Ensembles finis - Michel Quercia

Ensembles finis
Exercice 1. Permutations de [[1,12]]
Combien y a-t-il de bijections fde [[1,12]] dans lui même possédant :
1) la propriété : nest pair ⇒f(n) est pair ?
2) la propriété : nest divisible par 3 ⇒f(n) est divisible par 3 ?
3) ces deux propriétés à la fois ?
4) Reprendre les questions précédentes en remplaçant bijection par application.
Exercice 2. Permutations de couples
On doit placer autour d’une table ronde un groupe de 2npersonnes, nhommes et nfemmes, qui consti-
tuent ncouples. Combien existe-t-il de dispositions . . .
1) au total ?
2) en respectant l’alternance des sexes ?
3) sans séparer les couples ?
4) en remplissant les deux conditions précédentes ?
Exercice 3. Nombre d’opérations
1) Combien existe-t-il d’opérations internes sur un ensemble à néléments ?
2) Combien sont commutatives ?
3) Combien ont un élément neutre ?
4) Combien sont commutatives et ont un élément neutre ?
Exercice 4. Formule du crible
Soient A1, . . . , An,nensembles finis.
1) a) Calculer card(A1∪A2∪A3) et card(A1∪A2∪A3∪A4).
b) Suggérer une formule pour card(A1∪. . . ∪An).
2) Démonstration de la formule : On note E=Sn
i=1 Ai, et pour x∈Eon pose fi(x) = 1 si x∈Ai,
fi(x) = 0 sinon.
a) Soient x1, . . . , xn∈R. Développer complètement p= (1 −x1)×. . . ×(1 −xn).
b) En considérant la somme Px∈E(1 −f1(x)) . . . (1 −fn(x)), démontrer la formule 1b).
3) Applications :
a) Déterminer le nombre d’applications f: [[1, p]] →[[1, n]] non surjectives.
b) Déterminer le nombre de permutations d’un ensemble à néléments ayant au moins un point fixe.
Exercice 5. Inégalités pour la formule du crible
Soient A1, . . . , An,nensembles finis, et E=Sn
i=1 Ai.
1) Montrer que card(E)6Pn
i=1 card(Ai). Cas d’égalité ?
2) Montrer que card(E)>Pn
i=1 card(Ai)−P16i<j6ncard(Ai∩Aj). Cas d’égalité ?
Exercice 6. Couples (A, B)tels que A∪B=E
Soit Eun ensemble fini à néléments, et E={(A, B)∈ P(E)2tq A∪B=E}. Chercher card(E).
Exercice 7. Parties ne contenant pas d’éléments consécutifs
1) Combien y a-t-il de parties à péléments de [[1, n]] ne contenant pas d’éléments consécutifs ?
Indication : Si {x1, . . . , xp}est une telle partie avec x1< x2< . . . < xp, considérer l’ensemble
{x1−1, . . . , xp−p}.
2) Soit tnle nombre de parties de [[1, n]] de cardinal quelconque sans éléments consécutifs.
a) Montrer que tn+2 =tn+1 +tn,t2n+1 =t2
n+t2 n−1, et t2n=t2 n−t2 n−2.
b) Calculer t50.
fini.tex – mardi 29 juin 2010

Exercice 8. Nombre de relations d’équivalence
Soit Rnle nombre de relations d’équivalence sur un ensemble à néléments.
1) Trouver une relation de récurrence entre Rnet les Rk,k < n (fixer un élément, et raisonner sur la
classe d’équivalence de cet élément).
2) Calculer Rnpour n66.
Exercice 9. Equivalence entre fonctions
Soient E, F , deux ensembles non vides. On définit deux relations sur X=FEpar :
f∼g⇔ ∃ ϕ:F→Fbijective tq g=ϕ◦f;
f≡g⇔(∀x, y ∈E, f(x) = f(y)⇔g(x) = g(y)).
1) Montrer que ce sont des relations d’équivalence.
2) Montrer que f∼g⇒f≡g.
3) On suppose f≡g. Montrer que f∼gdans les cas suivants :
a) Fest fini et fest surjective.
b) Fest fini et fest quelconque.
c) Eest fini.
4) Chercher un contrexemple pour E=F=N.
Exercice 10. Très bon ordre
Soit Eun ensemble ordonné dans lequel toute partie non vide possède un plus grand et un plus petit
élément. Montrer que Eest totalement ordonné et fini.
Exercice 11. Élément maximal
Soit Eun ensemble ordonné. Un élément a∈Eest dit maximal s’il n’existe pas de b∈Etq b > a.
1) Si Eest totalement ordonné, montrer que : maximal ⇔maximum.
2) E={1,2,3,4,5,6}ordonné par la divisibilité. Chercher les éléments maximaux.
3) Si Eest fini, montrer qu’il existe un élément maximal.
4) Si Eest fini et n’a qu’un seul élément maximal, montrer que cet élément est maximum.
Exercice 12. Nombres de Catalan
Soient x1, . . . , xn,nréels. Pour calculer la somme x1+. . . +xn, on place des parenthèses de façon à
n’avoir que des additions de deux nombres à effectuer. Soit tnle nombre minimal de manières de placer
les parenthèses (on pose t1= 1).
1) Déterminer t2, t3, t4.
2) Trouver une relation de récurrence entre tnet t1, . . . , tn−1.
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solutions
Exercice 1.
1) (6!)2, 66×126.
2) 4! ×8!, 44×128.
3) 2!2!4!4!, 22×42×64×124.
Exercice 2.
1) (2n)!.
2) 2(n!)2.
3) 2n+1 ×n!.
4) 4×n!.
Exercice 3.
1) nn2.
2) nn(n+1)/2.
3) n×n(n−1)2.
4) n×nn(n−1)/2.
Exercice 4.
3) a) Pn
k=1(−1)kn
k(n−k)p.
b) Pn
k=1
(−1)kn!
k!.
Exercice 5.
2) Récurrence. Égalité pour n62 ou les Ai3 à 3 disjoints.
Exercice 6.
3n.
Exercice 7.
1) {x1−1, . . . , xp−p}est une partie quelconque de {0, . . . , n −p}, donc N=n−p+ 1
p.
2) b) 32951280099.
Exercice 8.
1) Rn=Pn−1
k=0 n−1
kRkavec R0= 1.
2) 1,1,2,5,15,52,203.
Exercice 12.
1) 1,2,5.
2) tn=Pn−1
k=1 tktn−k.
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