Sous-groupes distingués, groupes quotients.

Sous-groupes distingu´es, groupes quotients.
Par Nicolas Lanchier 1
1. Propri´et´es classiques. Th´eor`emes d’isomorphismes.
D´efinition 1.1 Soient Gun groupe et Hun sous-groupe G. On dit que Hest distingu´e dans G,
ce que l’on note H⊳G, si Hest invariant par automorphismes int´erieurs, i.e.
xHx−1=H∀x∈G.
Proposition 1.2 H⊳Gsi et seulement si pour tout x∈G,xHx−1⊂H.
Th´eor`eme 1.3 Hest distingu´e dans Gsi et seulement s’il existe un groupe Ket un homomor-
phisme π:G−→ Ktel que H= Ker π.
D´efinition 1.4 Soit H⊳G. L’ensemble Kdes classes `a gauche muni de la loi
(xH)·(yH) = (xy)·H∀x, y ∈G
est appel´e groupe quotient de Gpar H. On le note G/H.
Th´eor`eme 1.5 Soient G,Kdeux groupes, Hun sous-groupe distingu´e de G,φ:G−→ Kun
homomorphisme et πla projection canonique de Gsur G/H. Supposons que H= Ker φ. Alors il
existe un unique monomorphisme ψ:G/H −→ Ktel que ψ◦π=φ.
Th´eor`eme 1.6 (premier th´eor`eme d’isomorphisme) Soit φ:G−→ Kun morphisme de
groupe. Alors Im φ∼
=G/ Ker φ. [1], Sect. 4.4
Th´eor`eme 1.7 (second th´eor`eme d’isomorphisme) Soient Gun groupe et H⊳G. Alors
pour tout sous-groupe Kde G
H∩K⊳K, H ⊳HK et K/(H∩K)∼
=HK/H.
Th´eor`eme 1.8 (troisi`eme th´eor`eme d’isomorphisme) Soient Gun groupe, Het Kdeux
sous-groupes distingu´es de Gavec H⊂K. Alors
H⊳K, K/H ⊳G/H et G/K ∼
=(G/H)/(K/H).
2. Groupe de Galois et points constructibles.
D´efinition 2.1 Le groupe de Galois d’une extension de corps K⊂L, not´e Gal(L|K), est le
groupe des K-automorphismes de L, i.e. des automorphismes σ:L−→ Ltels que pour tout
x∈K,σ(x) = x. [2], Sect. 8.5
D´efinition 2.2 Le groupe de Galois d’un polynˆome P∈K[X] est le groupe Gal(L|K) o`u Lest
le corps de d´ecomposition de Psur K. [2], Sect. 8.5
Th´eor`eme 2.3 (correspondance de Galois) Soient K⊂Net K⊂Ldeux extensions nor-
males avec L⊂N. Alors
1. card Gal(N|K) = [N:K].
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2. Il existe une bijection H7→ inv(H) de l’ensemble des sous-groupes de Gsur l’ensemble des
corps interm´ediaires entre Ket N.
3. Gal(N|L) est un sous-groupe distingu´e de Gal(N|K).
4. Le groupe quotient Gal(N|K)/Gal(N|L) est isomorphe `a Gal(L|K).
Lemme 2.4 Etant donn´e Gun p-groupe d’ordre pnil existe une suite G0⊂ · · · ⊂ Gnde sous-
groupes distingu´es de Gtels que |Gi|=pipour tout 0 ≤i≤n. [3], Ex. 1.4
Th´eor`eme 2.5 Soient Lun sous-corps de Ret (x, y) un ´el´ement de L2. Si l’extension Q⊂Lest
normale de degr´e une puissance de 2 alors le point de coordonn´ees (x, y) est constructible `a la
r`egle et au compas. [3], Ex 4.14
3. Groupes r´esolubles et r´esolubilit´e des ´equations par radicaux.
D´efinition 3.1 Un groupe fini Gest dit r´esoluble s’il existe une suite finie G0, G1,...,Grde
sous-groupes de G, appel´ee suite de r´esolubilit´e, telle que
1. {e}=Gr⊂Gr−1⊂ · · · ⊂ G0=G.
2. Gi+1 est distingu´e dans Gipour tout 0 ≤i≤r−1.
3. Gi/Gi+1 est un groupe commutatif pour tout 0 ≤i≤r−1.
De fa¸con ´equivalente, un groupe Gest r´esoluble s’il existe un entier stel que Ds(G) = {e}, o`u
l’ensemble D(G) d´esigne le groupe engendr´e par les commutateurs de G, i.e. les ´el´ements
[x, y] = x−1·y−1·x·y
pour tous xet ydans G. [2], Ch. 11
Lemme 3.2 Le groupe sym´etrique Snn’est pas r´esoluble pour n≥5.
D´efinition 3.3 Une extension K⊂Lest radicale s’il existe une tour de corps K0, K1,...,Kr,
appel´ee tour radicale, telle que
1. K=K0⊂K1⊂ · · · ⊂ Kr=L;
2. Pour tout 1 ≤i≤r, il existe ai∈Kiet ni≥1 tels que Ki=Ki−1[ai] et ani
i∈Ki−1.
Un polynˆome Pde K[X] est dit r´esoluble par radicaux s’il existe une extension radicale L⊂K
contenant le corps de d´ecomposition de Psur K. [2], Ch. 12
Th´eor`eme 3.4 (Galois) Si un polynˆome Pest r´esoluble par radicaux alors son groupe de Galois
est r´esoluble. [2], Ch. 12
Th´eor`eme 3.5 Le polynˆome P(X) = X5−10X+ 5 consid´er´e comme polynˆome `a coefficients
dans Qn’est pas r´esoluble par radicaux. [2], Sect. 12.3
R´ef´erences
[1] Josette Calais. El´ements de th´eorie des groupes. Puf, 1998.
[2] Jean-Pierre Escofier. Th´eorie de Galois, cours et exercices corrig´es. Dunod, 1997.
[3] Herv´e Francinou, Serge Gianella. Exercices de math´ematiques pour l’agr´egation, alg`ebre 1.
Masson, 1995.
[4] Serge Lang. Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1984.
[5] Daniel Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.