Propriétés topologiques de R.

Propri´et´es topologiques de R.
Par Nicolas Lanchier 1
1 Relations d’ordre sur R.
Th´ eor` eme 1.1 —Rest un corps commutatif archim´edien, i.e. pour tous x,y∈R,x > 0, il
existe un entier n≥0 tel que nx > y. [4], Sect. 1.8
Proposition 1.2 (Axiome de Cantor) — Soit In= [an, bn] une suite d´ecroissante d’inter-
valles r´eels dont la longueur bn−antend vers 0. Alors Tn≥0In={c}o`u cest la limite commune
des suites (an)n≥0et (bn)n≥0. [4], Sect. 2.1
Corollaire 1.3 — Soient (an)n≥0une suite croissante et (bn)n≥0une suite d´ecroissante de r´eels
telle que pour tout n≥0, an≥bnet limn→∞ bn−an= 0. Alors les suites (an)n≥0et (bn)n≥0,
dites adjacentes, convergent vers une limite commune.
D´ efinition 1.4 — On appelle coupure de Rtoute partition de Ren deux sous-ensembles Aet
Btels que pour tout a∈Aet tout b∈B,a < b. [4], Sect. 2.1
Th´ eor` eme 1.5 — Pour toute coupure (A, B) de R, il existe un r´eel cunique tel que pour tout
a∈Aet tout b∈B,a≤c≤b. [4], Sect. 2.1
Th´ eor` eme 1.6 — Toute partie non vide major´ee de Radmet une borne sup´erieure. [4], Sect.
2.2
Th´ eor` eme 1.7 — Toute suite croissante major´ee de nombres r´eels converge vers une limite finie.
[4], Sect. 2.3
2 Propri´et´es topologiques de R.
Proposition 2.1 — Les parties compactes de Rsont les ferm´es born´es de R.
Th´ eor` eme 2.2 (Bolzano-Weierstrass) — Toute suite born´ee de Radmet une sous-suite
convergente. [3], Sect. 1.3
Th´ eor` eme 2.3 (Heine) — Toute fonction f`a valeurs r´eelles continue sur un intervalle ferm´e
born´e de Rest uniform´ement continue.
Th´ eor` eme 2.4 — Les parties connexes de Rsont les intervalles. [3], Sect. 4.4
Th´ eor` eme 2.5 (th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires) — Soient I⊂Run intervalle et
f:I−→ Rune application continue. Alors f(I) est un intervalle.
Th´ eor` eme 2.6 —Rest complet. En particulier, Rposs`ede la propri´et´e de Baire : toute inter-
section d´enombrable d’ouverts denses de Rest dense dans R. [3], annexe A
Application 2.7 — Soit f:R−→ Rune fonction d´erivable sur R. Alors l’ensemble des points
de continuit´e de la fonction d´eriv´ee f0est une partie dense de R. [3], annexe A
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3 Sous-ensembles remarquables de R. Cardinalit´e.
D´ efinition 3.1 — Soient α∈Ret f:Q[X]−→ Rl’homomorphisme d´efinie par f(x) = xpour
tout x∈Qet f(X) = α. Le r´eel αest dit transcendant si fest injectif, alg´ebrique dans le cas
contraire. [5], Sect. 3.1
Th´ eor` eme 3.2 — L’ensemble des nombres alg´ebriques est un sous-corps de Rcontenant Q.
Th´ eor` eme 3.3 (nombres de Liouville) — Pour toute suite (an)n≥1⊂ {1,2...9},
a=X
n≥1
an10−n!
est un nombre transcendant. [1], Sect. 4.4
D´ efinition 3.4 (r´ eel constructible) — Un r´eel xest dit constructible si le point de coor-
donn´ees (x, 0) est constructible `a la r`egle et au compas. [5], Sect. 3.1
Th´ eor` eme 3.5 — Soient Lun sous-corps de Ret (x, y)∈L2. Si l’extension Q⊂Lest normale
de degr´e une puissance de 2 alors le point (x, y) est constructible `a la r`egle et au compas. [2], Ex
4.14
Th´ eor` eme 3.6 (Dirichlet) — Soit x∈R\Q. Pour tout ε > 0, M≥1, il existe un nombre
rationnel r=p / q,p∧q= 1 tel que
x−p
q
<ε
qet q > M
En particulier, Qest dense dans R. [6], Sect. 1.4
Th´ eor` eme 3.7 (ensemble triadique de Cantor) — Soient I= [0,1] et (Kn)n≥0la suite
d´efinie par K0=Iet la relation de r´ecurrence
Kn+1 =[
khak, ak+bk−ak
3i∪hak+ 2 bk−ak 3, bkio`u Kn=[
k
[ak, bk]
Alors l’ensemble triadique de Cantor
K=\
n≥0
Kn
est un compact de mesure nulle ayant la puissance du continu. [3], Sect. 1.6
R´ef´erences
[1] Jean-Pierre Escofier. Th´eorie de Galois, cours et exercices corrig´es. Dunod, 1997.
[2] Herv´e Francinou, Serge Gianella. Exercices de math´ematiques pour l’agr´egation, alg`ebre 1.
Masson, 1995.
[3] Xavier Gourdon. Les maths en tˆete. Analyse. Ellipses, 1994.
[4] Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudi`es. Cours de Math´ematiques. Tome 2. Ana-
lyse. Dunod, 1996.
[5] Daniel Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.
[6] Alain Pommellet. Agr´egation de math´ematiques. Cours d’analyse. Ellipses, 1994.