Formule de Taylor, développements limités

f: [a, b]→R[a, b] ]a, b[
f(a)=f(b)c∈]a, b[f′(c)=0
f: [a, b]→R[a, b] ]a, b[
c∈]a, b[f′(c)=f(b)−f(a)
b−a
f: [a, b]→R[a, b]
]a, b[m6f′(x)6Mx∈]a, b[f′m(b−a)6
f(b)−f(a)6M(b−a)
∀x∈]0,+∞[1
x+1 <ln(x+1) −ln(x)<1 x
2n
X
k=n+1
1
k
f]a, b[f f′>0]a, b[
fCn[a, b]f: [a, b]→Rnf(n)
[a, b]Cn([a, b]) Cn[a, b]
fC∞Cnn∈N
C∞
afaT(x)=
f(a)+(x−a)f′(a)
f: [a, b]→RCnf(n)
[a, b]θ∈]a, b[
f(b)=f(a)+b−a
1! f′(a)+(b−a)2 2! f(2)(a)+··· +(b−a)n n!f(n)(a)
|{z }
+(b−a)n+1
(n+1)! f(n+1)(θ)
|{z }
.
xa
a=0
f: [a, b]→RCnf(n)[a, b]
0∈[a, b]θx∈]a, b[
f(x)=f(0) +xf′(0) +x2
2! f(2)(0) +··· +xn n!f(n)(0) +xn+1 (n+1)!f(n+1)(θx).
sin x−x−x3
3! +x5 5! −x7 7! 
6x8
8!
(b−a)n+1
(n+1)!f(n+1)(θ) (x−a)n×ǫ(x−a)
ǫ(x−a)xa

f: [a, b]→RCnf(n)
[a, b]∀x∈[a, b]
f(x)=f(a)+x−a
1! f′(a)+(x−a)2 2! f(2)(a)+··· +(x−a)n n!f(n)(a)+(x−a)n×ǫ(x−a)
ǫ(x−a)x→a −−−→0
a=0f(x)=ln(x+1)
IR
f:I→Ra∈Ifn∈N∗
aP∈R[X]deg(P)6n
f(x)=P(x−a)+(x−a)nǫ(x)ǫ(x)x→a −−−→0
(x−a)nǫ(x)=o(x−a)na=0
Pfna
f f f
0f f(x)=1
1−x
fafaf
f
fna
a=0
f:I→RCnf0∈I
n
f(x)=f(0) +f′(0)x+f′′ (0)
2! x2+··· +f(n)(0) n!xn+xnǫ(x)
0nx→exx→cos(x)x→sin(x)x→(1 +x)α
fn n
2
f f(x)=1+x+x2+x3sin( 1
x)x6=0f(0) =1
2

fg
0n
f(x)=a0+a1x+··· +anxn
|{z }
=P
+xnǫ(x)g(x)=b0+b1x+··· +bnxn
|{z }
=Q
+xnǫ(x)
f+g0n
(f+g)(x)=a0+b0+(a1+b1)x+··· +(an+bn)xn+xnǫ(x)
f×g0n
(f×g)(x)=
n
X
k=0
(
k
X
i=0
aibk−i)xk+xnǫ(x)=Rn(x)+xnǫ(x)
RnnP×Q
g(0) 6=0f
g0
f
g(x)=Rn(x)+xnǫ(x)
RnPQ
(cos x−1) ×ex
x→tan(x)2 0 cos(x)
1−x
f:I→RI
0
f′(x)=a0+a1x+··· +anxn+xnǫ(x)
f0n+1
f(x)=f(0) +a1x+a2
2x2+··· +an n+1xn+1 +xn+1ǫ(x)
nln(x+1)
f:I→Rn>2 0
0
f(x)=a0+a1x+··· +anxn+xnǫ(x)
0
f′(x)=a1+2a2x+··· +nanxn−1+xn−1ǫ(x)
sin cos
fn
f(x)=x2sin 1
xf′(x)
g:I→Rn0
g(x)=g0+Pn(x)+xnǫ(x)PnPn(0) =0f:J→Rg(I)⊂J
ng(0) f(g(0) +x)=Qn(x)+xnǫ(x)f◦g0n
(f◦g)(x)=Rn(x)+xnǫ(x)RnPn◦Qnxn+1
0 3 1
1+sin(x)

a∈R±∞
±∞
fn+∞−∞ g:x→f(1
x)
0+0−g(x)=a0+a1x+···+anxn+xnǫ(x)f(x)=a0+a1×1
x+···+an×1 xn+1 xnǫ(1 x)
f∞f
limx→+∞x2e1
x−e1
1+x
+∞x7→ √x2−1−√x2−x