Th´eor`eme 2.4 Etant donn´e f∈L(E), il existe une suite F1, F2,··· , Frde sous-espaces vectoriels
de Estables par fet tels que
1. E=F1⊕F2⊕ · · · ⊕ Fr.
2. Pour tout 1 ≤i≤r, la restriction fide f`a Fiest un endomorphisme cyclique de Fi.
3. Si Pid´esigne le polynˆome minimal de fialors pour tout 1 ≤i≤r,Pi+1 divise Pi.
De plus, la suite P1, P2,· · · , Prne d´epend que de fet non du choix de la d´ecomposition. On
l’appelle suite des invariants de similitude de f. [3], Sect. B.1
Application 2.5 (r´eduction de Frobenius) Notons P1, P2,··· , Prla suite des invariants de
similitude de f∈L(E) et pour tout 1 ≤i≤r,C(Pi) la matrice compagnon de Pi. Alors il existe
une base de Edans laquelle la matrice de fest donn´ee par
A=
C(P1) 0
...
0C(Pr)
[3], Sect. B.1
3. Extensions de corps et points constructibles.
D´efinition 3.1 Le degr´e d’une extension de corps K⊂Lest ´egal `a la dimension de Lvu comme
espace vectoriel sur le corps K. Le degr´e de K⊂Lest not´e [L:K].
Th´eor`eme 3.2 (multiplicativit´e des degr´es) Soient K⊂Mune extension de corps et Lun
corps interm´ediaire entre Ket M. Alors
[M:K] = [M:L]·[L:K].
Th´eor`eme 3.3 Soient K⊂Lune extension de corps et aun ´el´ement de L. Alors aest alg´ebrique
sur Ksi et seulement si dimKK(a)<∞. [4], Sect. 3.1
Th´eor`eme 3.4 (Wantzel) Tout r´eel constructible est alg´ebrique sur Qde degr´e une puissance
de 2. [1], Sect. 2.22
Corollaire 3.5 Il est impossible de dupliquer un cube `a la r`egle et au compas.
Corollaire 3.6 Il est impossible de trisecter un angle `a la r`egle et au compas.
Lemme 3.7 Etant donn´e Gun p-groupe d’ordre pnil existe une suite G0⊂ · · · ⊂ Gnde sous-
groupes distingu´es de Gtels que |Gi|=pipour tout 0 ≤i≤n. [2], Ex. 1.4
Th´eor`eme 3.8 Soient Lun sous-corps de Ret (x, y) un ´el´ement de L2. Si l’extension Q⊂Lest
normale de degr´e une puissance de 2 alors le point de coordonn´ees (x, y) est constructible `a la
r`egle et au compas. [2], Ex 4.14
R´ef´erences
[1] Jean-Claude Carrega. Th´eorie des corps. La r`egle et le compas. Hermann, 1989.
[2] Herv´e Francinou, Serge Gianella. Exercices de math´ematiques pour l’agr´egation, alg`ebre 1.
Masson, 1995.
[3] Xavier Gourdon. Les maths en tˆete. Alg`ebre. Ellipses, 1994.
[4] Daniel Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.