Mathématiques de l`ingénieur I

Mathématiques de l’ingénieur I
MAT-10363 – E08
A
1.
Nombres complexes
Définition des nombres complexes
Un nombre complexe est un point du plan cartésien. Il peut donc être représenté sous la forme
d’un couple z := (x, y) où x et y sont des nombres réels.1 Le nombre x s’appelle la partie réelle
de z et le nombre y la partie imaginaire de z. On écrit Re z := x et Im z := y. On note que la
partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe sont toutes les deux des nombres réels.
L’axe des abscisses est l’ensemble des points de la forme (x, 0) où x ∈ R. Dans le plan des nombres
complexes, cet axe s’appelle l’axe réel et les nombres complexes sur l’axe réel sont appelés des
nombres réels. Ainsi, au lieu d’écrire (x, 0), on écrit simplement x.
Le symbole i représente le nombre complexe (0, 1). L’axe des ordonnées est constitué des nombres de
la forme (0, y) où y ∈ R. Dans le plan des nombres complexes, cet axe s’appelle l’axe imaginaire
et les nombres complexes sur l’axe imaginaire sont appelés des nombres imaginaires. Ainsi, chaque
nombre imaginaire (0, y) peut s’écrire sous la forme (0, y) = y(0, 1) = yi.
En combinant les deux notations, on trouve que tout nombre complexe z := (x, y) peut s’écrire sous
la forme
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + yi.
Il s’agit de la forme cartésienne d’un nombre complexe. Encore une fois, insistons sur le fait que
dans l’expression z = x + yi = x + iy, les nombres x et y sont tous les deux réels et représentent
respectivement les parties réelles et imaginaires de z.
Clip illustrant le plan complexe.
Les opérations complexes d’addition, de soustraction et de multiplication se font comme des calculs
polynomiaux en i avec la règle supplémentaire i2 = −1.
Exemples
1 (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i.
2
(a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di)
= ac + adi + bci + bdi2
= (ac − bd) + (ad + bc)i.
1
Le symbole := signifie qu’il s’agit d’une égalité qui définit le membre de l’équation du côté des deux points par
celui de l’autre côté. Par exemple ici, z := (x, y) signifie que z est défini comme étant le couple (x, y).
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Pour calculer la division de deux nombres complexes z/w, on multiplie d’abord le numérateur et le
dénominateur par le conjugué de ce dernier w. L’ı́dée est que le nouveau dénominateur ww = |w|2
est alors un nombre réel positif.
Exemple
Calculer
5 − 5i
.
3i − 1
Sol. Le nombre complexe w := 3i − 1 = (−1) + (3)i a comme partie réelle −1 et comme partie
imaginaire 3. Son conjugué est donc w = −1 − 3i. Ainsi,
5 − 5i
(5 − 5i)(−1 − 3i)
−5 + 5i − 15i + 15i2
(−5 − 15) + (5 − 15)i
−20 − 10i
=
=
=
=
= −2 − i.
2
2
2
2
3i − 1
(3i − 1)(−1 − 3i)
(−1) + (3)
(−1) + (3)
10
Vérification :
(−2 − i)(3i − 1) = −6i + 2 − 3i2 + i = 5 − 5i.
Exemple
Sol.
Calculer Re (1 + i)−1 .
Solution clip.
Résolution d’une équation quadratique.
La formule quadratique est encore valide dans les nombres complexes. Ainsi, si a, b, c ∈ C (a 6= 0),
alors les solutions z ∈ C de l’équation az 2 + bz + c = 0 sont :
√
−b ± b2 − 4ac
z1 , z2 =
.
2a
√
Il est à noter que le symbole ± w représente les racines complexes de w. Il y en a toujours deux,
sauf dans le cas où w = 0 dans lequel cas la seule racine est 0.
Exemple
Sol.
Résoudre dans C, l’équation z 2 + iz + 1 + 3i = 0.
Solution clip.
La formule quadratique avec a = 1, b = i et c = 1 + 3i donne
p
√
−i ± i2 − 4(1 + 3i)
−i ± −5 − 12i
=
.
z1,2 :=
2
2
Il faut calculer les racines carrées du nombre complexe w = −5 − 12i, c’est-à-dire qu’on cherche les
nombres x + iy (x, y ∈ R) tels que (x + iy)2 = −5 − 12i. On a l’équation
−5 − 12i = (x + iy)2 = x2 − y 2 + 2xyi.
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De chaque côté on trouve un nombre complexe sous sa forme cartésienne. Pour avoir égalité, il faut
et il suffit que les parties réelles et les parties imaginaires de ces deux nombres soient égales entre
elles. Cela donne le système
−5 = x2 − y 2 et − 12 = 2xy.
En substituant y = −6/x dans la 1re équation on a
x4 + 5x2 − 36 = (x2 − 4)(x2 + 9) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 9) = 0
et ainsi, x = ±2, ce qui donne y = −6/x = ∓3. Les solutions sont donc
z1,2 :=
−i ± (2 − 3i)
.
2
Par conséquent,
z1 =
Rép:
−i + (2 − 3i)
2 − 4i
−i − (2 − 3i)
−2 + 2i
=
= 1 − 2i et z2 =
=
= −1 + i.
2
2
2
2
z1 = 1 − 2i, z2 = −1 + i.
Exercices
1) Soit n ∈ Z. Montrer que
i4n = 1,
i4n+1 = i,
i4n+2 = −1 et i4n+3 = −i.
2) Soit z := x + iy. Calculer
3
b) Im z .
a) Im z 3 .
c) Re z −2 .
3) Montrer que pour tout z, w ∈ C, on a |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2 ).
4) Résoudre dans C les équations suivantes
a) z 2 + 7 = 24i.
c) 8z 2 − (36 − 6i)z + 42 − 11i = 0.
b) z 4 + 7 = 24i.
d) z 4 + (5 − 14i)z 2 − 24 − 10i.
4) a) ±(3 + 4i).
2) a) 3x2 y − y 3 .
b) ±(2 + i), ±(1 − 2i).
c)
b) y 3 .
5
2
− i, 2 + 14 i.
d) ±(1 + i), ±(2 + 3i).
c)
x2 −y 2
.
(x2 +y 2 )2
Réponses
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