Mathématiques de l`ingénieur I

Math´ematiques de l’ing´enieur I
MAT-10363 – E08
A Nombres complexes
1. D´efinition des nombres complexes
Un nombre complexe est un point du plan cart´esien. Il peut donc ˆetre repr´esent´e sous la forme
d’un couple z:= (x, y) o`u xet ysont des nombres r´eels.1Le nombre xs’appelle la partie r´eelle
de zet le nombre yla partie imaginaire de z. On ´ecrit Re z:= xet Im z:= y. On note que la
partie r´eelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe sont toutes les deux des nombres r´eels.
L’axe des abscisses est l’ensemble des points de la forme (x, 0) o`u x∈R. Dans le plan des nombres
complexes, cet axe s’appelle l’axe r´eel et les nombres complexes sur l’axe r´eel sont appel´es des
nombres r´eels. Ainsi, au lieu d’´ecrire (x, 0), on ´ecrit simplement x.
Le symbole irepr´esente le nombre complexe (0,1). L’axe des ordonn´ees est constitu´e des nombres de
la forme (0, y) o`u y∈R. Dans le plan des nombres complexes, cet axe s’appelle l’axe imaginaire
et les nombres complexes sur l’axe imaginaire sont appel´es des nombres imaginaires. Ainsi, chaque
nombre imaginaire (0, y) peut s’´ecrire sous la forme (0, y) = y(0,1) = yi.
En combinant les deux notations, on trouve que tout nombre complexe z:= (x, y) peut s’´ecrire sous
la forme
z= (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x+yi.
Il s’agit de la forme cart´esienne d’un nombre complexe. Encore une fois, insistons sur le fait que
dans l’expression z=x+yi =x+iy, les nombres xet ysont tous les deux r´eels et repr´esentent
respectivement les parties r´eelles et imaginaires de z.
Clip illustrant le plan complexe.
Les op´erations complexes d’addition, de soustraction et de multiplication se font comme des calculs
polynomiaux en iavec la r`egle suppl´ementaire i2=−1.
Exemples
1 (a+bi) + (c+di) = a+bi +c+di =a+c+bi +di = (a+c) + (b+d)i.
2
(a+bi)(c+di) = a(c+di) + (bi)(c+di)
=ac +adi +bci +bdi2
= (ac −bd) + (ad +bc)i.
1Le symbole := signifie qu’il s’agit d’une ´egalit´e qui d´efinit le membre de l’´equation du cˆot´e des deux points par
celui de l’autre cˆot´e. Par exemple ici, z:= (x, y) signifie que zest d´efini comme ´etant le couple (x, y).
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Pour calculer la division de deux nombres complexes z/w, on multiplie d’abord le num´erateur et le
d´enominateur par le conjugu´e de ce dernier w. L’´ıd´ee est que le nouveau d´enominateur ww =|w|2
est alors un nombre r´eel positif.
Exemple Calculer 5−5i
3i−1.
Sol. Le nombre complexe w:= 3i−1 = (−1) + (3)ia comme partie r´eelle −1 et comme partie
imaginaire 3. Son conjugu´e est donc w=−1−3i. Ainsi,
5−5i
3i−1=(5 −5i)(−1−3i) (3i−1)(−1−3i)=−5 + 5i−15i+ 15i2 (−1)2+ (3)2=(−5−15) + (5 −15)i (−1)2+ (3)2=−20 −10i 10 =−2−i.
V´erification :
(−2−i)(3i−1) = −6i+ 2 −3i2+i= 5 −5i.
Exemple Calculer Re (1 + i)−1.
Sol. Solution clip.
R´esolution d’une ´equation quadratique.
La formule quadratique est encore valide dans les nombres complexes. Ainsi, si a, b, c ∈C(a6= 0),
alors les solutions z∈Cde l’´equation az2+bz +c= 0 sont :
z1, z2=−b±√b2−4ac
2a.
Il est `a noter que le symbole ±√wrepr´esente les racines complexes de w. Il y en a toujours deux,
sauf dans le cas o`u w= 0 dans lequel cas la seule racine est 0.
Exemple R´esoudre dans C, l’´equation z2+iz + 1 + 3i= 0.
Sol. Solution clip.
La formule quadratique avec a= 1, b=iet c= 1 + 3idonne
z1,2:= −i±pi2−4(1 + 3i)
2=−i±√−5−12i 2.
Il faut calculer les racines carr´ees du nombre complexe w=−5−12i, c’est-`a-dire qu’on cherche les
nombres x+iy (x, y ∈R) tels que (x+iy)2=−5−12i. On a l’´equation
−5−12i= (x+iy)2=x2−y2+ 2xyi.
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De chaque cˆot´e on trouve un nombre complexe sous sa forme cart´esienne. Pour avoir ´egalit´e, il faut
et il suffit que les parties r´eelles et les parties imaginaires de ces deux nombres soient ´egales entre
elles. Cela donne le syst`eme
−5 = x2−y2et −12 = 2xy.
En substituant y=−6/x dans la 1re ´equation on a
x4+ 5x2−36 = (x2−4)(x2+ 9) = (x−2)(x+ 2)(x2+ 9) = 0
et ainsi, x=±2, ce qui donne y=−6/x =∓3. Les solutions sont donc
z1,2:= −i±(2 −3i)
2.
Par cons´equent,
z1=−i+ (2 −3i)
2=2−4i 2= 1 −2iet z2=−i−(2 −3i) 2=−2 + 2i 2=−1 + i.
R´ep: z1= 1 −2i,z2=−1 + i.
Exercices
1) Soit n∈Z. Montrer que
i4n= 1, i4n+1 =i, i4n+2 =−1 et i4n+3 =−i.
2) Soit z:= x+iy. Calculer
a) Im z3.b) Im z3.c) Re z−2.
3) Montrer que pour tout z, w ∈C, on a |z+w|2+|z−w|2= 2(|z|2+|w|2).
4) R´esoudre dans Cles ´equations suivantes
a) z2+ 7 = 24i.
b) z4+ 7 = 24i.
c) 8z2−(36 −6i)z+ 42 −11i= 0.
d) z4+ (5 −14i)z2−24 −10i.
R´eponses
2) a) 3x2y−y3. b) y3. c) x2
−y2
(x2+y2)2.
4) a) ±(3 + 4i). b) ±(2 + i), ±(1 −2i). c) 5
2−i, 2 + 1 4i. d) ±(1 + i), ±(2 + 3i).
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