Limites, continuité dérivabilité - Site Personnel de Arnaud de Saint

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Résumé de cours sur l’analyse réelle
1 Les limites
1. Neufs définitions de limite à connaître.
2. Quelques propriétés :
• unicité de la limite, notion de limite à gauche et à droite
• si fadmet une limite finie en a, alors fbornée au voisinage de a
•(⋆)si fadmet en aune limite l > 0, alors f > 0 au voisinage de a.
3. Opérations algébriques sur les limites et théorèmes de comparaison comme pour les suites
4. Caractérisation séquentielle de la limite de fonctions : application cos n’admet pas de limite en +∞.
5. Théorème de la limite monotone
2 Continuité
2.1 Généralités
1. Définition : fcontinue en asi limx→af(x) = f(a). Exemple : l’application x7→ ⌊x2⌋est continue en 0
mais pas en √2.
2. Opérations sur les fonctions continues : stable par combinaison linéaire, produit, quotient, composée.
3. Quelques propriétés :
• Caractérisation séquentielle de la continuité : fest continue en asi et seulement si pour tout suite
(un)nde points de Iqui converge vers a, la suite (f(un))nconverge vers f(a).
Cela s’utilise souvent de la façon suivante : si untend vers aet que fest continue en a, alors f(un)
tend vers f(a). Application : (⋆)soit f:I→Icontinue. Si la suite udéfinie par un+1 =f(un) et
u0∈Iconverge vers l∈I, alors lest un point fixe de f.
• Si f(a)>0 et fcontinue en a, alors f > 0 au voisinage de a.
2.2 Grands théorèmes
1. Le théorème des valeurs intermédiaires : Soit fune fonction réelle continue sur un intervalle I. Pour tous
réels aet bde I,fprend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b).
Autre formulation : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Il est souvent utilisé de la façon suivante : si fcontinue change de signe, alors elle s’annule.
Application : un polynôme réel de degré impair admet toujours au moins une racine réelle.
2. (⋆)Le théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment [a, b] est bornée et atteint
ses bornes.
Corollaire : l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Application : (⋆)soit f:R+→Rcontinue qui admet une limite finie en +∞. Alors fest bornée.
3. Bijections continues :
Théorème de la bijection : si f:I→Jest strictement monotone et continue, alors fest une bijection de
Isur l’intervalle f(I) et la fonction réciproque est aussi strictement monotone et continue.
Réciproquement si fest une injection continue, alors fest nécessairement strictement monotone.

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3 Dérivabilité
3.1 Généralités
1. Définition : fdérivable en asi limx→af(x)−f(a)
x−a=lest finie. On note f′(a) cette limite, qui est le coefficient
directeur de la tangente en a.
Si fest dérivable, alors fest continue mais réciproque fausse (CEX : racine carrée ou valeur absolue en
0).
2. Opérations sur les fonctions dérivables :
• stable par combinaison linéaire, produit, quotient, composée
• si fbijective, dérivable en aet f′(a)6= 0, alors f−1dérivable en b=f(a) et f′−1(b) = 1
f′(f−1(b)) .
3. Dérivées successives :
• Notion de fonction de classe Ck
• formule de Leibniz pour dériver nfois le produit f g
3.2 Grands théorèmes
1. Théorème des points critiques (⋆): si fdérivable admet un extremum local en aun point intérieur, alors
f′(a) = 0. Réciproque fausse, CEX : f(x) = x3
2. Le théorème de Rolle (⋆)«machine à fabriquer des zéros de f′» : soit fcontinue sur [a, b] et dérivable
sur ]a, b[. Si f(a) = f(b), alors f′s’annule entre aet b.
Application : si P= (X−a)(X−b)2(X−c)3, alors P′est scindé, puis allure de P.
3. Les accroissements finis :
• théorème (⋆): si fest continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c∈]a, b[ tel que
f(b)−f(a) = f′(c)(b−a). Interprétation graphique.
• inégalité : Soit fune fonction dérivable sur Itelle que f′est bornée sur Ipar M. Alors pour tout a
et bdans I, on a |f(b)−f(a)|6M|b−a|
C’est un outil à fabriquer des fonctions K−LIP . Lorsque que K∈[0,1[, cela permet d’étudier des
suites du type un+1 =f(un).
Application : lien entre variation et signe de la dérivée. Une nouveauté : si f′>0 et que f′ne s’annule
pas sur tout un intervalle ouvert (moralement f′s’annule peu), alors fstrictement croisssante.
4. Le théorème de la limite de la dérivée :
⊲Soit fune fonction réelle continue sur [a, b] et dérivable sur [a, b[.
•(⋆)Si lim
x→bf′(x) = l∈R, alors fest dérivable en bet f′(b) = l(on a même fest de classe C1en b).
• Si lim
x→bf′(x) = ±∞, alors fn’est pas dérivable en b, mais la courbe de fadmet une tangente verticale
au point d’abscisse b.
Exemple : étudier la dérivabilité de la fonction x7→ arcsin(1 −x2).
Le corollaire suivant est très pratique pour prouver la classe C1: soit a∈Ret fune fonction de classe
C1sur I\ {a}. Si limx→af(x) = l∈Ret limx→af′(x) = m∈R, alors fse prolonge en une fonction de
classe C1sur Ien posant f(0) = let on a f′(a) = m.
Exemple : f(x) = sin x
x.
On généralise à la classe Ckpar récurrence :
⊲Le théorème de prolongement de classe Ck: soit a∈R, k ∈Net fune fonction de classe Cksur I\{a}.
Si pour tout i∈J0, kK,f(i)admet une limite finie lien a, alors fse prolonge en une fonction de classe Ck
sur Iet on a pour tout i∈J0, kK,f(i)(a) = li.
Application : existence de «fonctions plates», la fonction fdéfinie sur ]0,+∞[ par f(x) = exp −1
xse
prolonge en une fonction de classe Cksur [0,+∞[ et ses dérivées successives en 0 sont nulles.