Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Groupe op´erant sur un ensemble. Exemples et applications.
Par Nicolas Lanchier 1
1 Action de groupe, ´equation aux classes.
D´ efinition 1.1 — On dit qu’un groupe Gop`ere sur un ensemble Xs’il existe une application
ϕ:G×X−→ X,ϕ(g, x) = g·x, telle que
∀g, h ∈G∀x∈X g ·(h·x) = (g·h)·xet e·x=x
o`u ed´esigne l’´el´ement neutre de G. [5], Sect. 1.4
Remarque 1.2 — L’action de Gsur un ensemble X´equivaut `a la donn´ee d’un morphisme de
groupe ψ:G−→ σ(X) o`u σ(X) d´esigne le groupe des bijections de X. [5], Sect. 1.4
D´ efinition 1.3 — On appelle stabilisateur de x∈Xl’ensemble not´e S(x) des g∈Gpour
lesquels g·x=x. [5], Sect. 1.4
D´ efinition 1.4 — La G-orbite de Xest d´efinie par O(x) = {g·x , g ∈G}. [5], Sect. 1.4
D´ efinition 1.5 — Un groupe Gop`ere transitivement sur Xsi Xest une G-orbite, i.e.
∀x, y ∈X∃g∈Gtel que y=g·x
Si de plus gest unique on dira que Gop`ere simplement transitivement sur X. [5], Sect. 1.4
Exemple 1.6 — Soient P∈K[X] un polynˆome de corps de d´ecomposition Let G= Gal(L|K)
son groupe de Galois. Alors Gagit sur l’ensemble Xdes racines de P. Si de plus Pest irr´eductible,
cette action est transitivement.
Th´ eor` eme 1.7 (´ equation aux classes) — Soient Gun groupe fini op´erant sur un ensemble
Xfini et Λ un syst`eme de repr´esentants des G-orbites de X. Alors
card(X) = X
x∈Λ
card(O(x)) = X
x∈Λ
card(G)
card(S(x))
Th´ eor` eme 1.8 (Wedderburn) — Tout corps fini est commutatif. [5], Sect. 3.4
2 Applications en th´eorie des groupes.
Th´ eor` eme 2.1 (Cayley) — Si Gest un groupe fini de cardinal nalors Gest isomorphe `a un
sous-groupe du groupe sym´etrique Sn. [5], Sect. 1.4
Proposition 2.2 — Soit Gun p-groupe de cardinal ≥2. Alors le centre de Gn’est pas r´eduit
au singleton {e}. [5], Sect. 1.4
Th´ eor` eme 2.3 (premier th´ eor` eme de Sylow) — Soient Gun groupe fini et pun diviseur
premier de card(G). Alors Gcontient au moins un p-sous-groupe de Sylow. [5], Sect. 1.5
Th´ eor` eme 2.4 (second th´ eor` eme de Sylow) — Soit Gun groupe fini de cardinal pαm
avec ppremier ne divisant pas m.
1. si Hest un p-sous-groupe de G, il existe un p-sous-groupe de Sylow de Gcontenant H;
2. les p-sous-groupes de Sylow de Gsont conjugu´es donc leur nombre kdivise n;
3. k≡1 mod pdonc kdivise m. [5], Sect. 1.5
1Tout usage commercial, en partie ou en totalit´e, de ce document est soumis `a l’autorisation explicite de l’auteur.

3 Formule de Burnside et poly`edres r´eguliers.
Th´ eor` eme 3.1 (formule de Burnside) — Soient Gun groupe fini op´erant sur un ensemble
Xfini et kle nombre de G-orbites de X. Alors
kcard(G) = X
g∈G
card Fix(g) o`u Fix(g) = {x∈X , g ·x=x}
[2], Ch. 5
Proposition 3.2 — Le groupe O+
3(R) agit transitivement sur la sph`ere S2. [1], Sect. 5.3
Proposition 3.3 — Toute isom´etrie g∈O+
3(R), g6= id, admet exactement deux points fixes x
et −x∈S2appel´es pˆoles de g. [1], Sect. 5.3
Th´ eor` eme 3.4 — Soit Gun sous-groupe fini de O+
3(R) d’ordre n. Alors
1. Gop`ere sur l’ensemble Pdes pˆoles de G− {id};
2. pour tout x∈P,S(x) est cyclique ;
3. pour tout y∈O(x), card S(x) = card S(y) ;
4. si Λ d´esigne un syst`eme de repr´esentants des G-orbites de Palors
2(n−1) = nX
x∈Λ
1−(card S(x))−1
[1], Sect. 5.3
Th´ eor` eme 3.5 — Le groupe O+
3(R) admet exactement 5 classes de sous-groupes finis :
1. le groupe cyclique Z/nZdes d´eplacements stabilisant un polygone r´egulier ;
2. le groupe di´edral Dn/2des isom´etries stabilisant un polygone r´egulier ;
3. le groupe t´etra´edral A4des d´eplacements stabilisant le t´etra`edre ;
4. le groupe octa´edral S4des d´eplacements stabilisant le cube et l’octa`edre ;
5. le groupe icosa´edral A5des d´eplacements stabilisant le dod´eca`edre et l’icosa`edre.
[3], Sect. 1.3
Application 3.6 — Le nombre Nde fa¸cons de colorier un cube avec kcouleurs distinctes est
donn´e par
N=1
24 (k6+ 3k4+ 12k3+ 8k2)
[4], Sect. 4.3
R´ef´erences
[1] Alain Bouvier, Denis Richard. Groupes. Observation, th´eorie, pratique. Hermann, 1994.
[2] Josette Calais. El´ements de th´eorie des groupes. Puf, 1998.
[3] M. Fetizon, H.P. Gervais, A. Guichardet. Th´eorie des groupes et leurs repr´esentations. Ap-
plication `a la spectroscopie mol´eculaire. Ellipses, 1987.
[4] Eric Lehman. Math´ematiques pour l’´etudiant de premi`ere ann´ee. Alg`ebre et g´eom´etrie.
Belin, 1984.
[5] Daniel Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.