Fiche 9 : Fonctions III. Taux d`accroissement – Dérivation

Université Paris-Est Val-de-Marne Créteil
DAEU-B
Fiche 9 : Fonctions III.
Taux d’accroissement – Dérivation – Variations d’une fonction
1. Taux d’accroissement – Taux de variation.
2. Nombre dérivé – Tangente.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
Appelons C la courbe représentative de la fonction
f dans un plan P muni d’un repère orthogonal
 O; i , j  ; A est le point de la courbe C d’abscisse a.
M un point quelconque de C.
Lorsqu’on fait « glisser » sur la courbe le point M
vers A, ce qui revient à dire que la sécante [AM]
pivote autour du point A, on remarque que cette
droite se rapproche d’une position limite :
la droite T qui est appelée tangente à la courbe C
en A.
f ( x)  f ( a )
.
xa
Si la tangente n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, son coefficient directeur est égal à la limite
f ( x)  f ( a )
finie de ce quotient quand x tend vers a, c’est-à-dire : lim
.
x 
xa
Définition :
La droite [AM] a pour coefficient directeur
Si la courbe C admet au point A(a,f (a)) une tangente non
parallèle à l’axe des ordonnées, le nombre dérivé de f en a
A
est égal au coefficient directeur de la tangente à C en A.
On le note : f (a).
m = coefficient directeur de la droite T :
f (a) = m
T
C
Cette définition est donc équivalente à la définition suivante :
Exercice 4
1) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x². Calculer f (0) et f (a), avec a réel
quelconque.
1
2) On considère la fonction f définie sur R* par f (x) = . Calculer f (2) et f (a), avec a réel
x
quelconque non nul.
3) On considère la fonction f définie sur R+* par f (x) = x .
a) Calculer f (1) et f (a), avec a réel quelconque strictement positif.
f ( x)  f (0)
b) Déterminer lim
. Que peut-on en déduire ?
x 0
x
Tangente à la courbe
Si f est dérivable en x0, la courbe représentative de f admet au point A(x0,y0) avec y0 = f (x0)
une tangente d’équation
y  y0 = f’(x0)  (x-x0).
Exercice 5
a)
b)
c)
d)
e)
Déterminer graphiquement les images par f des réels –1; 0; 1; 3 et 4.
Lire graphiquement le coefficient directeur de la droite T1 puis en déterminer l’équation réduite.
Lire graphiquement le coefficient directeur des droitesT2 et T3.
En déduire les nombres dérivés f ’(-1) ; f ’(0) et f ’( 3).
Sachant que f ’(4)=18, déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse 4.
3. Fonction dérivée.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Définition 1:
Si f admet un nombre dérivé pour tout réel x de I, ce qui revient à dire que la courbe représentative de f
dans un repère orthogonal  O; i , j  admet une tangente non parallèle à l’axe (y’y) en tout point, on dit
que f est dérivable sur I.
Définition 2
Si f est dérivable sur l’intervalle I, la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé f (x) est la
fonction dérivée de f sur I notée f .
Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
f  désigne la fonction dérivée de la fonction f ;
f (x) désigne le nombre dérivé de f en x.
4. Dérivée des fonctions usuelles.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Nous admettrons toutes les formules suivantes.
Pour chaque fonction, on donne l’ensemble de définition de la fonction ainsi que le (ou les) plus
grand(s) intervalle(s) où elle est dérivable.
f (x)
a
xn
(n1)
1
x
1
xn
x
(n1)
Df
f (x)
R
0
R
R
nxn-1
R
R\{0}

1
x²
]-∞,0[ ou ]0;+[

n
x n 1
]-∞,0[ ou ]0 ;+∞[
R\{0}
f’(x)
[0;+[
Df=[
Intervalle(s) de dérivation
1
2 x
]0;+[
Exercice 6
Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :
a) f ( x)  35
I = R.
d) h( x)  x 7
I = R.
2
b) f ( x)  x
I = R.
1
e) i( x)  2
I = ]0 ;+∞[
3
x
c) g ( x )  x
I = R.
5. Opérations sur les fonctions dérivables.
Nous admettrons les théorèmes suivants:
Les fonctions u et v sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.
a- Dérivée d’une somme
Théorème 1
(u+v)=u+v
La fonction u + v est dérivable sur I et pour tout t de I, on a :
b- Dérivée d’un produit par un réel
Théorème 2
Pour tout réel k, la fonction ku est dérivable sur I
(ku) =ku
Conséquence
Les fonctions polynômes sont dérivables sur R.

