réels, tels que a + ib = 0. Alors, a + ib = 0 + i × 0. Donc, d’après
1
Exemple : Ecrire sous forme algébrique le complexe
.
le point précédent, a = 0 et b = 0.
2 − 3i
Applications :
Formules à savoir retrouver et utiliser mais à ne pas apprendre par coeur
1. Résoudre dans C l’équation z 2 = −1
Le nombre i est solution de l’équation i2 = −1. Soit z une autre solution. Alors
z 2 − i2 = 0 = (z − i)(z + i). Donc z = i ou z = −i.
0
0
0
0
(a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b )
0
0
0
0
0
0
(a + ib) × (a + ib ) = (aa − bb ) + i(ab + ba )
2. Soit le nombre complexe z = x2 − y 2 + 2ixy, avec x et y réels. Soit M le point
(a + ib)(a − ib) = a2 + b2
de coordonnées (x; y).
Les points M tels que z est réel sont les points dont les coordonnées vérifient
2.2 Interprétation géométrique
2xy = 0, c’est-à-dire x = 0 ou y = 0.
→
→
Donc l’ensemble des points M tels que z est réel est la réunion de l’axe réel et de On se place dans le plan complexe (O; −
u;−
v ).
0
0
l’axe imaginaire.
Soient M (z) et M (z ) deux points du plan. L’écriture algébrique de z est z = a + ib
0
0
0
0
et celle de z est z = a + ib .
−→ −−→ −−−→0
2 Calculs avec la forme algébrique
1. Soit S le point défini par OS = OM + OM .
−→
0 →
0 →
On a alors : OS = (a + a )−
u + (b + b )−
v . L’affixe du point S est donc :
2.1
Les quatre opérations
Ce paragraphe explique les quatre opérations avec des nombres complexes. Ces
opérations prolongeant celles dans l’ensemble des réels, les formules ne sont pas à
0
0
zS = (a + a ) + i(b + b ) = z + z
Donc :
0
4
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z−−→
−
−−→0
OM +OM
−−→0
−→ + z−
= z−
OM
OM
b
M10 (−z)
2
−−
→
−−→
2. Soit k un réel et soit P le point défini par OP = k OM .
−−
→
→
→
Alors OP = ka−
u + kb−
v . L’affixe de P est donc ka + ikb = kz.
Donc :
~v
−3
b
3.1
Conjugué d’un nombre complexe
~u 1
−1
3
M 00 (-z)
−2
b
M 0(z)
Propriétés
Opérations avec le conjugué
1. z = z 0 ⇔ z = z 0 .
Définition
Définition du conjugué
Soit z = a + ib un nombre complexe (a et b réels).
Le complexe z = a − ib est appelé le conjugué de z.
Exemples :
2. z = z.
3. z + z 0 = z + z 0 .
4. −z = −z.
5. zz 0 = z × z 0 .
1. −2 = −2.
6. z n = z n pour tout entier n.
2. i = −i
1
1
7. ( ) = pour tout z 6= 0.
z
z
3. 5 + 6i = 5 − 6i.
8. (
4. 2 − 7i = 2 + 7i.
z
z
0
) = 0 pour tout z 6= 0.
z0
z
9. pour tout z = a + ib, zz = a2 + b2 .
0
3.2
2
On a donc : <e(z) = <e(z) et =m(z) = −=m(z).
OM = OM 0 , par conséquent, |z| = |z|.
3.3
3
−2
−1
−−−→0 −−→ −−−→0
−−−→0
−−→ −−−→0
0
3. M M = M O + OM = −OM + OM . Donc l’affixe de M M est z − z. On a
donc
MM
M(z)
1
−→ = kz−−→
zk −
OM
OM
z−−−→0 = zM 0 − zM
b
Interprétation géométrique
0
Dans le plan complexe, le point M (z) est le symétrique du point M (z) par rapport à
l’axe des réels.
0
0
Démonstration : On pose z = a + ib et z = a + ib .
1. z = z 0 ⇔ a + ib = a0 + ib0 ⇔ a = a0 et b = b0 ⇔ a = a0 et − b = −b0 ⇔ z = z 0 .
2. z = a − ib = a + ib = z.
5
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3. Faire la suite pour s’entraı̂ner cela fonctionne de la même manière!
3.4
Propriétés
Théorème liant partie réelle, partie imaginaire, complexe et conjugué
Soit z = a + ib avec a et b réels. On a alors :
1. z + z = 2<e(z).
2. z − z = 2i=m(z).
3. <e(z) =
5. Résoudre l’équation 2z + 1 − i = iz + 2.
√
(1 + i 3)3
6. Calculer |
|.
(1 − i)5
7. Montrer que pour tout nombre complexe z 6= i,
4
z+z
.
