Sujet corrigé du partiel 2007/2008

Licence Informatique 2e année
Informatique théorique II
Examen partiel - 07/11/2007 - 2h00
Les notes de cours et de TD sont autorisées. Il sera tenu compte pour la
notation de la qualité de rédaction et de la lisibilité des copies.
1
Relation d’équivalence selon un sous-ensemble
(4 points)
Soit E un ensemble quelconque non vide et A un sous-ensemble de E. On
définit sur P(E) (l’ensemble des parties de E) la relation R par XRY ⇔ X ∩A =
Y ∩ A.
a. Montrer que R est une relation d’équivalence sur P(E).
b. Donnez la classe d’équivalence de E et celle de ∅. Déterminer P(E)/R.
2
Relation définie par un tableau (10 points)
Soit E = {a,b,c,d,e,f,g,h} un ensemble à 8 éléments. On définit sur E × E
une relation S au moyen du tableau suivant (lu de gauche à droite, un point
indique que les deux éléments sont en relation) :
S
a
b
c
d
e
f
g
h
a
•
b
•
•
c
•
•
d
•
•
•
•
e
f
•
•
g
•
•
•
•
•
•
•
h
•
•
•
•
•
•
•
a. S est-elle réflexive, antiréflexive, symétrique, antisymétrique? Si on admet
que la relation est transitive, est-ce une relation d’ordre? Si oui, est-ce un ordre
total ou partiel? (les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte!)
b. Dessiner le diagramme de Hasse de S.
c. Appliquer l’algorithme du tri topologique sur S pour construire une relation
d’ordre total étendant S (décrire le déroulement de l’algorithme!).
1
d. Donnez, quand ils existent, les majorants, minorants, bornes supérieures,
bornes inférieures, maximaux, minimaux, minimum et maximum des ensembles
suivants : E, {c,f }, {a,e}.
3
Morphisme de groupe (6 points)
Soit (G,.) un groupe et f l’application de G dans G qui à un élément associe
son inverse (f (x) = x−1 ). Montrer que f est un morphisme de groupe si et
seulement si (G,.) est commutatif.
2
Correction
Relation d’équivalence selon un sous-ensemble
a. Montrons que R est réflexive. ∀X ∈ P(E), X ∩ A = X ∩ A donc XRX.
R est donc réflexive.
Montrons que R est symétrique. ∀X,Y ∈ P(E), XRY ⇒ X ∩ A = Y ∩ A ⇒
Y ∩ A = X ∩ A ⇒ Y RX. R est donc symétrique.
Montrons que R est transitive. ∀X,Y,Z ∈ P(E), XRY et Y RZ ⇒ X ∩ A =
Y ∩ A et Y ∩ A = Z ∩ A ⇒ X ∩ A = Z ∩ A ⇒ XRZ. R est donc transitive.
R est donc bien une relation d’équivalence sur P(E).
b. E ∩ A = A. La classe de E est l’ensemble des parties de E équivalentes à
E donc l’ensemble des parties P telles que P ∩ A = E ∩ A = A, donc la classe
de E est l’ensemble des parties de E contenant A.
∅ ∩ A = ∅. La classe de ∅ est l’ensemble des parties de E équivalentes à ∅
donc l’ensemble des parties P telles que P ∩ A = ∅ ∩ A = ∅, donc la classe de ∅
est l’ensemble des parties de E disjointes de A.
Une classe d’équivalence de R est définie par l’intersection de ses éléments
avec A. Il y a donc autant de classes que de sous-ensembles de A et P(E)/R =
P(A).
Relation définie par un tableau
a. S est réflexive car la diagonale du tableau est pleine, donc tout élément est
en relation avec lui-même. S est antisymétrique car le tableau est triangulaire
supérieur, donc si deux éléments x et y sont en relation dans la partie supérieure du tableau, y ne peut être en relation avec x dans la partie inférieure. S
étant supposée transitive, c’est donc une relation d’ordre (réflexive, antisymétrique et transitive). C’est un ordre partiel car, par exemple, e et a ne sont pas
comparables.
c. a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f ≤ g ≤ h est un ordre total qui étend S.
d. E : pas de majorant, pas de minorant, pas de minimum, pas de maximum,
pas de borne, e et a sont minimaux, h et d sont maximaux.
{c,f } : h est majorant et borne sup, a est minorant et borne inf, c et f sont
minimaux et maximaux, il n’y a ni maximum ni minimum.
{a,e} : f,h et g sont majorants, pas de borne sup, pas de minorant ni de
borne inf, a et e sont minimaux, pas de minimum, a et e sont maximaux, pas
de maximum.
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Morphisme de groupe
Montrons que si f est un morphisme, (G,.) est commutatif. f morphisme
⇒ ∀x,y ∈ G,f ((x.y)−1 ) = (f (x.y))−1 = (f (x).f (y))−1 = (x−1 .y −1 )−1 = y.x. Or
f ((x.y)−1 ) = x.y donc x.y = y.x donc (G,.) est commutatif
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Montrons que si (G,.) est commutatif, f est un morphisme. (G,.) commutatif
⇒ ∀x,y ∈ G,x.y = y.x donc f (x.y) = f (y.x) = (y.x)−1 = x−1 .y −1 = f (x).f (y).
Donc f est un morphisme.
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