Limites, continuité dérivabilité - Site Personnel de Arnaud de Saint

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
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Résumé de cours sur l’analyse réelle
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Les limites
1. Neufs définitions de limite à connaître.
2. Quelques propriétés :
• unicité de la limite, notion de limite à gauche et à droite
• si f admet une limite finie en a, alors f bornée au voisinage de a
• (⋆) si f admet en a une limite l > 0, alors f > 0 au voisinage de a.
3. Opérations algébriques sur les limites et théorèmes de comparaison comme pour les suites
4. Caractérisation séquentielle de la limite de fonctions : application cos n’admet pas de limite en +∞.
5. Théorème de la limite monotone
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Continuité
2.1
Généralités
1. Définition : f√ continue en a si limx→a f (x) = f (a). Exemple : l’application x 7→ ⌊x2 ⌋ est continue en 0
mais pas en 2.
2. Opérations sur les fonctions continues : stable par combinaison linéaire, produit, quotient, composée.
3. Quelques propriétés :
• Caractérisation séquentielle de la continuité : f est continue en a si et seulement si pour tout suite
(un )n de points de I qui converge vers a, la suite (f (un ))n converge vers f (a).
Cela s’utilise souvent de la façon suivante : si un tend vers a et que f est continue en a, alors f (un )
tend vers f (a). Application : (⋆) soit f : I → I continue. Si la suite u définie par un+1 = f (un ) et
u0 ∈ I converge vers l ∈ I, alors l est un point fixe de f .
• Si f (a) > 0 et f continue en a, alors f > 0 au voisinage de a.
2.2
Grands théorèmes
1. Le théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle I. Pour tous
réels a et b de I, f prend toutes les valeurs comprises entre f (a) et f (b).
Autre formulation : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Il est souvent utilisé de la façon suivante : si f continue change de signe, alors elle s’annule.
Application : un polynôme réel de degré impair admet toujours au moins une racine réelle.
2. (⋆) Le théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment [a, b] est bornée et atteint
ses bornes.
Corollaire : l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Application : (⋆) soit f : R+ → R continue qui admet une limite finie en +∞. Alors f est bornée.
3. Bijections continues :
Théorème de la bijection : si f : I → J est strictement monotone et continue, alors f est une bijection de
I sur l’intervalle f (I) et la fonction réciproque est aussi strictement monotone et continue.
Réciproquement si f est une injection continue, alors f est nécessairement strictement monotone.
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Dérivabilité
3.1
Généralités
1. Définition : f dérivable en a si limx→a
directeur de la tangente en a.
f (x)−f (a)
x−a
= l est finie. On note f ′ (a) cette limite, qui est le coefficient
Si f est dérivable, alors f est continue mais réciproque fausse (CEX : racine carrée ou valeur absolue en
0).
2. Opérations sur les fonctions dérivables :
• stable par combinaison linéaire, produit, quotient, composée
• si f bijective, dérivable en a et f ′ (a) 6= 0, alors f −1 dérivable en b = f (a) et f ′−1 (b) =
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f ′ (f −1 (b)) .
3. Dérivées successives :
• Notion de fonction de classe C k
• formule de Leibniz pour dériver n fois le produit f g
3.2
Grands théorèmes
1. Théorème des points critiques (⋆) : si f dérivable admet un extremum local en a un point intérieur, alors
f ′ (a) = 0. Réciproque fausse, CEX : f (x) = x3
2. Le théorème de Rolle (⋆) «machine à fabriquer des zéros de f ′ » : soit f continue sur [a, b] et dérivable
sur ]a, b[. Si f (a) = f (b), alors f ′ s’annule entre a et b.
Application : si P = (X − a)(X − b)2 (X − c)3 , alors P ′ est scindé, puis allure de P .
3. Les accroissements finis :
• théorème (⋆) : si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a). Interprétation graphique.
• inégalité : Soit f une fonction dérivable sur I telle que f ′ est bornée sur I par M . Alors pour tout a
et b dans I, on a |f (b) − f (a)| 6 M |b − a|
C’est un outil à fabriquer des fonctions K − LIP . Lorsque que K ∈ [0, 1[, cela permet d’étudier des
suites du type un+1 = f (un ).
Application : lien entre variation et signe de la dérivée. Une nouveauté : si f ′ > 0 et que f ′ ne s’annule
pas sur tout un intervalle ouvert (moralement f ′ s’annule peu), alors f strictement croisssante.
4. Le théorème de la limite de la dérivée :
⊲ Soit f une fonction réelle continue sur [a, b] et dérivable sur [a, b[.
• (⋆) Si lim f ′ (x) = l ∈ R, alors f est dérivable en b et f ′ (b) = l (on a même f est de classe C 1 en b).
x→b
′
• Si lim f (x) = ±∞, alors f n’est pas dérivable en b, mais la courbe de f admet une tangente verticale
x→b
au point d’abscisse b.
Exemple : étudier la dérivabilité de la fonction x 7→ arcsin(1 − x2 ).
Le corollaire suivant est très pratique pour prouver la classe C 1 : soit a ∈ R et f une fonction de classe
C 1 sur I \ {a}. Si limx→a f (x) = l ∈ R et limx→a f ′ (x) = m ∈ R, alors f se prolonge en une fonction de
classe C 1 sur I en posant f (0) = l et on a f ′ (a) = m.
Exemple : f (x) =
sin x
x .
On généralise à la classe C k par récurrence :
⊲ Le théorème de prolongement de classe C k : soit a ∈ R, k ∈ N et f une fonction de classe C k sur I \ {a}.
Si pour tout i ∈ J0, kK, f (i) admet une limite finie li en a, alors f se prolonge en une fonction de classe C k
sur I et on a pour tout i ∈ J0, kK, f (i) (a) = li .
se
Application : existence de «fonctions plates», la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f (x) = exp −1
x
prolonge en une fonction de classe C k sur [0, +∞[ et ses dérivées successives en 0 sont nulles.