Dimension d`un espace vectoriel. Exemples et applications.

Dimension d’un espace vectoriel. Exemples et applications.
Par Nicolas Lanchier 1
1 Th´eorie de la dimension.
Dans toute la suite, Kd´esigne un corps commutatif et Eun K-espace vectoriel.
D´ efinition 1.1 — Une famille (xi)i∈Ide vecteurs de Eest dite libre si
X
i∈I
λixi= 0 =⇒λi= 0 ∀i∈I
[3], Sect. 3.1
D´ efinition 1.2 — Une partie A⊂Eest dite g´en´eratrice si vect(A) = E. [3], Sect. 3.1
D´ efinition 1.3 — On appelle base du K-espace vectoriel Etoute famille (xi)i∈I⊂E`a la fois
libre et g´en´eratrice. [3], Sect. 3.1
D´ efinition 1.4 — On dira que Eest de dimension finie, ce que l’on supposera par la suite, s’il
existe une famille g´en´eratrice finie de E. [3], Sect. 3.1
Th´ eor` eme 1.5 (base incompl` ete) — Soient Gun syst`eme fini de g´en´erateurs de Eet L ⊂ G
un syst`eme libre. Alors il existe une base Bde Etelle que L ⊂ B⊂ G. [3], Sect. 3.1
Th´ eor` eme 1.6 — Toutes les bases de Eont mˆeme cardinal n. L’entier nainsi d´efini est appel´e
dimension de E, ce que l’on notera dim E=n. [3], Sect. 3.1
Proposition 1.7 — Soient E1et E2deux sous-espaces vectoriels de E. Alors les conditions
suivantes sont ´equivalentes :
1. E=E1⊕E2;
2. dim E= dim E1+ dim E2et E1∩E2={0};
3. dim E= dim E1+ dim E2et E=E1+E2. [3], Sect. 3.1
Th´ eor` eme 1.8 (th´ eor` eme du rang) — Soient Fun K-espace vectoriel et f:E−→ Fune
application lin´eaire. Alors fest de rang fini et dim E= dim Ker(f) + rg f. [3], Sect. 3.2
Th´ eor` eme 1.9 — Si Fest un sous-espace vectoriel de Ealors dim E= dim F+ dim F⊥. De
mˆeme, si Gest un sous-espace vectoriel de l’espace dual E∗alors dim E∗= dim G+ dim G◦. [3],
Sect. 3.4
2 Application aux invariants de similitudes.
D´ efinition 2.1 — Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et f∈L(E) une application
lin´eaire. Pour tout x∈E, on appelle polynˆome minimal de xrelatif `a fl’unique polynˆome
Px∈K[X] unitaire, de plus bas degr´e et tel que Px(f)(x) = 0. [3], Sect. 4.2
Proposition 2.2 —Ex={P(f)(x) ; P∈K[X]}est un espace vectoriel de dimension deg(Px).
[3], Sect. 4.2
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D´ efinition 2.3 — Une application lin´eaire f∈L(E) est dite cyclique s’il existe x∈Etel que
E=Ex. [3], Sect. B.1
Th´ eor` eme 2.4 — Etant donn´e f∈L(E), il existe une suite F1, F2,··· , Frde sous-espaces
vectoriels de Estables par fet tels que
1. E=F1⊕F2⊕ · · · ⊕ Fr
2. Pour tout 1 ≤i≤r, la restriction fide f`a Fiest un endomorphisme cyclique de Fi
3. Si Pid´esigne le polynˆome minimal de fialors pour tout 1 ≤i≤r,Pi+1 divise Pi
De plus, la suite P1, P2,··· , Prne d´epend que de fet non du choix de la d´ecomposition ; on
l’appelle suite des invariants de similitude de f. [3], Sect. B.1
Application 2.5 (r´ eduction de Frobenius) — Notons P1, P2,··· , Prla suite des invariants
de similitude de f∈L(E) et pour tout 1 ≤i≤r,C(Pi) la matrice compagnon de Pi. Alors il
existe une base de Edans laquelle la matrice de fest donn´ee par
A=
C(P1) 0
...
0C(Pr)
[3], Sect. B.1
3 Extensions de corps et points constructibles.
D´ efinition 3.1 — Le degr´e d’une extension de corps K⊂Lest l’entier, not´e [L:K], ´egale `a la
dimension de Lvu comme K-espace vectoriel.
Th´ eor` eme 3.2 (multiplicativit´ e des degr´ es) — Soient K⊂Mune extension de corps et
Lun corps interm´ediaire. Alors
[M:K] = [M:L]·[L:K]
Th´ eor` eme 3.3 — Soient K⊂Lune extension de corps et αun ´el´ement de L. Alors αest
alg´ebrique sur Ksi et seulement si dimKK[α]<∞. [4], Sect. 3.1
Th´ eor` eme 3.4 (Wantzel) — Tout r´eel constructible est alg´ebrique sur Qde degr´e une puis-
sance de 2. [1], Sect. 2.22
Proposition 3.5 — Un p-groupe Gposs`ede des sous-groupes distingu´es `a tous les ordres divisant
l’ordre de G. [2], Sect. 1.4
Application 3.6 — Soient Lun sous-corps de Ret (x, y)∈L2. Si l’extension Q⊂Lest normale
de degr´e une puissance de 2 alors le point (x, y) est constructible `a la r`egle et au compas. [2], Ex
4.14
R´ef´erences
[1] Jean-Claude Carrega. Th´eorie des corps. La r`egle et le compas. Hermann, 1989.
[2] Herv´e Francinou, Serge Gianella. Exercices de math´ematiques pour l’agr´egation, alg`ebre 1.
Masson, 1995.
[3] Xavier Gourdon. Les maths en tˆete. Alg`ebre. Ellipses, 1994.
[4] Daniel Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.