Les nombres complexes : forme algébrique

Isabelle Morel-TS-cours complexes forme alg´ebrique 1
Les nombres complexes : forme
alg´ebrique
1 Introduction
1.1 Le probl`eme
L’histoire des nombres complexes commence en pleine Renaissance italienne avec les
alg´ebristes italiens, `a propos de la r´esolution des ´equations de degr´e 3. Citons, entre
autres, Cardan (1501-1576) et Tartaglia (1500-1557).
En 1547, Cardan publie dans Ars Magna le r´esultat suivant : Une solution de l’´equation
x3=px +qest 3
sq
2+rq2 4−p3 27 +3
sq
2−rq2 4−p3 27.
Cette formule fonctionne parfaitement pour l’´equation x3= 36x+91 par exemple : une
solution est 7. En factorisant alors, on obtient : x3−36x−91 = (x−7)(x2+ 7x+ 13).
Le discriminant de x2+ 7x+ 13 ´etant n´egatif, on en conclut que l’´equation
x3= 36x+ 91 a une unique solution r´eelle : 7.
Consid´erons `a pr´esent l’´equation : x3= 15x+ 14. Si on applique la formule
pr´ec´edente, q2
4−p3 27 =−76, ce qui pose un probl`eme puisque l’on doit en prendre la
racine. Pourtant, cette ´equation a trois solutions r´eelles, dont −1qui est une solution
´evidente.
Afin de contourner ce probl`eme, Bombelli a l’id´ee, en utilisant les r`egles de calcul
usuelles, d’introduire des nombres pouvant avoir un carr´e n´egatif : c’est l’introduction
des nombres complexes.
Il a cependant fallu attendre deux si`ecles pour avoir une construction correcte
de l’ensemble des nombres comples C, faite pas Euler.
Il a encore fallu attendre pour une interpr´etation g´eom´etrique des nombres complexes
(Gauss et Argand au d´ebut du 19i`eme si`ecle), interpr´etation qui jouera un rˆole
pr´epond´erant dans notre ´etude des nombres complexes.
1.2 Un petit peu de g´eom´etrie
La droite des r´eels est en bijection avec l’ensemble des r´eels : `a tout nombre r´eel x,
on peut associer un unique point de la droite (O;−→ i): le point Md’abscisse x; et
r´eciproquement, `a tout point Mde la droite des r´eels (O;−→ i), on peut associer un
nombre : l’abscisse xde M.
Nous avons cependant l’habitude de travailler dans le plan (en dimension 2) et non pas
sur une droite (en dimension 1). On convient alors que tout point du plan repr´esente
un nombre, que l’on appellera nombre complexe :
•Les nombres iet j´etant des nombres complexes particuliers, on notera O;−→ u , −→ v
et non pas O;−→ i , −→ jle rep`ere du plan.
•L’axe des abscisses reste l’axe des r´eels. Tout point de cet axe rerp´esente donc un
nombre r´eel.
•Le point J(0; 1) repr´esente le nombre complexe not´e i.
Le point N(0; y)repr´esente le nombre complexe y×i.
•Placer alors les points N1(3 ×i),N2(0 ×i),N3(−2×i).
Quels nombres complexes les nombres suivants repr´esentent-ils : N4(0; 3);
N5(0; −5)?
•Le point M(a;b)repr´esente le nombre complexe a+ib, puisque −−→ OM =a−→ OI +b−→ OJ.
Quels sont les nombres complexes repr´esent´es par les points M1(1; 1);M2(−2; 4);
M3(3; −2)?
D´eterminer les coordonn´ees des points Mdu plan repr´esentant les nombres com-
plexes z1= 2 + 3i,z2=−1 + 2iet z3= 4 + (−3)i.
Tout point M(a;b)repr´esente donc le nombre complexe a+ib.
Tout nombre complexe a+ib est repr´esent´e par le point M(a;b).
