Sujet corrigé du partiel 2007/2008

Licence Informatique 2eannée
Informatique théorique II
Examen partiel - 07/11/2007 - 2h00
Les notes de cours et de TD sont autorisées. Il sera tenu compte pour la
notation de la qualité de rédaction et de la lisibilité des copies.
1 Relation d’équivalence selon un sous-ensemble
(4 points)
Soit Eun ensemble quelconque non vide et Aun sous-ensemble de E. On
définit sur P(E)(l’ensemble des parties de E) la relation Rpar XRY ⇔X∩A=
Y∩A.
a. Montrer que Rest une relation d’équivalence sur P(E).
b. Donnez la classe d’équivalence de Eet celle de ∅. Déterminer P(E)/R.
2 Relation définie par un tableau (10 points)
Soit E={a,b,c,d,e,f,g,h}un ensemble à 8 éléments. On définit sur E×E
une relation Sau moyen du tableau suivant (lu de gauche à droite, un point
indique que les deux éléments sont en relation) :
S a b c d e f g h
a• • • • • • •
b• • • •
c• • • •
d•
e• • • •
f• •
g• •
h•
a. Sest-elle réflexive, antiréflexive, symétrique, antisymétrique? Si on admet
que la relation est transitive, est-ce une relation d’ordre? Si oui, est-ce un ordre
total ou partiel? (les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte!)
b. Dessiner le diagramme de Hasse de S.
c. Appliquer l’algorithme du tri topologique sur Spour construire une relation
d’ordre total étendant S(décrire le déroulement de l’algorithme!).
1

d. Donnez, quand ils existent, les majorants, minorants, bornes supérieures,
bornes inférieures, maximaux, minimaux, minimum et maximum des ensembles
suivants : E,{c,f},{a,e}.
3 Morphisme de groupe (6 points)
Soit (G,.)un groupe et fl’application de Gdans Gqui à un élément associe
son inverse (f(x) = x−1). Montrer que fest un morphisme de groupe si et
seulement si (G,.)est commutatif.
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Correction
Relation d’équivalence selon un sous-ensemble
a. Montrons que Rest réflexive. ∀X∈ P(E),X∩A=X∩Adonc XRX.
Rest donc réflexive.
Montrons que Rest symétrique. ∀X,Y ∈ P(E),XRY ⇒X∩A=Y∩A⇒
Y∩A=X∩A⇒Y RX.Rest donc symétrique.
Montrons que Rest transitive. ∀X,Y,Z ∈ P(E),XRY et Y RZ ⇒X∩A=
Y∩Aet Y∩A=Z∩A⇒X∩A=Z∩A⇒XRZ.Rest donc transitive.
Rest donc bien une relation d’équivalence sur P(E).
b. E∩A=A. La classe de Eest l’ensemble des parties de Eéquivalentes à
Edonc l’ensemble des parties Ptelles que P∩A=E∩A=A, donc la classe
de Eest l’ensemble des parties de Econtenant A.
∅ ∩ A=∅. La classe de ∅est l’ensemble des parties de Eéquivalentes à ∅
donc l’ensemble des parties Ptelles que P∩A=∅ ∩ A=∅, donc la classe de ∅
est l’ensemble des parties de Edisjointes de A.
Une classe d’équivalence de Rest définie par l’intersection de ses éléments
avec A. Il y a donc autant de classes que de sous-ensembles de Aet P(E)/R =
P(A).
Relation définie par un tableau
a. Sest réflexive car la diagonale du tableau est pleine, donc tout élément est
en relation avec lui-même. Sest antisymétrique car le tableau est triangulaire
supérieur, donc si deux éléments xet ysont en relation dans la partie supé-
rieure du tableau, yne peut être en relation avec xdans la partie inférieure. S
étant supposée transitive, c’est donc une relation d’ordre (réflexive, antisymé-
trique et transitive). C’est un ordre partiel car, par exemple, eet ane sont pas
comparables.
c. a≤b≤c≤d≤e≤f≤g≤hest un ordre total qui étend S.
d. E: pas de majorant, pas de minorant, pas de minimum, pas de maximum,
pas de borne, eet asont minimaux, het dsont maximaux.
{c,f}:hest majorant et borne sup, aest minorant et borne inf, cet fsont
minimaux et maximaux, il n’y a ni maximum ni minimum.
{a,e}:f,h et gsont majorants, pas de borne sup, pas de minorant ni de
borne inf, aet esont minimaux, pas de minimum, aet esont maximaux, pas
de maximum.
4 Morphisme de groupe
Montrons que si fest un morphisme, (G,.)est commutatif. fmorphisme
⇒ ∀x,y ∈G,f((x.y)−1) = (f(x.y))−1= (f(x).f(y))−1= (x−1.y−1)−1=y.x. Or
f((x.y)−1) = x.y donc x.y =y.x donc (G,.)est commutatif
3

Montrons que si (G,.)est commutatif, fest un morphisme. (G,.)commutatif
⇒ ∀x,y ∈G,x.y =y.x donc f(x.y) = f(y.x) = (y.x)−1=x−1.y−1=f(x).f(y).
Donc fest un morphisme.
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