Groupe des permutations d`un ensemble fini. Applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
Par Nicolas Lanchier 1
1. Groupe sym´etrique.
D´efinition 1.1 On appelle groupe sym´etrique d’indice nle groupe, not´e Sn, des permutations
de E={1,2, . . . n }.
Proposition 1.2 Le groupe Snest d’ordre n!
Th´eor`eme 1.3 (Cayley) Si Gest un groupe fini de cardinal nalors Gest isomorphe `a un sous-
groupe du groupe sym´etrique Sn. [6], Sect. 1.4
D´efinition 1.4 On appelle cycle d’ordre ktoute permutation σ= ( a1, a2, . . . ak)∈Sn, telle
que pour tout 1 ≤i≤k,σ(ai) = ai+1, l’indice ´etant pris modulo k, et telle que pour tout
a6∈ { a1, a2, . . . ak},σ(a) = a. [6], Sect. 1.0
D´efinition 1.5 On appelle transposition tout cycle d’ordre k= 2. [6], Sect. 1.0
Th´eor`eme 1.6 Toute permutation σ∈Snse d´ecompose de fa¸con unique en produit de cycles
disjoints, le nombre de ces cycles ´etant ´egal au nombre de σ-orbites distinctes dans E. [6], Sect.
1.4
Application 1.7 Le nombre Nde fa¸cons de colorier un cube avec kcouleurs distinctes est donn´e
par
N=1
24 (k6+ 3k4+ 12k3+ 8k2)
[5], Sect. 4.3
Th´eor`eme 1.8 Le groupe Snest engendr´e par les transpositions. [6], Sect. 1.1
2. Groupe altern´e.
D´efinition 2.1 On appelle signature l’application ε:Sn−→ { −1,+1 }d´efinie par ε(σ) =
(−1)n−ko`u kd´esigne le nombre de σ-orbites dans E. [1], Sect. 3.2
D´efinition 2.2 Une permutation σest dite paire si ε(σ) = 1, impaire sinon.
Proposition 2.3 Si σest un cycle d’ordre kalors ε(σ) = (−1)k+1 . En particulier, si τest une
transposition ε(τ) = −1.
Proposition 2.4 Pour tout σ∈Sn
ε(σ) = Y
1≤i<j≤n
σ(j)−σ(i)
j−i
[4], Sect. 1.2
1Tout usage commercial, en partie ou en totalit´e, de ce document est soumis `a l’autorisation explicite de l’auteur.

D´efinition 2.5 On appelle groupe altern´e d’indice nle groupe, not´e An, des permutations paires,
i.e. An= Ker(ε). [6], Sect. 1.0
Th´eor`eme 2.6 Pour n≥3, les 3-cycles engendrent An. [6], Sect. 1.1
Th´eor`eme 2.7 Pour n≥5, le groupe altern´e Anest simple, i.e. n’admet pas de sous-groupe
distingu´e non trivial. [6], Sect. 1.8
3. Application `a la th´eorie de Galois.
D´efinition 3.1 Le groupe de Galois d’une extension de corps K⊂L, not´e Gal(L|K), est le
groupe des K-automorphismes de L, i.e. des automorphismes σ:L−→ Ltels que pour tout
x∈K,σ(x) = x. [2], Sect. 8.5
D´efinition 3.2 Le groupe de Galois d’un polynˆome P∈K[X] est le groupe Gal(L|K) o`u Lest
le corps de d´ecomposition de Psur K. [2], Sect. 8.5
Proposition 3.3 Soient P∈K[X] un polynˆome, Gson groupe de Galois et El’ensemble de ses
racines. Alors Gs’identifie `a un sous-groupe du groupe sym´etrique S(E). [3], Ex 4.16
Preuve. Soient σ∈Get x∈E. Puisque σlaisse les ´el´ements de Kinvariants,
P(σ(x)) = an[σ(x)]n+··· +a1σ(x) + a0
=σ(anxn+··· +a1x+a0) = σ(P(x)) = σ(0) = 0.
En particulier, σ(E)⊂E. Comme de plus σest bijectif (en tant qu’automorphisme), il permute
les racines de P. Ceci nous permet de consid´erer l’application
ψ:G−→ S(E)
qui `a un ´el´ement σ∈Gassocie sa restriction `a E. Pour conclure, il suffit de montrer que ψest un
monomorphisme. Le fait que ψsoit un morphisme de groupes est trivial. Pour ´etablir l’injectivit´e,
supposons que ψ(σ) = idE. En remarquant que le corps de d´ecomposition de Pest le K-espace
vectoriel Lengendr´e par les xiavec x∈Eet i= 1,2,...,n−1, il est facile de conclure que σest
l’automorphisme identit´e. Il en r´esulte que ψest injective d’o`u le r´esultat. 
