MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+13 janvier 2012
PROGRAMME DE COLLE S13
NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.
ENTIERS RELATIFS, ARITHM´
ETIQUE
Division euclidienne dans Z
Th´eor`eme.— Division euclidienne dans Z —.Pour tout couple (a, b)∈Z×N⋆d’entiers tel que b6= 0, il existe un
couple (q, r)∈Z2,unique tel que
•a=bq +r
•0≤r < b
Proposition.— Soit (a, b)∈Z×N⋆.bdivise asi et seulement si le reste de la division euclidienne de apar best nul.
PGCD de deux entiers
Soit (a, b)∈Z2un couple d’entiers relatifs, on note D(a, b) l’ensemble des diviseurs communs `a aet b.
D´efinition : Soit (a, b)∈Z2un couple d’entiers relatifs, tel que (a, b)6= (0,0). Le plus grand ´el´ement de D(a, b)est
appel´e plus grand diviseur commun `a aet b. Cet entier naturel est not´e P GCD(a, b)ou encore a∧b
Proposition.— Soit (a, b)∈Z×N⋆. Notons rle reste de la division euclidienne de apar b. Alors
a∧b=b∧r
Savoir-faire : l’algorithme d’Euclide pour d´eterminer a∧b, et ´etablir une ´egalit´e de Bezout par remont´ee.
Th´eor`eme.— Caract´erisations du PGCD —. Soit (a, b)∈Z2, on note a.Z+b.Z={a.k +b.ℓ, ; (k, ℓ)∈Z2}.
Pour tout entier naturel d∈N, les assertions suivantes sont ´equivalentes :
~
w
w
w
w
•d=a∧b
•aZ+bZ=dZ
•(∀q∈N),(q|a) et (q|b)⇐⇒ (q|d)
PPCM de deux entiers
L’ensemble des multiples communs `a aet best not´e aZ∩bZ.
D´efinition : Soit (a, b)∈(Z⋆)2un couple d’entiers relatifs, non nuls. L’ensemble des ´el´ements de N⋆multiples com-
muns `a aet badmet un plus petit ´el´ement, appel´e plus petit multiple commun `a aet b. Cet entier naturel est not´e
P P CM(a, b)ou encore a∨b.
Th´eor`eme.— Caract´erisation du PPCM —.Soit (a, b)∈Z2. Pour tout entier naturel m∈N, les asse :
~
w
w
•m=a∨b
•aZ∩bZ=mZ
Entiers premiers entre eux
D´efinition : Soit (a, b)∈Z2. On dit que aet bsont premiers entre eux si D(a, b) = {±1}.
Remarque : aet bsont premiers entre eux si et seulement si a∧b= 1.
Th´eor`eme.— Th´eor`eme de Bezout —. Soit (a, b)∈Z2.
a∧b= 1 ⇐⇒ ∃(u, v)∈Z2, au +bv = 1
Proposition.— Soit (a, b, c)∈Z3.aet le produit bc sont premiers entre eux ssi aest premier avec bet c.
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