Problème

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Devoir Maison L3 Algèbre
I. HONORE,25 septembre 2016
Problème
Notations et définitions :
Voici les notations et les définitions des objets dont nous avons besoin pour ce problème.
1. Le long de ce problème, nous prendrons (K, +, .)un corps avec 0Kl’élément neutre pour la loi "+" et 1K
l’élément neutre pour la loi "." .
2. On dit qu’un sous-corps est premier s’il ne contient aucun sous-corps distinct de lui-même. Un élément d’un
anneau est dit premier si l’idéal engendré est premier.
3. On appelle caractéristique d’un corps le plus petit entier strictement positif ntel que n.1K= 0K. S’il n’existe
pas de tel nfini, nous dirons que la caractéristique est nulle, i.e. n= 0.
4. On dit que x∈Kest une racine n-ième de l’unité pour n∈Nsi l’on a xn= 1. On dit également que xest
une racine de l’unité s’il existe n∈Ntel que xsoit une racine n-ième de l’unité.
5. Nous noterons U(K)l’ensemble des racines de l’unité de Ket pour n∈N,Un(K)l’ensemble des racines n-ième
de l’unité de K.
6. On dit que x∈Kest une racine n-ième primitive de l’unité pour n∈Nsi l’on a xm= 1 ⇒n|m.
7. On rappelle que l’indicatrice d’Euler est la fonction :
ϕ:N∗→N∗
n7→ Card({m∈N∗|m≤net m premier avec n })
8. Nous noterons Zle centre de K, pour tout x∈K,Zxsera le sous-ensemble des éléments de Kqui commutent
avec x, nous prendrons de plus q∈Ntelle que q=Card(Z). Nous supposerons connue la propriété : " Soit L
un sous-corps de K( corps fini ), alors il existe s∈Ntel que Card(K) = Card(L)s".
9. Pour Kun corps fini, dans la dernière partie, nous noterons n∈Ntel que :
Card(K) = qn
Le but du devoir est de montrer le théorème de Wedderburn "Tout corps fini est commutatif".
Partie 1 : Étude de la caractéristique d’un corps.
a. Montrer que les éléments premiers de Zsont les nombres premier.
b. On considère l’application ϕ:n7→ n.1K. Montrer que ϕest un morphisme d’anneaux entre (Z,+,×)et (K, +, .).
c. Que dire de Z/Ker(ϕ)et Im(ϕ)?
d. Montrer que la caractéristique d’un corps est soit nulle, soit un nombre premier.
e. Montrer qu’un nombre p∈Nest premier si et seulement s’il divise p
kpour tout k∈[[1; p−1]] .
f. On suppose que Kest un corps qui a pour caractéristique p > 0. Montrer que l’application x←→ xpest un
isomorphisme de K.
Indication :Remarquer que (x+y)p=xp+ypavec x, y ∈K.
Partie 2 : Étude des racines de l’Unité .
Dans cette partie, nous supposerons Kcommutatif. Nour prendrons p > 0la caractéristique de K.
a. Montrer que U(K)forme un sous groupe multiplicatif de K\{0}.
b. Montrer que les racines de l’unité sont des éléments d’ordre fini du groupe multiplicatif K\{0}.
c. Si xest une racine de l’unité dans Kalors sont ordre n’est pas divisible par p.
d. Pour tout entier m > 0il n’existe pas dans Kde racine pm-ième de l’unité autre que 1.

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e. Soit n∈N, montrer que le groupe Un(K)est un groupe cyclique d’ordre n.
Partie 3 : Polynômes cyclotomiques .
a. Soient net mdeux entiers et soit dleur PGCD. Le PGCD de Xn−1et Xm−1dans K[X]est égal à Xd−1.
Montrer que pour tout n∈N, si la décomposition en produits de facteurs premiers s’écrit Qr
i=1 pki
iavec pides
nombres premiers distincts, r, et les (ki)des entiers naturels alors :
ϕ(n) = n
r
Y
i=1
(1 −1
pi
)
b. En déduire pour un même n∈N:
n=X
d|n
ϕ(d)
c. Nous appelons polynôme cyclotomique pour n∈N∗:
Φn(X) =
ϕ(n)
Y
i=1
(X−ζi)
avec (ζi)1≤i≤ϕ(n)les racine n-ième primitive de l’unité.
Montrer que pour tout n∈N:
Xn−1 = Y
d|n;d∈]0;n[
Φd(X).
d. Montrer que pour m, n ∈Ntelle que pour m|net m<non ait dans Z[X]:
Φn(X)|Xn−1
Xm−1.
Partie 4 : Théorème de Wedderburn .
Le but du devoir est de montrer le théorème de Wedderburn " Tout corps fini est commutatif".
Pour se faire nous supposerons par l’absurde que K6=Z.
a. Montrer que Zxest un sous corps de Z.
Nous noterons l’opération de conjugaison "∗", la loi qui à un sous-corps Lde Ket x∈Kdonne :
L∗∗x={yxy−1|y∈L}
b. Nous appelons stabilisateur de x∈Kl’ensemble des éléments de Kqui laissent inchangé xpar conjugaison :
stab(x) = {y∈K|yxy−1=x}
Montrer que pour tout y∈K∗, il existe un entier d(y)tel que :
Card(stab(y)) = qd(y)
En déduire que que d(y)|n.

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c. Montrer que card(K∗x)=1si et seulement si x∈Z∗. En déduire que pour z0= 0, . . . , zq∈Zon a
Z=S0≤i≤q−1K∗∗zi.
Nous supposerons la formule des classes : si K∗s’écrit comme réunion de K∗∗yiavec les yi∈K∗et i∈[1; p]
pour p∈N∗alors :
Card(K) = X
1≤i≤p
Card(K∗)
Card(stab(yi)
Nous supposerons que nous pouvons écrire K∗\Zcomme réunions de K∗∗yiavec les yi∈K∗\Zet i∈[1; r]
pour r∈N∗.
d. En déduire l’égalité :
qn−1 = q−1 + X
1≤i≤r
qn−1
qd(yi)−1
Posons le polynôme :
F(X) = Xn−1 + X
1≤i≤r
Xn−1
Xd(yi)−1
e. Montrer que F∈Z[X].
f. Montrer qu’il existe Q∈Z[X]telle que F=QΦn.
g. En déduire que :
|Φ(q)| ≤ q−1
h. En déduire qu’il existe une racine u∈Ctelle que |q−u| ≤ q−1.
i. Montrer que |q−u|> q −1.Indication : Faire un dessin...
j. En déduire que tout corps fini est commutatif ( Théorème de Wedderburn ).