Propriétés topologiques de R.

Propriétés topologiques de R.
Par Nicolas Lanchier
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Relations d’ordre sur R.
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Théorème 1.1 — R est un corps commutatif archimédien, i.e. pour tous x, y ∈ R, x > 0, il
existe un entier n ≥ 0 tel que nx > y. [4], Sect. 1.8
Proposition 1.2 (Axiome de Cantor) — Soit InT= [an , bn ] une suite décroissante d’intervalles réels dont la longueur bn − an tend vers 0. Alors n≥0 In = {c} où c est la limite commune
des suites (an )n≥0 et (bn )n≥0 . [4], Sect. 2.1
Corollaire 1.3 — Soient (an )n≥0 une suite croissante et (bn )n≥0 une suite décroissante de réels
telle que pour tout n ≥ 0, an ≥ bn et limn→∞ bn − an = 0. Alors les suites (an )n≥0 et (bn )n≥0 ,
dites adjacentes, convergent vers une limite commune.
Définition 1.4 — On appelle coupure de R toute partition de R en deux sous-ensembles A et
B tels que pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, a < b. [4], Sect. 2.1
Théorème 1.5 — Pour toute coupure (A, B) de R, il existe un réel c unique tel que pour tout
a ∈ A et tout b ∈ B, a ≤ c ≤ b. [4], Sect. 2.1
Théorème 1.6 — Toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure. [4], Sect.
2.2
Théorème 1.7 — Toute suite croissante majorée de nombres réels converge vers une limite finie.
[4], Sect. 2.3
Propriétés topologiques de R.
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Proposition 2.1 — Les parties compactes de R sont les fermés bornés de R.
Théorème 2.2 (Bolzano-Weierstrass) — Toute suite bornée de R admet une sous-suite
convergente. [3], Sect. 1.3
Théorème 2.3 (Heine) — Toute fonction f à valeurs réelles continue sur un intervalle fermé
borné de R est uniformément continue.
Théorème 2.4 — Les parties connexes de R sont les intervalles. [3], Sect. 4.4
Théorème 2.5 (théorème des valeurs intermédiaires) — Soient I ⊂ R un intervalle et
f : I −→ R une application continue. Alors f (I) est un intervalle.
Théorème 2.6 — R est complet. En particulier, R possède la propriété de Baire : toute intersection dénombrable d’ouverts denses de R est dense dans R. [3], annexe A
Application 2.7 — Soit f : R −→ R une fonction dérivable sur R. Alors l’ensemble des points
de continuité de la fonction dérivée f 0 est une partie dense de R. [3], annexe A
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Sous-ensembles remarquables de R. Cardinalité.
Définition 3.1 — Soient α ∈ R et f : Q[X] −→ R l’homomorphisme définie par f (x) = x pour
tout x ∈ Q et f (X) = α. Le réel α est dit transcendant si f est injectif, algébrique dans le cas
contraire. [5], Sect. 3.1
Théorème 3.2 — L’ensemble des nombres algébriques est un sous-corps de R contenant Q.
Théorème 3.3 (nombres de Liouville) — Pour toute suite (an )n≥1 ⊂ {1, 2 . . . 9},
X
a =
an 10−n!
n≥1
est un nombre transcendant. [1], Sect. 4.4
Définition 3.4 (réel constructible) — Un réel x est dit constructible si le point de coordonnées (x, 0) est constructible à la règle et au compas. [5], Sect. 3.1
Théorème 3.5 — Soient L un sous-corps de R et (x, y) ∈ L2 . Si l’extension Q ⊂ L est normale
de degré une puissance de 2 alors le point (x, y) est constructible à la règle et au compas. [2], Ex
4.14
Théorème 3.6 (Dirichlet) — Soit x ∈ R \ Q. Pour tout ε > 0, M ≥ 1, il existe un nombre
rationnel r = p / q, p ∧ q = 1 tel que
p ε
et
q > M
x −
<
q
q
En particulier, Q est dense dans R. [6], Sect. 1.4
Théorème 3.7 (ensemble triadique de Cantor) — Soient I = [0, 1] et (K n )n≥0 la suite
définie par K0 = I et la relation de récurrence
i
[ h
[
bk − a k i h
bk − a k
Kn+1 =
ak , a k +
où Kn =
[ak , bk ]
∪ ak + 2
, bk
3
3
k
k
Alors l’ensemble triadique de Cantor
K =
\
Kn
n≥0
est un compact de mesure nulle ayant la puissance du continu. [3], Sect. 1.6
Références
[1] Jean-Pierre Escofier. Théorie de Galois, cours et exercices corrigés. Dunod, 1997.
[2] Hervé Francinou, Serge Gianella. Exercices de mathématiques pour l’agrégation, algèbre 1.
Masson, 1995.
[3] Xavier Gourdon. Les maths en tête. Analyse. Ellipses, 1994.
[4] Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudiès. Cours de Mathématiques. Tome 2. Analyse. Dunod, 1996.
[5] Daniel Perrin. Cours d’algèbre. Ellipses, 1996.
[6] Alain Pommellet. Agrégation de mathématiques. Cours d’analyse. Ellipses, 1994.