2
Module d’un nombre complexe
0
z−z
.
2i
Démonstration : Soit z = a + ib l’écriture algébrique du complexe z.
4. =m(z) =
Propriétés du module : Soient z et z deux nombres complexes. Alors
:
0
0
1. |zz | = |z| × |z |.
1. z + z = a + ib + a − ib = 2a = 2<e(z).
2. Pour tout entier naturel n, |z n | = |z|n .
2. z − z = a + ib − (a − ib) = 2ib = 2i=m(z).
1
1
.
3. Pour tout z 6= 0, | | =
z
|z|
Condition nécessaire et suffisante pour avoir un réel ou un imaginaire pur
0
Démonstration :
z ∈ R ⇔ z = z et z ∈ iR ⇔ z = −z.
1. z ∈ R ⇔ z = z ⇔ =m(z) = 0 ⇔
z−z
= 0 ⇔ z − z = 0.
2i
z+z
= 0 ⇔ z + z = 0.
2. z ∈ iR ⇔ z = −z ⇔ <e(z) = 0 ⇔
2
3.5
iz + 1
∈ iR.
z−i
Applications
1. Déterminer le conjugué de
4 − 5i
.
3+i
2. Pour tout nombre complexe z 6=
3. Ecrire le complexe z =
−1
2z 2 − i
, déterminer le conjugué de
.
5
5z + 1
2−i
sous forme algébrique.
4 + 3i
4. Soit z un nombre complexe. Parmi les nombres suivants, lesquels sont réels?
imaginaires purs?
2 + zz; z 2 − z 2 ; (z + iz)(z − iz).
4. Si z 6= 0, |
z
|z|
|= 0 .
z0
|z |
Démonstration :
1. On écrit
0
|zz |2
0
|zz |2
0
|zz |2
0
|zz |2
0
|zz |2
0
|zz |2
0
|zz |2
0
0
0
0
z et z sous forme algébrique : z = a + ib et z = a + ib . Alors :
0
0
0
0
=
|(aa − bb ) + i(ab + ba )|2
0
0
0
0
=
(aa − bb )2 + (ab + ba )2
0
0
0
0
0
0
0
0
= (aa )2 + (bb )2 − 2aa bb + (ab )2 + (ba )2 + 2ab ba
0
0
0
0
=
a2 a 2 + bb 2 + a2 b 2 + ba 2
0
0
0
0
=
a2 (a 2 + b 2 ) + b2 (a 2 + b 2 )
0
0
=
(a2 + b2 )(a 2 + b 2 )
0
=
|z|2 |z |2
0
0
Tout étant positif, on en conclut que |zz | = |z| × |z |.
2. On montre alors par récurrence que pour tout entier naturel n, |z n | = |z|n (à
faire).
3. Soit z 6= 0. Alors :
6
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1
| |2
z
1
| |2
z
1
| |2
z
a − ib 2
|
a2 + b 2
=
|
=
a2 + b 2
(a2 + b2 )2
=
1
a2 + b 2
=
1
|z|2
4
b
3
2
|z + z 0 |
b
|z 0 |
0
M (z )
0
b
1
| |2
z
1
~v
0
4. Pour tout nombre complexe z 6= 0, on a alors :
1
1
1
|z|
z
| 0 | = |z × 0 | = |z| × | 0 | = |z| × 0 = 0 .
z
z
z
|z |
|z |
−1
−1
−2
Remarque : On a montré aussi (point 3) que pour tout z 6= 0,
−3
1
z
= 2 et zz = a2 + b2 = |z|2
z
|z|
−4
Inégalité triangulaire
0
1. Pour tous nombres complexes z et z , on a :
0
0
|z + z | 6 |z| + |z |
0
0
0
0
2. M et M étant deux points d’affixes z et z , on a : |z − z | = M M .
Démonstration :
−→ −−→ −−−→0
−→
0
0
1. Soient M (z) et M (z ). Soit S le point tel que OS = OM + OM . Donc OS a
0
0
pour affixe z + z et par conséquent, OS = |z + z |.
0
0
De plus, OM = |z| et M S = OM = |z |. On applique alors l’inégalité triangulaire
0
0
dans le triangle OM S : OS 6 OM + M S. Soit, |z + z | 6 |z| + |z |.
0
0
0
2. On a : z−−−→0 = z − z. Donc M M = |z−−−→0 | = |z − z|.
MM
MM
Remarque : L’inégalité triangulaire dit simplement que le plus court chemin pour joindre
deux points est la ligne droite :
0
M 00 (z + z )
M(z)
|z|
~u 1
2
3
4
5
|z| + |z 0 | correspond au chemin O
puis M puis M”
|z + z 0 |correspond au chemin direct
de O à M”
6