Prolongement de fonctions. Exemples.
Par Nicolas Lanchier 1
1 Prolongement par r´egularit´e.
D´
efinition 1.1 Soient f:DXY,aun point d’accumulation de D,a6∈ Det supposons
que limxaf(x) = y0. La fonction g:D∪ {a} −Yefinie par g(x) = f(x) pour tout xDet
g(a) = y0est appel´ee prolongement par continuit´e de la fonction fen a.
Th´
eor`
eme 1.2 Soit Xun espace m´etrique, Yun espace complet, AXune partie dense
dans Xet f:AY. Si fest uniform´ement continue, il existe une unique fonction g:XY
uniform´ement continue et prolongeant f. [3], Sect. 1.2
Th´
eor`
eme 1.3 (Urysohn) Etant donn´es Aet Bdeux ferm´es disjoints d’un espace compact
X, il existe une application continue f:X[0,1] telle que f(x) = 0 pour tout xAet
f(y) = 1 pour tout yB.
Th´
eor`
eme 1.4 Soient I=] a, b [ un intervalle r´eel et (x, I) une solution de l’´equation
tx=f(t, x(t)) (ED)
S’il existe ε > 0 tel que xsoit born´ee sur ]a, a +ε] alors xpeut ˆetre prolong´ee `a gauche de aen
une solution de (ED). [5], Sect. 10.3
2 Prolongement analytique.
Th´
eor`
eme 2.1 (principe des z´
eros isol´
es) Soient Ω un ouvert connexe du plan complexe
et fune fonction analytique dans Ω. Si fn’est pas identiquement nulle alors l’ensemble Z(f) des
z´eros de fn’admet pas de point d’accumulation dans Ω. [4], Sect. 10.4
Th´
eor`
eme 2.2 (prolongement analytique) Soient Ω un ouvert connexe du plan com-
plexe, fet gdeux fonctions analytiques dans Ω. Si l’ensemble Z={z, f(z) = g(z)}admet
un point d’accumulation alors fgsur Ω.
Application 2.3 Soit fune fonction analytique dans un ouvert UR. Alors il existe un
ouvert C, contenant Uet tel que fadmette un prolongement analytique dans Ω.
Proposition 2.4 (prolongement de la fonction Γ) La fonction Γ d´efinie par
Γ(t) = Z+
0
xt1exdx t > 0
admet un prolongement analytique dans l’ouvert Ω = {zC,Re(z)>0}. [5], Sect. 9.2
D´
efinition 2.5 Soient Γ le cercle d’incertitude de la s´erie enti`ere
f(z) = Xanzn
et Dson disque de convergence. Un ´el´ement aΓ est dit r´egulier s’il existe un disque ouvert
Dacentr´e en atel que fadmette un prolongement analytique sur DDa, singulier dans le cas
contraire. [5], Sect. 3.4
Th´
eor`
eme 2.6 L’ensemble des points singuliers d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence
R < +est non vide. [5], Sect. 3.4
1Tout usage commercial, en partie ou en totalit´e, de ce document est soumis `a l’autorisation explicite de l’auteur.
3 Th´eor`emes de Hahn-Banach.
Th´
eor`
eme 3.1 (Hahn-Banach, forme analytique) Soient p:ERune application
positivement homog`eme v´erifiant l’in´egalit´e triangulaire, i.e.
x, y Eλ > 0p(λx) = λ p (x) et p(x+y)p(x) + p(y)
GEun sous-espace vectoriel et g:GRune forme lin´eaire telle que
xG g(x)p(x)
Alors il existe une forme lin´eaire fefinie sur E, prolongeant g, et telle que f(x)p(x) pour
tout xE. [1], Sect. 1.1
Th´
eor`
eme 3.2 (Hahn-Banach, forme g´
eom´
etrique) Soient Aet Bdeux parties dis-
jointes, convexes et non vides d’un espace vectoriel norm´e E. Si Aest ferm´ee et Bcompacte, il
existe un hyperplan ferm´e qui s´epare Aet Bau sens strict. [1], Sect. 1.2
Corollaire 3.3 Soit FEun sous-espace vectoriel dense dans E. Alors toute forme lin´eaire
f:ERnulle sur Fest nulle sur E. [1], Sect. 1.2
Application 3.4 Pour tout a > 1, notons fala fonction d´efinie par
fa(x) = 1
xax[0,1]
Soit (an)n0une suite de r´eels strictement sup´erieurs `a 1 et de limite + . Alors l’espace vectoriel
V= vect(fan, n 0) est dense dans C([0,1],R). [2], Sect. 2.1
4 Prolongements en th´eorie de la mesure et de l’inegration.
Th´
eor`
eme 4.1 Soient (Ω,F, µ) un espace mesur´e, Fl’ensemble des parties EΩ pour
lesquelles il existe A,B∈ F tels que AEBet µ(B\A) = 0, et µl’application d´efinie par
µ(E) = µ(A). Alors Fest une tribu et µune mesure sur F. [4], Sect. 1.8
Th´
eor`
eme 4.2 (Plancherel) A toute fonction fL2(R) on peut associer une fonction ˆ
f
dans L2(R) v´erifiant les propri´et´es suivantes
1. si fL1(R)L2(R) alors ˆ
fco¨ıncide avec la transform´ee de Fourier de f;
2. pour tout fL2(R), kˆ
fk2=kfk2;
3. l’application f7→ ˆ
fest un isomorphisme d’espaces de Hilbert de L2(R) sur L2(R).
[4], Sect. 9.3
R´ef´erences
[1] Ha¨ım Br´ezis. Analyse fonctionnelle. Th´eorie et applications. Dunod, 1999.
[2] St´ephane Gonnord, Nicolas Tosel. Th`emes d’analyse pour l’agr´egation. Topologie et analyse
fonctionnelle. Ellipses, 1996.
[3] Xavier Gourdon. Les maths en ete. Analyse. Ellipses, 1994.
[4] Walter Rudin. Analyse r´eelle et complexe. Masson, 1995.
[5] Claude Zuily, Herv´e Queff´elec. El´ements d’analyse pour l’agr´egation. Masson, 1995.
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