©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 2
3 Dérivabilité
3.1 Généralités
1. Définition : fdérivable en asi limx→af(x)−f(a)
x−a=lest finie. On note f′(a) cette limite, qui est le coefficient
directeur de la tangente en a.
Si fest dérivable, alors fest continue mais réciproque fausse (CEX : racine carrée ou valeur absolue en
0).
2. Opérations sur les fonctions dérivables :
• stable par combinaison linéaire, produit, quotient, composée
• si fbijective, dérivable en aet f′(a)6= 0, alors f−1dérivable en b=f(a) et f′−1(b) = 1
f′(f−1(b)) .
3. Dérivées successives :
• Notion de fonction de classe Ck
• formule de Leibniz pour dériver nfois le produit f g
3.2 Grands théorèmes
1. Théorème des points critiques (⋆): si fdérivable admet un extremum local en aun point intérieur, alors
f′(a) = 0. Réciproque fausse, CEX : f(x) = x3
2. Le théorème de Rolle (⋆)«machine à fabriquer des zéros de f′» : soit fcontinue sur [a, b] et dérivable
sur ]a, b[. Si f(a) = f(b), alors f′s’annule entre aet b.
Application : si P= (X−a)(X−b)2(X−c)3, alors P′est scindé, puis allure de P.
3. Les accroissements finis :
• théorème (⋆): si fest continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c∈]a, b[ tel que
f(b)−f(a) = f′(c)(b−a). Interprétation graphique.
• inégalité : Soit fune fonction dérivable sur Itelle que f′est bornée sur Ipar M. Alors pour tout a
et bdans I, on a |f(b)−f(a)|6M|b−a|
C’est un outil à fabriquer des fonctions K−LIP . Lorsque que K∈[0,1[, cela permet d’étudier des
suites du type un+1 =f(un).
Application : lien entre variation et signe de la dérivée. Une nouveauté : si f′>0 et que f′ne s’annule
pas sur tout un intervalle ouvert (moralement f′s’annule peu), alors fstrictement croisssante.
4. Le théorème de la limite de la dérivée :
⊲Soit fune fonction réelle continue sur [a, b] et dérivable sur [a, b[.
•(⋆)Si lim
x→bf′(x) = l∈R, alors fest dérivable en bet f′(b) = l(on a même fest de classe C1en b).
• Si lim
x→bf′(x) = ±∞, alors fn’est pas dérivable en b, mais la courbe de fadmet une tangente verticale
au point d’abscisse b.
Exemple : étudier la dérivabilité de la fonction x7→ arcsin(1 −x2).
Le corollaire suivant est très pratique pour prouver la classe C1: soit a∈Ret fune fonction de classe
C1sur I\ {a}. Si limx→af(x) = l∈Ret limx→af′(x) = m∈R, alors fse prolonge en une fonction de
classe C1sur Ien posant f(0) = let on a f′(a) = m.
Exemple : f(x) = sin x
x.
On généralise à la classe Ckpar récurrence :
⊲Le théorème de prolongement de classe Ck: soit a∈R, k ∈Net fune fonction de classe Cksur I\{a}.
Si pour tout i∈J0, kK,f(i)admet une limite finie lien a, alors fse prolonge en une fonction de classe Ck
sur Iet on a pour tout i∈J0, kK,f(i)(a) = li.
Application : existence de «fonctions plates», la fonction fdéfinie sur ]0,+∞[ par f(x) = exp −1
xse
prolonge en une fonction de classe Cksur [0,+∞[ et ses dérivées successives en 0 sont nulles.