Si, pour tout x de I, f’(x) = 0, alors f est constante sur I.
Ce théorème permet d’obtenir le tableau de variations d’une fonction et de lire les
extremums, s’ils existent : si la dérivée s’annule en changeant de signe, la fonction f admet
un extremum.
Exemple :
Etudier le sens de variation de la fonction f(x) = x2 ( 2 – x )3.
( f’(x) = x (2 – x )( 4 – 5x ) )
IV. Fonctions composées
1) Fonction gou
Sous réserve de l’existence de cette fonction, l’expression de la fonction composée gou est
donnée par le montage :
g(X) = g(u(x)) = (g o u)(x)
Dans l’écriture f(x) = (g o u)(x), u est placé juste devant x, ce qui indique que l’on applique u à
x, puis on applique g à u(x).
Exemple :
Soit g(x) =
et u(x) = 5-x
Déterminer g o u puis u o g
Déterminer leur ensemble de définition
2) Sens de variation
Soit I un intervalle où la fonction composée gou existe.
Si les deux fonctions ont le même sens de variation, alors leur composée est croissante
sur I.
Si les deux fonctions sont de sens de variation contraires, alors leur composée est
décroissante sur I.
Exemple :
Soit f(x) =
, déterminer son sens de variation sur ] -
; 5 ]
3) Dérivée
Soit u et g deux fonctions telles que la composée f = gou existe sur un intervalle I.
Soit x I
Si u est dérivable en x et g est dérivable en u(x), alors la composée f = gou est dérivable en
x et :
f’(x) = g’(u(x)) u’(x)