MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+17 janvier 2014
PROGRAMME DE COLLE S15
NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.
ENTIERS RELATIFS, ARITHM´
ETIQUE
Division euclidienne dans Z
Th´eor`eme.— Division euclidienne dans Z —.Pour tout couple (a, b)Z×Nd’entiers tel que b6= 0, il existe un
couple (q, r)Z2,unique tel que a=bq +r
0r < b
Proposition.— Soit (a, b)Z×N.bdivise asi et seulement si le reste de la division euclidienne de apar best nul.
PGCD de deux entiers
Soit (a, b)Z2un couple d’entiers relatifs, on note D(a, b) l’ensemble des diviseurs communs `a aet b.
efinition : Soit (a, b)Z2un couple d’entiers relatifs, tel que (a, b)6= (0,0). Le plus grand ´el´ement de D(a, b)est
appel´e plus grand diviseur commun `a aet b. Cet entier naturel est not´e P GCD(a, b)ou encore ab
Proposition.— Lemme d’Euclide —. Soit (a, b)Z×N. Notons rle reste de la division euclidienne de apar b.
Alors ab=br.
Savoir-faire : l’algorithme d’Euclide pour d´eterminer ab, et ´etablir une ´egalit´e de Bezout par remont´ee.
Th´eor`eme.— Caract´erisations du PGCD —. Soit (a, b)Z2,dN. On note aZ+bZ={a.k +b.ℓ, (k, ℓ)Z2}.
Les asse ~
w
w
w
w
d=ab
aZ+bZ=dZ
• D(a, b) = D(d)
en´eralisation : Soit a1, a2,...,andes entiers non tous nuls. L’ensemble des diviseurs communs `a a1,a2, . . ., anadmet
un plus grand ´el´ement, appel´e plus grand commun diviseur et not´e P GCD(a1, a2,...,an).
Proposition.— Relation de Bezout —. Soit (a1,...,an)Zn,d=P GCD(a1,...,an). Alors il existe (u1, u2,...,un)
Zntel que d=a1u1+a2u2+···+anun
PPCM de deux entiers
L’ensemble des multiples communs `a aet best not´e aZbZ.
efinition : Soit (a, b)(Z)2un couple d’entiers relatifs, non nuls. Le plus petit ´eement strictement positif de
aZbZest appel´e plus petit multiple commun `a aet b. Cet entier naturel est not´e P P CM (a, b)ou encore ab.
Th´eor`eme.— Caract´erisation du PPCM —.Soit (a, b)Z2. Pour tout entier naturel mN, les asse :
~
w
w
m=ab
aZbZ=mZ
Entiers premiers entre eux
efinition : Soit (a, b)Z2. On dit que aet bsont premiers entre eux si D(a, b) = 1}.
Remarque : aet bsont premiers entre eux si et seulement si ab= 1.
Th´eor`eme.— Th´eor`eme de Bezout —. Soit (a, b)Z2.
ab= 1 ⇒ ∃(u, v)Z2, au +bv = 1
Proposition.— Soit (a, b, c)Z3.aet le produit bc sont premiers entre eux ssi aest premier avec bet c.
1
Th´eor`eme.— Th´eor`eme de Gauss —. Soit (a, b, c)Z3.
a|bc
ab= 1 a|c.
Proposition.— Soit (a, b, c)Z3. Si aet bdivisent cet ab= 1, alors ab divise c.
Proposition*.— Produit du PGCD et du PPCM —. Soit (a, b)Z2, alors
(ab)×(ab) = |ab|
Application : esolution dans Z2des ´equations diophantiennes (E)ax +by =c.
efinition : Soit (a1, a2,...,an)(Z)n. On dit que
a1, a2,...,ansont premiers entre eux dans leur ensemble si P GCD(a1, a2,...,an) = 1.
a1, a2,...,ansont deux `a deux premiers entre eux si (i, j)[[1, n]]2,i6=jaiaj= 1.
Nombres premiers
efinition : On appelle nombre premier tout entier naturel p2dont les seuls diviseurs dans Nsont 1 et p
lui-mˆeme. Un entier naturel n2qui n’est pas premier est dit compos´e. Dans ce cas, il existe un entier kN,
1< k < n tel que k|n. On note Pl’ensemble des nombres premiers.
Proposition*.—
Tout entier n2 admet au moins un diviseur premier.
Tout entier n2 compos´e admet au moins un diviseur premier perifiant pn.
Th´eor`eme*.— L’ensemble Pdes nombres premiers est infini.
Th´eor`eme*.— ecomposition primaire d’un entier —.Soit nN,n2. Il existe alors des nombres premiers
p1, p2,...,pN( avec p1< p2<···< pN), et des entiers naturels non nuls α1, α2,...,αN, uniques, tels que :
n=pα1
1×pα2
2× ··· × pαN
N.
Proposition*.— Diviseurs positifs d’un entier —. Soit nN,n2, ecompos´e sous la forme d’un produit de
facteurs premiers n=pα1
1×pα2
2× ··· × pαN
N. Les diviseurs positifs de nsont tous les entiers naturels qui s’´ecrivent
sous la forme
d=pβ1
1×pβ2
2× ··· × pβN
N,o`u 0 βiαi
Th´eor`eme*.— Factorisation du PGCD et du PPCM en produit de nombres premiers —. Soit (a, b)N2, deux
entiers naturels sup´erieurs ou ´egaux `a 2 donn´es par
a=pα1
1×pα2
2× ··· × pαN
Net b=pβ1
1×pβ2
2× ··· × pβN
N
o`u p1, p2,...,pNsont des nombres premiers deux `a deux distincts, et les exposants, (αi), (βi) sont des nombres entiers,
positifs ou nuls. Alors
ab=pmin(α11)
1×pmin(α22)
2× ··· × pmin(αNN)
N
ab=pmax(α11)
1×pmax(α22)
2× ··· × pmax(αNN)
N
Corollaire*.— Soit (a, b)Z2deux entiers non nuls. Alors
aet bsont premiers entre eux ssi aet bn’ont pas de diviseurs premiers communs.
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