1
2
3
−1
12345−1
(a+ib)
b
~u
(iy)
J(i)
~v
a
M
N
On peut remarquer que pour passer du point A1(1) au point A2(i), on effectue une
rotation de centre Oet d’angle π
2. Par cons´equent, on peut conjecturer que pour passer
du point A2(i)au point A3(i2=i×i)on effectue encore une rotation de centre Oet
d’angle π
2. Il semblerait donc que i2=−1.

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1.3 Le corps des complexes
On admet le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme sur l’existence de C
Il existe un ensemble Ccontenant Ret v´erifiant :
•Cest muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de Ret
suivent les mˆemes r`egles de calcul;
•Il existe un ´el´ement ide Ctel que i2=−1;
•Tout ´el´ement zde Cs’´ecrit de mani`ere unique :z=a+ib avec aet br´eels.
Cest l’ensemble des nombres complexes.
Vocabulaire et d´efinitions
•L’´ecriture z=a+ib avec aet br´eels est appel´ee forme alg´ebrique du nombre
complexe z.
•Dans ce cas, aest appel´e la partie r´eelle de zet not´e <ez et bla partie
imaginaire de zet not´e =mz.
•Si b==mz = 0 alors on dit que zest r´eel.
•Si a=<ez = 0 alors on dit que zest un imaginaire pur. On ´ecrit : z∈iR.
Remarques :
1. <ez et =mz sont des r´eels.
2. Pour tout nombre r´eel x, on a : x=x+i×0∈C. On a donc bien R⊂C.
3. Si <ez ==mz = 0, alors z= 0 :zest le complexe nul.
Exemples :
1. 2+4iest le nombre complexe ayant 2pour partie r´eelle et 4 pour partie imaginaire.
2. Le nombre complexe 5 est r´eel.
3. Le nombre complexe −2iest imaginaire pur.
1.4 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe
On consid`ere le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct O;−→ u , −→ v.
•Soit z=x+iy un nombre complexe, xet y´etant des r´eels.
Le point Mdu plan, de coordonn´ees (x;y)est l’image de zou point associ´e `a z.
Il est not´e M(z).
•Au point Mdu plan de coordonn´ees (x;y)est associ´e le complexe z=x+iy,
appel´e affixe de Met not´e zM.
•L’axe des abscisses repr´esente l’ensemble Rdes r´eels.
L’axe des ordonn´ees repr´esente l’ensemble iRdes imaginaires purs.
•La distance OM est appel´ee module de z, not´ee OM =|z|. Par cons´equent
(application directe du th´eor`eme de Pythagore, le rep`ere ´etant orthonorm´e), |z|=
px2+y2.
•Le vecteur −→ w=x−→ u+y−→ vest l’image vectorielle du complexe z.
z=x+iy est appel´e l’affixe du vecteur −→ w.
En particulier, −−→ AB a pour affixe zB−zAet k−−→ ABk=AB =|zB−zA|.
1
2
3
4
5
6
−1
12345678−1
(z)
Im(z)
Re(z)
OM =|z|
axe r´eel
axe imaginaire pur
~v
~u
M
Applications :
1. D´eterminer le module des nombres complexes suivants :
z1=−2 + 1
2i z2= 1 −i z3=−11i
z4=−7z5= cos 7π
12 +isin 7π12 z6= cos 2π 3+isin π 4
2. On consid`ere les points A(−1 + 3i)et B(2 −i). D´eterminer AB.

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3. On consid`ere les points A,B,Cet Dd’affixes respectives zA=−1+3i,zB= 2−i,
zC=−1−5iet zD=−4−i. Quelle est la nature du quadrilat`ere ABCD?
4. D´eterminer l’ensemble des points M(z)du plan tels que |z+ 3|=|z−i|.
5. On consid`ere deux points A(zA)et B(zB). Quelle est l’affixe du milieu Ide [AB]?
6. Soient A(zA),B(zB)et C(zC)trois points du plan et soient α,βet γtrois
r´eels tels que α+β+γ6= 0. Quelle est l’affixe du barycentre du syst`eme
{(A;α); (B, β); (C, γ)}?
1.5 Egalit´e de deux complexes
Th´eor`eme sur l’´egalit´e de deux complexes
1. Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement si ils ont mˆeme partie
imaginaire et mˆeme partie r´eelle.
C’est-`a-dire : soient a,b,a0et b0des r´eels. a+ib =a0+ib0⇔a=a0et b=b0.
2. Soient aet bdes r´eels.
a+ib = 0 ⇔a=b= 0.