=========================================================================
Exercice 7
Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :
a) f ( x)  7 x 2
I=R
d) i ( x)  x 2  2 x  1
I=R
b) g ( x) 
5
x
c) h( x)  2 x  3
e) j ( x)  x19  x13  5 x 4
I = ]0 ;+∞[
f) k ( x)  3 x
I=R
I=R
I = ]0 ;+∞[
=========================================================================
c- Dérivée d’un produit
Théorème 3
(uv) = uv + uv
La fonction uv est dérivable sur I
=========================================================================
Exercice 8
Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes
a) f ( x)   x  1 6 x  1
I=R
b) g ( x)   2 x  3 x
I = ]0 ;+∞[
=========================================================================
c- Dérivée d’un inverse et d’un quotient
Théorème 4
Si v(x)0, pour tout x de I, alors
-
1
est dérivable sur I, et:
v
-
u
est dérivable sur I, et
v
v'
 1 
  
v²
v
 u   u ' v  uv '
  
v²
v
Conséquence
- Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle ne contenant pas de valeurs qui annulent
le dénominateur.

Exercice 9
Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :
a) f ( x) 
1
2x  3
 3

I    ;  
2


c) h( x) 
x2  x  1
2x 1
b) g ( x) 
x 1
x3
I  3; 
d) i ( x) 
2x  7
x2  5
1

I   ; 
2

I=R
=========================================================================
d- Dérivée d’une fonction composée
Théorème 5:
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et f une fonction dérivable en tout réel u(x) alors la
fonction g définie sur I par : g(x)=f (u(x)), est dérivable sur I et:
g(x)= u(x) f '(u ( x)) .
Conséquences
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors

- la fonction un (nN*) est dérivable sur I et
- si u(x )≠ 0 sur I, la fonction
- si u(x) > 0 sur I, la fonction
(un) =nuun-1.
1
(nN*) est dérivable sur I et
un
'
nu '
 1 
 n    n 1
u
u 
 u
u est dérivable sur I et
'
=
u'
2 u
En particulier :
Soient a et b deux réels quelconques. Si g(x) = f (ax+b) , alors g(x)=af (ax+b).
=========================================================================
Exercice 10
Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :
a). f ( x)  2 x  5
b) g( x)  x  3
2
c) h( x)  (3 x  7) 2
5

I   ;  
2


d) i ( x)  (3  4 x 2 )3
e) j ( x) 
I=R
1
( x  3) 2
I=R
I  ;3
I=R
=========================================================================
Exercice 11
Pour chacune des fonctions suivantes :
- Déterminer l’ensemble de définition.
- Déterminer l’ensemble de dérivation.
- Calculer la fonction dérivée.
Exercice 12*
=========================================================================
6. Dérivées et sens de variation.
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- f est strictement croissante sur I si et seulement si f (x) > 0 pour tout x de I.
- f est strictement décroissante sur I si et seulement si f (x) < 0 pour tout x de I.
- f est constante sur I si et seulement si f (x) = 0 pour tout x de I.
Remarques


Si f (x) s’annule pour des valeurs isolées sans changer de signe sur I, alors f est strictement
croissante ou strictement décroissante sur I.
On ajoutera une ligne dans les tableaux de
variation pour préciser le signe de la dérivée.

