MPSI Dénombrement, Combinatoire

MPSI
Dénombrement, Combinatoire
Exercice 1 :
Trouver une bijection entre IN et ZZ.
Exercice 2 :
– Montrer que l’application IN ×IN →IN
(p;q)7→ 2p3qest injective.
– Construire une bijection de ZZ dans IN.
– En déduire une injection de QI dans IN.
Exercice 3 :
Montrer que pour tout s∈IN∗,INsest dénombrable.
Exercice 4 :
Soit Eun ensemble fini. Montrer que P(E)est fini et Card(P(E)) = 2Card(E).
Exercice 5 :
Soit Eun ensemble tel que le cardinal de P(E)soit fini. Montrer alors que Eest fini.
Exercice 6 :
Soient Eun ensemble fini, n=Card(E),Rune relation d’équivalence dans E,
N=Card(E/R)et ρreprésente le nombre de couples (x, y)∈E2tels que xRy.
1. En notant E1, E2,...,ENles éléments de E/R, montrer que :
ρ=
N
X
i=1
(Card(Ei))2.
2. En déduire n2≤Nρ.
Exercice 7 :
Soient (n, p)∈IN2tel que n≥p2+ 1 et (x1, . . . , xn)∈INn. Montrer :
au moins p+ 1 des nombres x1,...,xnsont égaux
ou
au moins p+ 1 des nombres x1,...,xnsont deux à deux distincts.
Exercice 8 :
Calculer pour n∈IN∗:
E(n
2)
X
k=0
C2k
net
E(n
2)
X
k=0
C2k+1
n
Exercice 9 :
Soit (n, p)∈(IN∗)2tel que n≥2p. Calculer
p
X
k=0
Cp−k
nCp+k
n
1

Exercice 10 :
Etablir ∀(n, p, q)∈IN3,Pn
k=0(n−k)Cn−k
pCk q=np
p+qCn
p+q.
Exercice 11 :
Pour (n, p)∈IN2, on note Sp(n) = Pn
k=0 kp.
– Montrer :
∀(n, p)∈IN2, Sp+1(n+ 1) =
p+1
X
k=0
Ck
p+1Sk(n).
– En déduire :
∀(n, p)∈IN2,(n+ 1)(p+1) =
p
X
k=0
Ck
p+1Sk(n).
– Retrouver les valeurs des sommes classiques :
n
X
k=0
k,
n
X
k=0
k2,
n
X
k=0
k2.
Exercice 12 :
Calculer pour n∈IN∗:
n
X
k=0
(−1)kkCk
net
n
X
k=0
(−1)kCk
n
k+ 1.
Exercice 13 :
Calculer les sommes suivantes pour n∈IN∗:
X
0≤3k≤n
C3k
n,X
0≤3k+1≤n
C3k+1
net X
0≤3k+2≤n
C3k+2
n
Combien y a-t-il de surjections de {1,...,n+ 1}dans {1,...,n}.
Exercice 14 :
Soit (n, p)∈(IN∗)2. On note Hp
nle nombre de p-uplets (x1,...,xp)∈INptels que
Pp
k=1 xk=n.
– Montrer que : Hp
n=Pn
k=0 Hp−1
n−k
– Montrer alors par récurrence que Hp
n= Cp−1
n+p−1.
Exercice 15 :
On trace les cordes d’un cercle (C)joignant deux à deux npoints A1,...,Ande (C);
on suppose que trois de ces cordes ne sont jamais concourantes. En combien de points
intérieurs au cercle se coupent-elles?
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