D´emonstration :
1. C’est une reformulation du troisi`eme point du th´eor`eme sur l’existence de C.
2. Soient aet br´eels, tels que a+ib = 0. Alors, a+ib = 0 + i×0. Donc, d’apr`es
le point pr´ec´edent, a= 0 et b= 0.
Applications :
1. R´esoudre dans Cl’´equation z2=−1
Le nombre iest solution de l’´equation i2=−1. Soit zune autre solution. Alors
z2−i2= 0 = (z−i)(z+i). Donc z=iou z=−i.
2. Soit le nombre complexe z=x2−y2+ 2ixy, avec xet yr´eels. Soit Mle point
de coordonn´ees (x;y).
Les points Mtels que zest r´eel sont les points dont les coordonn´ees v´erifient
2xy = 0, c’est-`a-dire x= 0 ou y= 0.
Donc l’ensemble des points Mtels que zest r´eel est la r´eunion de l’axe r´eel et de
l’axe imaginaire.
2 Calculs avec la forme alg´ebrique
2.1 Les quatre op´erations
Ce paragraphe explique les quatre op´erations avec des nombres complexes. Ces
op´erations prolongeant celles dans l’ensemble des r´eels, les formules ne sont pas `a
apprendre : vous devez simplement savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser
deux nombres complexes donn´es.
Soient z=a+ib et z0=a0+ib0deux nombres complexes.
D’apr`es le th´eor`eme 1, pour additionner ou multiplier deux complexes, on suit les
mˆemes r`egles de calcul que dans R. On a alors :
z+z0=a+ib +a0+ib0
z+z0=(a+a0) + i(b+b0)
et :
zz0=(a+ib)×(a0+ib0)
zz0=aa0−bb0) + iab0+iba0
zz0=(aa0−bb0) + i(ab0+ba0)
Par cons´equent, en prenant z0=−1,−z=−1−ib.
On en d´eduit alors, z−z0= (a−a0) + i(b−b0).
Si z=a+ib 6= 0, alors a6= 0 et b6= 0. On a alors : (a+ib)(a−ib) = a2+b26= 0.
D’o`u :
(a+ib)×(a
a2+b2−ib a2+b2) = (a+ib)(a−ib) a2+b2=a2+b2 a2+b2= 1
Donc tout nombre complexe znon nul admet un inverse, not´e 1
z. Ceci permet de
d´efinir le quotient z
z0=z×1 z0avec z06= 0.
Exemple : Ecrire sous forme alg´ebrique le complexe 1
2−3i.
Formules `a savoir retrouver et utiliser mais `a ne pas apprendre par coeur
(a+ib) + (a
0+ib 0) = (a+a 0) + i(b+b 0)
(a+ib)×(a
0+ib 0) = (aa 0−bb 0) + i(ab 0+ba 0)
(a+ib)(a−ib) = a2+b2
2.2 Interpr´etation g´eom´etrique
On se place dans le plan complexe (O;−→ u;−→ v).
Soient M(z)et M0(z0)deux points du plan. L’´ecriture alg´ebrique de zest z=a+ib
et celle de z0est z0=a0+ib0.
1. Soit Sle point d´efini par −→ OS =−−→ OM +−−−→ OM 0.
On a alors : −→ OS = (a+a0)−→ u+ (b+b0)−→ v. L’affixe du point Sest donc :
zS= (a+a
0) + i(b+b 0) = z+z 0
Donc :

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z−−→
OM +
−−−→
OM
0=z−−→
OM +z−−−→
OM
0
2. Soit kun r´eel et soit Ple point d´efini par −−→ OP =k−−→ OM .
Alors −−→ OP =ka−→ u+kb−→ v. L’affixe de Pest donc ka +ikb =kz.
Donc :
zk−−→
OM =kz−−→
OM
3. −−−→ MM0=−−→ MO +−−−→ OM 0=−−−→ OM +−−−→ OM 0. Donc l’affixe de −−−→ MM0est z0−z. On a
donc
z−−−→
M M
0=zM0−zM
3 Conjugu´e d’un nombre complexe
3.1 D´efinition
D´efinition du conjugu´e
Soit z=a+ib un nombre complexe (aet br´eels).
Le complexe z=a−ib est appel´e le conjugu´e de z.
Exemples :
1. −2 = −2.
2. i=−i
3. 5 + 6i= 5 −6i.
