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17 -Concours 2017
Structures algébriques : l’essentiel en une page
Groupe. Un ensemble Gmuni d’une loi de composition interne ˚est un groupe si :
—la loi ˚est associative (@px, y, zqPG3,px˚yq˚z“x˚py˚zq),
—Gadmet un élément neutre pour la loi ˚(DePG, @xPG, x ˚e“e˚x“x),
—tout élément de Gest inversible (ie. admet un symétrique)pourlaloi˚(@xPG, Dx1PG, x ˚x1“x1˚x“e).
Sous-groupe. HÄGest un sous-groupe de pG, ˚q si :
—Hcontient l’élément neutre de Gpour la loi ˚,
—Hest stable pour la loi ˚(@px, yqPH2,x˚yPH),
—@aPH, a´1PH.
Caractérisation d’un sous-groupe : Hest un sous-groupe de pG, ˚q si et seulement si :
—Hest non vide,
—@px, yqPH2,x˚y´1PH.
Groupe commutatif. Gest un groupe commutatif si la loi ˚est commutative (@px, yqPG2,x˚y“y˚xq).
La loi de composition est alors souvent notée `.
Groupe cyclique. Gest un groupe cyclique si le groupe Gest fini (ie. il admet un nombre fini d’élements, et
admet un générateur.
Morphisme de groupe. fest un morphisme de groupes de pG1,˚1qsur pG2,˚2qsi : @px, yqPG2
1,fpx˚1yq“
fpxq˚
2fpyq.Onditquefest un isomorphisme de groupe si fest de plus bijective.
Anneau. Un ensemble Anon vide muni de deux lois de compositions internes `et ˚est un anneau si :
—pA, `q est un groupe commutatif,
—la loi ˚est associative et distributive par rapport à la loi +,
—Aadmet un élément neutre pour la loi ˚.
Sous-anneau. BÄAest un sous-anneau de pA, `,˚q si :
—Best un sous-groupe de pA, `q,
—Best stable pour la loi ˚(@px, yqPB2,x˚yPB),
—Bcontient l’élement neutre de Apour la loi ˚.
Caractérisation d’un sous-anneau : Best un sous-groupe de pA, `,˚q si et seulement si :
—Best stable pour la loi ˚(@px, yqPB2,x˚yPB),
—Bcontient l’élement neutre de Apour la loi ˚,
—@px, yqPB2,px`p´yqq P B(où p´yqdésigne le symétrique de ypour la loi `).
Idéaux. Une partie non vide Id’un anneau commutatif pA, `,˚q est un idéal de Asi :
—Ieststablepourlaloi`,
—@pa, iqPAˆI,pa˚iqPI.
Intégrité. Un anneau pA, `,˚q est dit intègre s’il est non nul (0A‰1Aie. A“t0Au), commutatif et si :
@pa, bqPA2,a˚b“0Aùñ a“0Aou b“0A.
Corps. Un ensemble Knon vide muni de deux lois de compositions internes `et ˚est un corps si :
—pK, `,˚q est un anneau non réduit à t0Ku,oùt0Kuest l’élement neutre de Kpour la loi `.
—la loi ˚est commutative,
—tout élement de K
t0Kuadmet un symétrique pour la loi ˚.
Sous-corps. LÄKest un sous-corps de pK, `,˚q si :
—Lest un sous-anneau de pK, `,˚q,
—pL, `,˚q est un corps.