D´efinition 3.4 Un groupe fini Gest dit r´esoluble s’il existe une suite finie G0, G1,...,Grde
sous-groupes de G, appel´ee suite de r´esolubilit´e, telle que
1. {e}=Gr⊂Gr−1⊂ · · · ⊂ G0=G.
2. Gi+1 est distingu´e dans Gipour tout 0 ≤i≤r−1.
3. Gi/Gi+1 est un groupe commutatif pour tout 0 ≤i≤r−1.
De fa¸con ´equivalente, un groupe Gest r´esoluble s’il existe un entier stel que Ds(G) = {e}, o`u
l’ensemble D(G) d´esigne le groupe engendr´e par les commutateurs de G, i.e. les ´el´ements
[x, y] = x−1·y−1·x·y
pour tous xet ydans G. [2], Ch. 11
Lemme 3.5 Le groupe sym´etrique Snn’est pas r´esoluble pour n≥5.

Preuve. Soient (a1, a2, a3) un 3-cycle de Sn,a4et a5deux ´el´ements de {1,2,...,n}distincts
de a1, a2et a3. Comme
[(a1, a3, a4),(a2, a3, a5)] = (a1, a3, a4)−1·(a2, a3, a5)−1·(a1, a3, a4)·(a2, a3, a5)
= (a1, a2, a3),
chacun des 3-cycles appartient `a D(Sn). Par ailleurs, l’ensemble des 3-cycles engendre Ande sorte
que An⊂Ds(Sn) pour tout entier s≥0. En particulier, Snn’est pas r´esoluble. 
D´efinition 3.6 Une extension K⊂Lest radicale s’il existe une tour de corps K0, K1,...,Kr,
appel´ee tour radicale, telle que
1. K=K0⊂K1⊂ · · · ⊂ Kr=L;
2. Pour tout 1 ≤i≤r, il existe ai∈Kiet ni≥1 tels que Ki=Ki−1[ai] et ani
i∈Ki−1.
Un polynˆome Pde K[X] est dit r´esoluble par radicaux s’il existe une extension radicale L⊂K
contenant le corps de d´ecomposition de Psur K. [2], Ch. 12
Th´eor`eme 3.7 (Galois) Si un polynˆome Pest r´esoluble par radicaux alors son groupe de Galois
est r´esoluble. [2], Ch. 12
Preuve. Voir la le¸con 104. 
Th´eor`eme 3.8 Le polynˆome P(X) = X5−10X+ 5 consid´er´e comme polynˆome `a coefficients
dans Qn’est pas r´esoluble par radicaux. [2], Sect. 12.3
Preuve. D’apr`es le th´eor`eme 3.7 et le lemme 3.5, il suffit de montrer que le groupe de Galois
du polynˆome Pest isomorphe `a S5. Notons Gle groupe de Galois de Pet Nson corps de
d´ecomposition. D’apr`es la proposition 3.3, nous savons d´ej`a que Gest isomorphe `a un sous-groupe
de S5. Par ailleurs, une ´etude de fonction montre que Padmet trois racines r´eelles distinctes
x1, x2, x3et deux racines complexes conjugu´ees zet ¯z. Tout d’abord, la conjugaison sur Cinduit
un ´el´ement σ1dans G´echangeant zet ¯zet fixant les trois autres racines : σ1s’identifie `a une
transposition de S5. De plus, le polynˆome P´etant irr´eductible d’apr`es le crit`ere d’Eisenstein,
chacune de ses racines est alg´ebrique sur Qde degr´e 5. En particulier,
[N:Q] = [N:Q(x1)] ·[Q(x1) : Q]
est un multiple de 5. Il en est de mˆeme, en vertu du th´eor`eme de correspondance de Galois, de
l’ordre de Gpuisque l’extension Q⊂Nest normale. On obtient donc, par application du th´eor`eme
de Cauchy, l’existence d’un ´el´ement σ2∈Gd’ordre 5 qui s’identifie `a un 5-cycle de S5. Or, une
transposition et un 5-cycle suffisent `a engendrer S5. Donc Gest isomorphe `a S5.
R´ef´erences
[1] Josette Calais. El´ements de th´eorie des groupes. Puf, 1998.
[2] Jean-Pierre Escofier. Th´eorie de Galois, cours et exercices corrig´es. Dunod, 1997.
[3] Herv´e Francinou, Serge Gianella. Exercices de math´ematiques pour l’agr´egation, alg`ebre 1.
Masson, 1995.
[4] Xavier Gourdon. Les maths en tˆete. Alg`ebre. Ellipses, 1994.
[5] Eric Lehman. Math´ematiques pour l’´etudiant de premi`ere ann´ee. Alg`ebre et g´eom´etrie.
Belin, 1984.
[6] Daniel Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.