Théorème de Rolle, Théorème et inégalités des accroissements finis

Université Paris-Est Marne-la-Vallée Licence L1 Maths/Info
2nd semestre 2011/2012 Analyse 1
TD 6 : Théorème de Rolle,
Théorème et inégalités des accroissements finis
Exercice 1.
Soient a0, a1, . . . , andes réels vérifiant a0+a1
2+··· +an n+1 = 0.
Montrer que l’équation f(x) = a0+a1x+··· +anxn= 0 a au moins une solution réelle dans
[0,1].
Indication : On appliquera le théorème de Rolle à g(x) = a0x+a1x2
2+··· +anxn+1 n+1 .
Exercice 2.
Soit fune fonction continue sur [a, b],nfois dérivable sur ]a, b[, et admettant n+ 1 racines
distinctes dans [a, b], où n∈N∗. montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que f(n)(c)=0.
Exercice 3.
Soit fune fonction dérivable sur [a, b], telle que f(a) = f(b)et f0(a)=0.
1. Montrer qu’on peut appliquer le théorème de Rolle entre les points aet b, à la fonction g
définie par
g(x) = f(x)−f(a)
x−asi x6=a, g(a) = f0(a).
2. Par le théorème de Rolle, prouver qu’il existe c∈]a, b[tel que f0(c) = f(c)−f(a)
c−a.
Exercice 4. Courbes tangentes entre elles
Soient fet gdeux fonctions dérivables sur [a, b], telles que f(a) = g(a)et f(b) = g(b).
Démontrer qu’il existe un réel λtel que les représentations graphiques de fet g+λsoient
tangentes en un point de ]a, b[.
Exercice 5. Autour de trois théorèmes . . .
Soit fune fonction continue sur [0,2] de classe C2sur ]0,2[ et telle que f(0) = 0,f(1) = 2,
f(2) = 1.
1. Montrer qu’il existe x1∈]0,1[,x2∈]1,2[,x3∈]0,2[ tels que f(x1) = f(x2) = 3
2,f0(x3)=0.
2. Montrer qu’il existe y1∈]0,1[,y2∈]1,2[,y3∈]0,2[ tels que f0(y1) = 2,f0(y2) = −1,
f00(y3)<0.
Exercice 6. Étude d’une somme
Soit fla fonction définie sur ]1,+∞[par f(x) = ln(ln(x)).
1. Appliquer le théorème des accroissements finis à fsur [k, k + 1], avec k∈N∗\ {1}.
2. En déduire que Pn
k=2 1
kln(k)>ln(ln(n+1))−ln(ln(2)), puis calculer limn→+∞Pn
k=2 1
kln(k).
Exercice 7.
Soit fune fonction dérivable sur [a, +∞[, vérifiant : limx→+∞f(x) = αet limx→+∞f0(x) = β,
où a, α, β sont trois réels. Montrer que β= 0.
L’hypothèse « limx→+∞f0(x) = β» est-elle nécessaire ? Tester la fonction f:x7→ sin(x2)
x.
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Exercice 8. Une propriété géométrique des paraboles
Soient α, β, γ trois réels donnés. Soit la fonction f:x7→ f(x) = αx2+βx +γ, définie sur R.
1. Évaluer la quantité f(x+h)−f(x)pour deux réels x, h.
2. Écrire le théorème des accroissements finis pour fentre xet x+h, puis déterminer, en
fonction de xet h, le réel cqui figure dans l’énoncé de ce théorème.
3. En déduire une propriété géométrique générale des paraboles.
Exercice 9. Étude de suites récurrentes
On peut étudier certaines suites récurrentes en utilisant l’inégalité des accroissements finis.
Soit (un)n∈Nune suite définie par : u0= 1 et ∀n∈N, un+1 = cos(un).
1. Montrer que l’on a : ∀n∈N, un∈[0,1].
2. Montrer que l’équation cos(x) = xadmet une unique solution réelle λ∈[0,1].
3. Montrer que ∀n∈N,|un+1 −λ| ≤ sin(1)|un−λ|. En déduire que (un)n∈Nconverge vers λ.
4. Étudier de la même façon les suites (vn)n∈Net (wn)n∈Ndéfinies pour tout n∈Npar :
v0>−1, vn+1 =√1 + vn;w0>0, wn+1 =wn+ 2
2wn+ 3.
On montrera que ∀n∈N, vn, wn∈R+.
Exercice 10. Polynômes de Legendre
Soit n∈N∗\ {1,2}. Soit Pn(x)=(x−a)n(x−b)n, où a, b sont deux réels distincts (a < b).
1. Montrer que P0
nadmet trois racines réelles distinctes.
2. Montrer que P00
nadmet au moins quatre racines réelles distinctes.
En déduire que P00
3n’admet que des racines réelles.
3. On pose à présent Ln(x) = ((x−a)n(x−b)n)(n)=P(n)
n(x)(Polynômes de Legendre).
Montrer que Lnest de degré net possède nracines réelles distinctes.
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