D´efinition 2.5 On appelle groupe altern´e d’indice nle groupe, not´e An, des permutations paires,
i.e. An= Ker(ε). [6], Sect. 1.0
Th´eor`eme 2.6 Pour n≥3, les 3-cycles engendrent An. [6], Sect. 1.1
Th´eor`eme 2.7 Pour n≥5, le groupe altern´e Anest simple, i.e. n’admet pas de sous-groupe
distingu´e non trivial. [6], Sect. 1.8
3. Application `a la th´eorie de Galois.
D´efinition 3.1 Le groupe de Galois d’une extension de corps K⊂L, not´e Gal(L|K), est le
groupe des K-automorphismes de L, i.e. des automorphismes σ:L−→ Ltels que pour tout
x∈K,σ(x) = x. [2], Sect. 8.5
D´efinition 3.2 Le groupe de Galois d’un polynˆome P∈K[X] est le groupe Gal(L|K) o`u Lest
le corps de d´ecomposition de Psur K. [2], Sect. 8.5
Proposition 3.3 Soient P∈K[X] un polynˆome, Gson groupe de Galois et El’ensemble de ses
racines. Alors Gs’identifie `a un sous-groupe du groupe sym´etrique S(E). [3], Ex 4.16
D´efinition 3.4 Un groupe fini Gest dit r´esoluble s’il existe une suite finie G0, G1,...,Grde
sous-groupes de G, appel´ee suite de r´esolubilit´e, telle que
1. {e}=Gr⊂Gr−1⊂ · · · ⊂ G0=G.
2. Gi+1 est distingu´e dans Gipour tout 0 ≤i≤r−1.
3. Gi/Gi+1 est un groupe commutatif pour tout 0 ≤i≤r−1.
De fa¸con ´equivalente, un groupe Gest r´esoluble s’il existe un entier stel que Ds(G) = {e}, o`u
l’ensemble D(G) d´esigne le groupe engendr´e par les commutateurs de G, i.e. les ´el´ements
[x, y] = x−1·y−1·x·y
pour tous xet ydans G. [2], Ch. 11
Lemme 3.5 Le groupe sym´etrique Snn’est pas r´esoluble pour n≥5.
D´efinition 3.6 Une extension K⊂Lest radicale s’il existe une tour de corps K0, K1,...,Kr,
appel´ee tour radicale, telle que
1. K=K0⊂K1⊂ · · · ⊂ Kr=L;
2. Pour tout 1 ≤i≤r, il existe ai∈Kiet ni≥1 tels que Ki=Ki−1[ai] et ani
i∈Ki−1.
Un polynˆome Pde K[X] est dit r´esoluble par radicaux s’il existe une extension radicale L⊂K
contenant le corps de d´ecomposition de Psur K. [2], Ch. 12
Th´eor`eme 3.7 (Galois) Si un polynˆome Pest r´esoluble par radicaux alors son groupe de Galois
est r´esoluble. [2], Ch. 12
Th´eor`eme 3.8 Le polynˆome P(X) = X5−10X+ 5 consid´er´e comme polynˆome `a coefficients
dans Qn’est pas r´esoluble par radicaux. [2], Sect. 12.3