On convient que les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte
monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
=========================================================================
Exercice 13
Pour chaque fonction: - Préciser l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité.
- Calculer la dérivée puis dresser le tableau de variation.
a) f ( x )  x²  6 x  2
b) g( x ) 
2x  5
x2
Exercice 14
La fonction f définie sur l’intervalle [-3 ;3]
est représentée ci-contre :
c) h( x ) 
x5
4x  1
d) i( x)  2 x  6
1) Résoudre graphiquement sur [-3 ;3]:
a) f (x) = 0
f (x) < 0.
b) f (x) = 0
f (x) < 0.
2) Déterminer graphiquement un intervalle où f et f  sont positives en même temps.
Exercice 15
La fonction f définie sur l’intervalle [-5 ;5] est
représentée par la courbe ci-contre.
a) Déterminer graphiquement les variations de f.
b) Quelle est, parmi les courbes données ci-dessous,
la courbe représentative de la fonction dérivée f  de la
fonction f ? (Justifier la réponse).
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
7. Extremum d’une fonction.
Théorème
Si f est dérivable sur un intervalle I et si f admet un extremum en un point x0 de I, distinct des
extrémités de I, alors f ’(x0)=0.
Réciproquement: si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si f ’ s’annule en changeant de
signe en x0, x0 I, alors f admet un extremum local en x0.
x
a
f (x)
x0
+
0
b

x
a
f (x)
f (x0)
x0

0
b
+
f (a)
f
f (b)
f
f (a)
f admet un maximum en x0.
f (b)
f (x0)
f admet un minimum en x0.
Remarque : Si f admet un extremum en x0, la courbe représentative de f admet au point M0 d’abscisse
x0 une tangente horizontale.
f admet un maximum en x0.
f admet un minimum en x0.
Remarque:
Si f  s’annule en x0 sans changer de signe, alors f n’admet pas d’extremum en x0.
Exercice 16
La fonction f est définie sur R par : f ( x ) 
x3
 5 . Montrer que f n’a pas d’extremum.
3
Exercice 17
La fonction f est définie sur R par : f (x) = -3x² + 6 + 8. Montrer que f admet un extremum que l’on
précisera.
Exercice 18
Les laboratoires « Belior » produisent et vendent des trousses d’urgence. Le bénéfice, exprimé en
dizaines d’euros, réalisé par la vente de x dizaines de trousses est égal à :
B(x) = -x² + 80x - 140
pour x[1 ;50]
a) Étudier les variations de la fonction B.
b) Déterminer le nombre de trousses qu’il faut vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
Exercice 19*
Exercice 20
8. Exercices récapitulatifs.
Exercice 21
Le plan est muni du repère orthonormal  O; i , j  .
On considère Cf, la représentation graphique de la
fonction numérique f définie définie sur R par :
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d;
où a, b, c et d sont des constantes réelles.
La représentation graphique de la courbe Cf est
donnée ci-contre : on précise qu’aux points A et
B, la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
1) À l’aide du graphique, déterminer les valeurs de f (0),
f (1), f  (0) et f  (2).
2) Déterminer les valeurs des constantes a, b, c et d.
3) On considère la fonction g définie sur R par :
g(x) = x3  3x2 + 1:
a) Déterminer les limites de la fonction g en +∞ et en ∞.
b) Dresser le tableau complet des variations de la fonction g sur R.
c) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement trois solutions dans R (on précisera un
encadrement par deux entiers de chacune des solutions)
Exercice 22
Exercice 23
On considère f, la fonction numérique de la variable réelle x définie sur l’intervalle
4
]2;+∞[ par f ( x )  x  2 
.
x2
Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Étudier la limite de f en +∞.
2) Étudier la limite de f en 2. En déduire l’équation d’une asymptote à la courbe Cf .
3) Calculer la fonction dérivée f  de f et montrer qu’elle peut s’écrire sous la forme f '( x ) 
x2  4 x
 x  2
2
.
4) Étudier le signe de f (x) pour x appartenant à l’intervalle ]2;+∞[. En déduire le tableau de variation
de la fonction f.
5) Déterminer une équation de T, la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 3.
6.a) Montrer que la courbe Cf admet la droite  d’équation y = x + 2 pour asymptote oblique au
voisinage de +∞.
b) Étudier la position de Cf par rapport à .