ALGÈBRE GÉNÉRALE MINI-LEXIQUE Partie II : Relation d

IMA-DMP Deug MASS-MIAS 1re année
ALGÈBRE GÉNÉRALE
MINI-LEXIQUE
Partie II : Relation d’équivalence, relation d’ordre
1 RELATION D’ÉQUIVALENCE
1.1 RÉFLEXIVITÉ
Une relation Rest réflexive dans Esi et seulement si:
∀x∈E, x R x
1.2 SYMÉTRIE
Une relation Rest symétrique dans Esi et seulement si:
∀x∈E, x R y →y R x
1.3 TRANSITIVITÉ
Une relation Rest transitive dans Esi et seulement si :
∀x∈E, ∀y∈E, ∀z∈E, xRy ∧y R z →x R z
1.4 RELATION D’ÉQUIVALENCE
Une relation est une relation d’équivalence si et seulement si
elle est réflexive, symétrique et transitive.
1.5 PARTITION
Une famille (Ai)i∈Ide sous-ensembles de Eforme une par-
tition de Esi et seulement si:
–∀i∈I, Ai6=∅
–∀i∈I, ∀j∈I, Ai∩Aj=∅
–Si∈IAi=E
1.6 CLASSE D’ÉQUIVALENCE
La classe d’équivalence de l’élément ade Epar la relation
Rest l’ensemble des éléments de Equi sont en relation avec
apar R. Elle est notée cl(a)ou ˙aou ¯a.
cl(a) = {x∈E, x R a }
Propriété: les classes d’équivalence des éléments de Epour
la relation Rforment une partition de E.
1.7 ENSEMBLE QUOTIENT
Étant donnée une relation d’équivalence Rsur un ensemble
E, l’ensemble-quotient de Epar R, noté E/R, est l’en-
semble des classes d’équivalence de Epar R.

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2 RELATION D’ORDRE
2.1 ANTISYMÉTRIE
Une relation Rest antisymétrique dans Esi et seulement si:
∀x∈E, ∀y∈E, x R y ∧y R x →x=y
2.2 RELATION D’ORDRE
Une relation est une relation d’ordre dans Esi et seulement
si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
2.3 ORDRE TOTAL
La relation d’ordre dans E,R, est dite d’ordre total ssi:
∀x∈E, ∀y∈E, x R y ∨y R x
2.4 ORDRE PARTIEL
Si la relation d’ordre Rn’est pas d’ordre total, elle est d’ordre
partiel.
2.5 APPLICATION CROISSANTE - DÉCROISSANTE -
MONOTONE
Soit ∝une relation d’ordre sur un ensemble Eet soit ≺une
relation d’ordre sur un ensemble F.
L’application fde Edans Fest dite croissante ssi:
∀x∈E, ∀y∈E, x ∝y→f(x)≺f(y)
L’application fde Edans Fest dite décroissante ssi:
∀x∈E, ∀y∈E, x ∝y→f(y)≺f(x)
Une application toujours croissante ou toujours décroissante
sur une partie Ade Eest dite monotone sur A.