PROGRAMME DE COLLE S15 ENTIERS RELATIFS

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+17 janvier 2014
PROGRAMME DE COLLE S15
NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.
ENTIERS RELATIFS, ARITHM´ ETIQUE
Division euclidienne dans Z
Th´eor`eme.— Division euclidienne dans Z —.Pour tout couple (a, b)∈Z×N⋆d’entiers tel que b6= 0, il existe un
couple (q, r)∈Z2,unique tel que •a=bq +r
•0≤r < b
Proposition.— Soit (a, b)∈Z×N⋆.bdivise asi et seulement si le reste de la division euclidienne de apar best nul.
PGCD de deux entiers
Soit (a, b)∈Z2un couple d’entiers relatifs, on note D(a, b) l’ensemble des diviseurs communs `a aet b.
D´efinition : Soit (a, b)∈Z2un couple d’entiers relatifs, tel que (a, b)6= (0,0). Le plus grand ´el´ement de D(a, b)est
appel´e plus grand diviseur commun `a aet b. Cet entier naturel est not´e P GCD(a, b)ou encore a∧b
Proposition.— Lemme d’Euclide —. Soit (a, b)∈Z×N⋆. Notons rle reste de la division euclidienne de apar b.
Alors a∧b=b∧r.
Savoir-faire : l’algorithme d’Euclide pour d´eterminer a∧b, et ´etablir une ´egalit´e de Bezout par remont´ee.
Th´eor`eme.— Caract´erisations du PGCD —. Soit (a, b)∈Z2,d∈N. On note aZ+bZ={a.k +b.ℓ, (k, ℓ)∈Z2}.
Les asse ~
w
w
w
w
•d=a∧b
•aZ+bZ=dZ
• D(a, b) = D(d)
G´en´eralisation : Soit a1, a2,...,andes entiers non tous nuls. L’ensemble des diviseurs communs `a a1,a2, . . ., anadmet
un plus grand ´el´ement, appel´e plus grand commun diviseur et not´e P GCD(a1, a2,...,an).
Proposition.— Relation de Bezout —. Soit (a1,...,an)∈Zn,d=P GCD(a1,...,an). Alors il existe (u1, u2,...,un)∈
Zntel que d=a1u1+a2u2+···+anun
PPCM de deux entiers
L’ensemble des multiples communs `a aet best not´e aZ∩bZ.
D´efinition : Soit (a, b)∈(Z⋆)2un couple d’entiers relatifs, non nuls. Le plus petit ´el´ement strictement positif de
aZ∩bZest appel´e plus petit multiple commun `a aet b. Cet entier naturel est not´e P P CM (a, b)ou encore a∨b.
Th´eor`eme.— Caract´erisation du PPCM —.Soit (a, b)∈Z2. Pour tout entier naturel m∈N, les asse :
~
w
w
•m=a∨b
•aZ∩bZ=mZ
Entiers premiers entre eux
D´efinition : Soit (a, b)∈Z2. On dit que aet bsont premiers entre eux si D(a, b) = {±1}.
Remarque : aet bsont premiers entre eux si et seulement si a∧b= 1.
Th´eor`eme.— Th´eor`eme de Bezout —. Soit (a, b)∈Z2.
a∧b= 1 ⇐⇒ ∃(u, v)∈Z2, au +bv = 1
Proposition.— Soit (a, b, c)∈Z3.aet le produit bc sont premiers entre eux ssi aest premier avec bet c.
1

Th´eor`eme.— Th´eor`eme de Gauss —. Soit (a, b, c)∈Z3.
•a|bc
•a∧b= 1 ⇒a|c.
Proposition.— Soit (a, b, c)∈Z3. Si aet bdivisent cet a∧b= 1, alors ab divise c.
Proposition*.— Produit du PGCD et du PPCM —. Soit (a, b)∈Z2, alors
(a∧b)×(a∨b) = |ab|
Application : r´esolution dans Z2des ´equations diophantiennes (E)ax +by =c.
D´efinition : Soit (a1, a2,...,an)∈(Z⋆)n. On dit que
•a1, a2,...,ansont premiers entre eux dans leur ensemble si P GCD(a1, a2,...,an) = 1.
•a1, a2,...,ansont deux `a deux premiers entre eux si ∀(i, j)∈[[1, n]]2,i6=j⇒ai∧aj= 1.
Nombres premiers
D´efinition : On appelle nombre premier tout entier naturel p≥2dont les seuls diviseurs dans Nsont 1 et p
lui-mˆeme. Un entier naturel n≥2qui n’est pas premier est dit compos´e. Dans ce cas, il existe un entier k∈N,
1< k < n tel que k|n. On note Pl’ensemble des nombres premiers.
Proposition*.—
•Tout entier n≥2 admet au moins un diviseur premier.
•Tout entier n≥2 compos´e admet au moins un diviseur premier pv´erifiant p≤√n.
Th´eor`eme*.— L’ensemble Pdes nombres premiers est infini.
Th´eor`eme*.— D´ecomposition primaire d’un entier —.Soit n∈N,n≥2. Il existe alors des nombres premiers
p1, p2,...,pN( avec p1< p2<···< pN), et des entiers naturels non nuls α1, α2,...,αN, uniques, tels que :
n=pα1
1×pα2
2× ··· × pαN
N.
Proposition*.— Diviseurs positifs d’un entier —. Soit n∈N,n≥2, d´ecompos´e sous la forme d’un produit de
facteurs premiers n=pα1
1×pα2
2× ··· × pαN
N. Les diviseurs positifs de nsont tous les entiers naturels qui s’´ecrivent
sous la forme
d=pβ1
1×pβ2
2× ··· × pβN
N,o`u 0 ≤βi≤αi
Th´eor`eme*.— Factorisation du PGCD et du PPCM en produit de nombres premiers —. Soit (a, b)∈N2, deux
entiers naturels sup´erieurs ou ´egaux `a 2 donn´es par
a=pα1
1×pα2
2× ··· × pαN
Net b=pβ1
1×pβ2
2× ··· × pβN
N
o`u p1, p2,...,pNsont des nombres premiers deux `a deux distincts, et les exposants, (αi), (βi) sont des nombres entiers,
positifs ou nuls. Alors
a∧b=pmin(α1,β1)
1×pmin(α2,β2) 2× ··· × pmin(αN,βN)
N
a∨b=pmax(α1,β1)
1×pmax(α2,β2) 2× ··· × pmax(αN,βN)
N
Corollaire*.— Soit (a, b)∈Z2deux entiers non nuls. Alors
aet bsont premiers entre eux ssi aet bn’ont pas de diviseurs premiers communs.
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