Problème

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Devoir Maison L3 Algèbre
I. HONORE,
25 septembre 2016
Problème
Notations et définitions :
Voici les notations et les définitions des objets dont nous avons besoin pour ce problème.
1. Le long de ce problème, nous prendrons (K, +, .) un corps avec 0K l’élément neutre pour la loi "+" et 1K
l’élément neutre pour la loi "." .
2. On dit qu’un sous-corps est premier s’il ne contient aucun sous-corps distinct de lui-même. Un élément d’un
anneau est dit premier si l’idéal engendré est premier.
3. On appelle caractéristique d’un corps le plus petit entier strictement positif n tel que n.1K = 0K . S’il n’existe
pas de tel n fini, nous dirons que la caractéristique est nulle, i.e. n = 0.
4. On dit que x ∈ K est une racine n-ième de l’unité pour n ∈ N si l’on a xn = 1. On dit également que x est
une racine de l’unité s’il existe n ∈ N tel que x soit une racine n-ième de l’unité.
5. Nous noterons U (K) l’ensemble des racines de l’unité de K et pour n ∈ N, Un (K) l’ensemble des racines n-ième
de l’unité de K.
6. On dit que x ∈ K est une racine n-ième primitive de l’unité pour n ∈ N si l’on a xm = 1 ⇒ n|m.
7. On rappelle que l’indicatrice d’Euler est la fonction :
ϕ : N∗
n
→ N∗
7→ Card({m ∈ N∗ |m ≤ n et m premier avec n })
8. Nous noterons Z le centre de K, pour tout x ∈ K, Zx sera le sous-ensemble des éléments de K qui commutent
avec x, nous prendrons de plus q ∈ N telle que q = Card(Z). Nous supposerons connue la propriété : " Soit L
un sous-corps de K ( corps fini ), alors il existe s ∈ N tel que Card(K) = Card(L)s ".
9. Pour K un corps fini, dans la dernière partie, nous noterons n ∈ N tel que :
Card(K) = q n
Le but du devoir est de montrer le théorème de Wedderburn "Tout corps fini est commutatif".
Partie 1 : Étude de la caractéristique d’un corps.
a. Montrer que les éléments premiers de Z sont les nombres premier.
b. On considère l’application ϕ : n 7→ n.1K . Montrer que ϕ est un morphisme d’anneaux entre (Z, +, ×) et (K, +, .).
c. Que dire de Z/Ker(ϕ) et Im(ϕ) ?
d. Montrer que la caractéristique d’un corps est soit nulle, soit un nombre premier.
e. Montrer qu’un nombre p ∈ N est premier si et seulement s’il divise kp pour tout k ∈ [[1; p − 1]] .
f. On suppose que K est un corps qui a pour caractéristique p > 0. Montrer que l’application x ←→ xp est un
isomorphisme de K.
Indication : Remarquer que (x + y)p = xp + y p avec x, y ∈ K.
Partie 2 : Étude des racines de l’Unité .
Dans cette partie, nous supposerons K commutatif. Nour prendrons p > 0 la caractéristique de K.
a. Montrer que U (K) forme un sous groupe multiplicatif de K\{0}.
b. Montrer que les racines de l’unité sont des éléments d’ordre fini du groupe multiplicatif K\{0}.
c. Si x est une racine de l’unité dans K alors sont ordre n’est pas divisible par p.
d. Pour tout entier m > 0 il n’existe pas dans K de racine pm -ième de l’unité autre que 1.
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e. Soit n ∈ N, montrer que le groupe Un (K) est un groupe cyclique d’ordre n.
Partie 3 : Polynômes cyclotomiques .
a. Soient n et m deux entiers et soit d leur PGCD. Le PGCD de X n − 1 et X m − 1 dans K[X] est égal à X d − 1.
Qr
Montrer que pour tout n ∈ N, si la décomposition en produits de facteurs premiers s’écrit i=1 pki i avec pi des
nombres premiers distincts, r, et les (ki ) des entiers naturels alors :
ϕ(n) = n
r
Y
(1 −
i=1
1
)
pi
b. En déduire pour un même n ∈ N :
n=
X
ϕ(d)
d|n
c. Nous appelons polynôme cyclotomique pour n ∈ N∗ :
ϕ(n)
Y
Φn (X) =
(X − ζi )
i=1
avec (ζi )1≤i≤ϕ(n) les racine n-ième primitive de l’unité.
Montrer que pour tout n ∈ N :
Y
Xn − 1 =
Φd (X).
d|n;d∈]0;n[
d. Montrer que pour m, n ∈ N telle que pour m|n et m < n on ait dans Z[X] :
Φn (X)|
Xn − 1
.
Xm − 1
Partie 4 : Théorème de Wedderburn .
Le but du devoir est de montrer le théorème de Wedderburn " Tout corps fini est commutatif".
Pour se faire nous supposerons par l’absurde que K 6= Z.
a. Montrer que Zx est un sous corps de Z.
Nous noterons l’opération de conjugaison "∗", la loi qui à un sous-corps L de K et x ∈ K donne :
L∗ ∗ x = {yxy −1 |y ∈ L}
b. Nous appelons stabilisateur de x ∈ K l’ensemble des éléments de K qui laissent inchangé x par conjugaison :
stab(x) = {y ∈ K|yxy −1 = x}
Montrer que pour tout y ∈ K ∗ , il existe un entier d(y) tel que :
Card(stab(y)) = q d(y)
En déduire que que d(y)|n.
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∗
c. Montrer
x) = 1 si et seulement si x ∈ Z ∗ . En déduire que pour z0 = 0, . . . , zq ∈ Z on a
S que card(K
∗
Z = 0≤i≤q−1 K ∗ zi .
Nous supposerons la formule des classes : si K ∗ s’écrit comme réunion de K ∗ ∗ yi avec les yi ∈ K ∗ et i ∈ [1; p]
pour p ∈ N∗ alors :
X
Card(K) =
1≤i≤p
Card(K ∗ )
Card(stab(yi )
Nous supposerons que nous pouvons écrire K ∗ \Z comme réunions de K ∗ ∗ yi avec les yi ∈ K ∗ \Z et i ∈ [1; r]
pour r ∈ N∗ .
d. En déduire l’égalité :
qn − 1 = q − 1 +
X
1≤i≤r
qn − 1
q d(yi ) − 1
Posons le polynôme :
F (X) = X n − 1 +
X
1≤i≤r
Xn − 1
X d(yi ) − 1
e. Montrer que F ∈ Z[X].
f. Montrer qu’il existe Q ∈ Z[X] telle que F = QΦn .
g. En déduire que :
|Φ(q)| ≤ q − 1
h. En déduire qu’il existe une racine u ∈ C telle que |q − u| ≤ q − 1.
i. Montrer que |q − u| > q − 1. Indication : Faire un dessin...
j. En déduire que tout corps fini est commutatif ( Théorème de Wedderburn ).