4. 2−7i= 2 + 7i.
3.2 Interpr´etation g´eom´etrique
Dans le plan complexe, le point M0(z)est le sym´etrique du point M(z)par rapport `a
l’axe des r´eels.
1
2
−1
−2
123−1−2−3
(z)
(z)
(-z)
(−z)
~v
~u
M
M0
M0
1
M00
On a donc : <e(z) = <e(z)et =m(z) = −=m(z).
OM =OM 0, par cons´equent, |z|=|z|.
3.3 Propri´et´es
Op´erations avec le conjugu´e
1. z=z0⇔z=z0.
2. z=z.
3. z+z0=z+z0.
4. −z=−z.
5. zz0=z×z0.
6. zn=znpour tout entier n.
7. (1
z) = 1 zpour tout z6= 0.
8. (z
z0) = z
z0pour tout z06= 0.
9. pour tout z=a+ib,zz=a2+b2.
D´emonstration : On pose z=a+ib et z0=a0+ib0.
1. z=z0⇔a+ib =a0+ib0⇔a=a0et b=b0⇔a=a0et −b=−b0⇔z=z0.
2. z=a−ib =a+ib =z.

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3. Faire la suite pour s’entraˆıner cela fonctionne de la mˆeme mani`ere!
3.4 Propri´et´es
Th´eor`eme liant partie r´eelle, partie imaginaire, complexe et conjugu´e
Soit z=a+ib avec aet br´eels. On a alors :
1. z+z= 2<e(z).
2. z−z= 2i=m(z).
3. <e(z) = z+z
2.
4. =m(z) = z−z
2i.
D´emonstration : Soit z=a+ib l’´ecriture alg´ebrique du complexe z.
1. z+z=a+ib +a−ib = 2a= 2<e(z).
2. z−z=a+ib −(a−ib) = 2ib = 2i=m(z).
Condition n´ecessaire et suffisante pour avoir un r´eel ou un imaginaire pur
z∈R⇔z=zet z∈iR⇔z=−z.
D´emonstration :
1. z∈R⇔z=z⇔ =m(z) = 0 ⇔z−z
2i= 0 ⇔z−z= 0.
2. z∈iR⇔z=−z⇔ <e(z) = 0 ⇔z+z
2= 0 ⇔z+z= 0.
3.5 Applications
1. D´eterminer le conjugu´e de 4−5i
3 + i.
2. Pour tout nombre complexe z6=−1
5, d´eterminer le conjugu´e de 2z2−i 5z+ 1 .
3. Ecrire le complexe z=2−i
4 + 3isous forme alg´ebrique.
4. Soit zun nombre complexe. Parmi les nombres suivants, lesquels sont r´eels?
imaginaires purs?
2 + zz;z2−z2;(z+iz)(z−iz).
5. R´esoudre l’´equation 2z+ 1 −i=iz + 2.
6. Calculer |(1 + i√3)3
(1 −i)5|.
7. Montrer que pour tout nombre complexe z6=i,iz + 1
z−i∈iR.
4 Module d’un nombre complexe
Propri´et´es du module : Soient zet z0deux nombres complexes. Alors
:
1. |zz0|=|z| × |z0|.
2. Pour tout entier naturel n,|zn|=|z|n.
3. Pour tout z6= 0,|1
z|=1 |z|.
4. Si z06= 0,|z
z0|=|z| |z0|.
D´emonstration :
1. On ´ecrit zet z0sous forme alg´ebrique : z=a+ib et z0=a0+ib0. Alors :
|zz0|2=|(aa0−bb0) + i(ab0+ba0)|2
|zz0|2=(aa0−bb0)2+ (ab0+ba0)2
|zz0|2=(aa0)2+ (bb0)2−2aa0bb0+ (ab0)2+ (ba0)2+ 2ab0ba0
|zz0|2=a2a02+bb02+a2b02+ba02
|zz0|2=a2(a02+b02) + b2(a02+b02)
|zz0|2=(a2+b2)(a02+b02)
|zz0|2=|z|2|z0|2
Tout ´etant positif, on en conclut que |zz0|=|z| × |z0|.
2. On montre alors par r´ecurrence que pour tout entier naturel n,|zn|=|z|n(`a
faire).
3. Soit z6= 0. Alors :