Fiche 9 : Fonctions III. Taux d`accroissement – Dérivation

Université Paris-Est Val-de-Marne Créteil DAEU-B
Fiche 9 : Fonctions III.
Taux d’accroissement – Dérivation – Variations d’une fonction
1. Taux d’accroissement – Taux de variation.

2. Nombre dérivé – Tangente.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
Appelons C la courbe représentative de la fonction
f dans un plan P muni d’un repère orthogonal
;,O i j
; A est le point de la courbe C d’abscisse a.
M un point quelconque de C.
Lorsqu’on fait « glisser » sur la courbe le point M
vers A, ce qui revient à dire que la sécante [AM]
pivote autour du point A, on remarque que cette
droite se rapproche d’une position limite :
la droite T qui est appelée tangente à la courbe C
en A.
La droite [AM] a pour coefficient directeur
( ) ( )f x f a
xa
.
Si la tangente n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, son coefficient directeur est égal à la limite
finie de ce quotient quand x tend vers a, c’est-à-dire :
( ) ( )
lim
x
f x f a
xa
.
Définition :
Si la courbe C admet au point A(a,f (a)) une tangente non
parallèle à l’axe des ordonnées, le nombre dérivé de f en a
est égal au coefficient directeur de la tangente à C en A.
On le note : f (a).
m = coefficient directeur de la droite T :
f (a) = m
C
T
A

Cette définition est donc équivalente à la définition suivante :
Exercice 4
1) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x². Calculer f (0) et f (a), avec a réel
quelconque.
2) On considère la fonction f définie sur R* par f (x) =
1
x
. Calculer f (2) et f (a), avec a réel
quelconque non nul.
3) On considère la fonction f définie sur R+* par f (x) =
x
.
a) Calculer f (1) et f (a), avec a réel quelconque strictement positif.
b) Déterminer
0
( ) (0)
lim
x
f x f
x
. Que peut-on en déduire ?
Tangente à la courbe
Si f est dérivable en x0, la courbe représentative de f admet au point A(x0,y0) avec y0 = f (x0)
une tangente d’équation y y0 = f’(x0)  (x-x0).
Exercice 5
a) Déterminer graphiquement les images par f des réels –1; 0; 1; 3 et 4.
b) Lire graphiquement le coefficient directeur de la droite T1 puis en déterminer l’équation réduite.
c) Lire graphiquement le coefficient directeur des droitesT2 et T3.
d) En déduire les nombres dérivés f ’(-1) ; f ’(0) et f ’( 3).
e) Sachant que f ’(4)=18, déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse 4.

3. Fonction dérivée.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Définition 1:
Si f admet un nombre dérivé pour tout réel x de I, ce qui revient à dire que la courbe représentative de f
dans un repère orthogonal
;,O i j
admet une tangente non parallèle à l’axe (y’y) en tout point, on dit
que f est dérivable sur I.
Définition 2
Si f est dérivable sur l’intervalle I, la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé f (x) est la
fonction dérivée de f sur I notée f .
Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
f  désigne la fonction dérivée de la fonction f ;
f (x) désigne le nombre dérivé de f en x.
4. Dérivée des fonctions usuelles.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Nous admettrons toutes les formules suivantes.
Pour chaque fonction, on donne l’ensemble de définition de la fonction ainsi que le (ou les) plus
grand(s) intervalle(s) où elle est dérivable.
f (x) Df
f (x) Intervalle(s) de dérivation
a R
0 R
xn (n1) R
nxn-1 R
1
x
R\{0}
1²x
]-∞,0[ ou ]0;+[
1n
x
(n1) R\{0}
f’(x)
1n
n
x
]-∞,0[ ou ]0 ;+∞[
x
[0;+[
Df=[
1
2x
]0;+[
Exercice 6
Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :
a)
( ) 35fx
I = R.
b)
2
()f x x
I = R.
c)
3
()g x x
I = R.
d)
7
()h x x
I = R.
e)
2
1
()ix x
I = ]0 ;+∞[
5. Opérations sur les fonctions dérivables.
Nous admettrons les théorèmes suivants:
Les fonctions u et v sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.

a- Dérivée d’une somme
Théorème 1
La fonction u + v est dérivable sur I et pour tout t de I, on a : (u+v)=u +v
b- Dérivée d’un produit par un réel
Théorème 2
Pour tout réel k, la fonction ku est dérivable sur I (ku) =ku
 Conséquence
Les fonctions polynômes sont dérivables sur R.
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Exercice 7
Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :
a)
2
( ) 7f x x
I = R
b)
5
()gx x
I = ]0 ;+∞[
c)
( ) 2 3h x x
I = R
d)
2
( ) 2 1i x x x  
I = R
e)
19 13 4
( ) 5j x x x x  
I = R
f)
( ) 3k x x
I = ]0 ;+∞[
=========================================================================
c- Dérivée d’un produit
Théorème 3
La fonction uv est dérivable sur I (uv) = u v + uv
=========================================================================
Exercice 8
Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes
a)
( ) 1 6 1f x x x  
I = R b)
( ) 2 3g x x x
I = ]0 ;+∞[
=========================================================================
c- Dérivée d’un inverse et d’un quotient
Théorème 4
Si v(x)0, pour tout x de I, alors
-
1
v
est dérivable sur I, et:
1
v
'
²
v
v
-
u
v
est dérivable sur I, et
u
v
''
²
u v uv
v
 Conséquence
- Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle ne contenant pas de valeurs qui annulent
le dénominateur.