PGCD, PPCM dans les anneaux principaux.

PGCD, PPCM dans les anneaux principaux.
Par Nicolas Lanchier 1
1 Arithm´etique dans les anneaux principaux.
Dans toute cette partie, Aest un anneau, aet bdeux ´el´ements de A.
D´ efinition 1.1 — On dit que adivise bs’il existe c∈Atel que b=a·c. Si de plus cest
inversible, on dit que aet bsont associ´es. On notera a∼bcette relation. [3], Sect. 2.3
Proposition 1.2 — La relation de divisibilit´e est une relation d’ordre sur le quotient A/ ∼. [3],
Sect. 2.3
Th´ eor` eme 1.3 — L’application a7→ (a) induit un isomorphisme d’ensembles ordonn´es de A/ ∼
muni de la relation de divisibilit´e sur l’ensemble I(A) des id´eaux principaux de Amuni de l’in-
clusion inverse. [3], Sect. 2.3
D´ efinition 1.4 — Un ´el´ement p∈Aest dit irr´eductible si p6∈ Aet si p=a·b⇒a∈A∗ou
b∈A∗. [3], Sect. 2.3
D´ efinition 1.5 — On dit que aet bsont premiers entre eux si tout ´el´ement d∈Adivisant aet
best dans A∗. [3], Sect. 2.3
Proposition 1.6 — Si Aest factoriel, l’ensemble A/ ∼est r´eticul´e. Si inf {(a),(b)}= (c) et
sup {(a),(b)}= (d), on pose c= ppcm(a, b) et d= pgcd(a, b). [3], Sect. 2.3
Proposition 1.7 — Si c= ppcm(a, b) et d= pgcd(a, b) alors les ´el´ements a·bet c·dsont
associ´es.
Th´ eor` eme 1.8 (Bezout) — Si Aest principal, aet bnon nuls, et d= pgcd(a, b) alors il existe
uet vdans Atels que d=a·u+b·v. [3], Sect. 2.3
Th´ eor` eme 1.9 (Gauss) — Soient a,bet ctrois ´el´ements d’un anneau factoriel. Si adivise b·c
et si aet bsont premiers entre eux alors adivise c.
Th´ eor` eme 1.10 (lemme d’Euclide) — Si pest irr´eductible et divise a·balors pdivise aou
b. [3], Sect. 2.3
2 Applications en alg`ebre.
Th´ eor` eme 2.1 — Soient G1, G2, . . . , Gndes groupes cycliques d’ordres α1, α2, . . . , αnrespec-
tivement. Alors le groupe G=G1×G2×...×Gnest cyclique si et seulement si les αisont
premiers deux `a deux. [2], Sect. 1.2
Proposition 2.2 (lemme chinois) — Si pet qsont premiers entre-eux alors
Z/p q Z∼
=Z/p Z×Z/q Z
Th´ eor` eme 2.3 — Pour n≥3, notons Pnle polygone r´egulier `a ncˆot´es. Alors Pnest constructible
`a la r`egle et au compas si et seulement si n= 2rp1. . . pso`u les pksont des nombres premiers de
Fermat deux `a deux distincts. [1], exercice 4.15
1Tout usage commercial, en partie ou en totalit´e, de ce document est soumis `a l’autorisation explicite de l’auteur.

Th´ eor` eme 2.4 (d´ ecomposition des noyaux) — Soient Eun espace vectoriel, f∈L(E) et
P=P1P2. . . Pn∈K[X], les Pi´etant premiers deux `a deux. Alors
Ker P(f) = Ker P1(f)⊕Ker P2(f)⊕ · · · ⊕ Ker Pn(f)
[2], Sect. 4.2
Th´ eor` eme 2.5 — Soient f∈L(E) une application lin´eaire. Pour tout x∈E, notons Pxle
polynˆome unitaire de plus bas degr´e tel que Px(f)(x) = 0 et posons Ex={P(f)(x) ; P∈K[X]}.
1. Si Ex∩Ey=∅alors Px+y= ppcm (Px, Py).
2. Si Pxet Pysont premiers entre-eux alors Ex+y=Ex⊕Ey.
Th´ eor` eme 2.6 — Un endomorphisme f∈L(E) est dit semi-simple si pour tout sous-espace
F⊂Estable par fil existe un suppl´ementaire Gde Fstable par f.
1. Si πf, le polynˆome minimal de f, est irr´eductible alors fest semi-simple.
2. L’endomorphisme fest semi-simple si et seulement si πfest produit de polynˆomes irr´eductibles
unitaires deux `a deux distincts.
[2], Sect. 4.5
3 Algorithmes de calcul.
D´ efinition 3.1 — Soit Aest un anneau factoriel et Pun syst`eme de repr´esentants des irr´eductibles
de A. Alors tout a∈As’´ecrit a=u·Qpνp(a)o`u pd´ecrit P,u∈A∗et o`u les νp(a) sont des
entiers naturelles presque tous nuls. L’entier νp(a) est appel´e valuation p-adique de a. [3], Sect.
2.3
Proposition 3.2 — Soient a,b∈A. Alors adivise bsi et seulement si pour tout p∈P,
νp(a)≤νp(b). [3], Sect. 2.3
Proposition 3.3 — Si c= ppcm(a, b) alors pour tout p∈P,νp(c) = max(νp(a), νp(b)). De
mˆeme, si d= pgcd(a, b) alors νp(d) = min(νp(a), νp(b)). [3], Sect. 2.3
D´ efinition 3.4 — Un anneau Aest dit euclidien si
1. Aest int`egre et si
2. il existe une application v:A\ {0} −→ Nappel´ee valuation telle que pour tout aet bnon
nuls il existe qet rdans Atels que a=b·q+ravec r= 0 ou v(r)< v(b).
Th´ eor` eme 3.5 (algorithme d’Euclide) — Si Aest un anneau euclidien, le pgcd de aet b
est le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes de apar b.
Th´ eor` eme 3.6 — Pour tout r∈N, posons Γr={P∈C[X] ; deg P=r}. Alors pour tous n,
m≥1, il existe une application continue R: Γn×Γm−→ Cappel´ee r´esultant telle que R(P, Q)6= 0
si et seulement si Pet Qsont premiers entre-eux. [2], Sect. 1.4
Application 3.7 — Soit Dl’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C). L’int´erieur de D
est l’ensemble des matrices dont les valeurs propres sont toutes distinctes. [2], Sect. 4.5
R´ef´erences
[1] Herv´e Francinou, Serge Gianella. Exercices de math´ematiques pour l’agr´egation, alg`ebre 1.
Masson, 1995.
[2] Xavier Gourdon. Les maths en tˆete. Alg`ebre. Ellipses, 1994.
[3] Daniel Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.