Théorème de Rolle, Théorème et inégalités des accroissements finis

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
2nd semestre 2011/2012
Licence L1 Maths/Info
Analyse 1
TD 6 : Théorème de Rolle,
Théorème et inégalités des accroissements finis
Exercice 1.
an
Soient a0 , a1 , . . . , an des réels vérifiant a0 + a21 + · · · + n+1
= 0.
n
Montrer que l’équation f (x) = a0 + a1 x + · · · + an x = 0 a au moins une solution réelle dans
[0, 1].
2
n+1
Indication : On appliquera le théorème de Rolle à g(x) = a0 x + a1 x2 + · · · + an xn+1 .
Exercice 2.
Soit f une fonction continue sur [a, b], n fois dérivable sur ]a, b[, et admettant n + 1 racines
distinctes dans [a, b], où n ∈ N∗ . montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f (n) (c) = 0.
Exercice 3.
Soit f une fonction dérivable sur [a, b], telle que f (a) = f (b) et f 0 (a) = 0.
1. Montrer qu’on peut appliquer le théorème de Rolle entre les points a et b, à la fonction g
définie par
f (x) − f (a)
si x 6= a, g(a) = f 0 (a).
g(x) =
x−a
2. Par le théorème de Rolle, prouver qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) =
f (c)−f (a)
.
c−a
Exercice 4. Courbes tangentes entre elles
Soient f et g deux fonctions dérivables sur [a, b], telles que f (a) = g(a) et f (b) = g(b).
Démontrer qu’il existe un réel λ tel que les représentations graphiques de f et g + λ soient
tangentes en un point de ]a, b[.
Exercice 5. Autour de trois théorèmes . . .
Soit f une fonction continue sur [0, 2] de classe C 2 sur ]0, 2[ et telle que f (0) = 0, f (1) = 2,
f (2) = 1.
1. Montrer qu’il existe x1 ∈]0, 1[, x2 ∈]1, 2[, x3 ∈]0, 2[ tels que f (x1 ) = f (x2 ) = 23 , f 0 (x3 ) = 0.
2. Montrer qu’il existe y1 ∈]0, 1[, y2 ∈]1, 2[, y3 ∈]0, 2[ tels que f 0 (y1 ) = 2, f 0 (y2 ) = −1,
f 00 (y3 ) < 0.
Exercice 6. Étude d’une somme
Soit f la fonction définie sur ]1, +∞[ par f (x) = ln(ln(x)).
1. Appliquer le théorème des accroissements finis à f sur [k, k + 1], avec k ∈ N∗ \ {1}.
P
P
1
1
2. En déduire que nk=2 k ln(k)
> ln(ln(n+1))−ln(ln(2)), puis calculer limn→+∞ nk=2 k ln(k)
.
Exercice 7.
Soit f une fonction dérivable sur [a, +∞[, vérifiant : limx→+∞ f (x) = α et limx→+∞ f 0 (x) = β,
où a, α, β sont trois réels. Montrer que β = 0.
2)
L’hypothèse « limx→+∞ f 0 (x) = β » est-elle nécessaire ? Tester la fonction f : x 7→ sin(x
x .
1
Exercice 8. Une propriété géométrique des paraboles
Soient α, β, γ trois réels donnés. Soit la fonction f : x 7→ f (x) = αx2 + βx + γ, définie sur R.
1. Évaluer la quantité f (x + h) − f (x) pour deux réels x, h.
2. Écrire le théorème des accroissements finis pour f entre x et x + h, puis déterminer, en
fonction de x et h, le réel c qui figure dans l’énoncé de ce théorème.
3. En déduire une propriété géométrique générale des paraboles.
Exercice 9. Étude de suites récurrentes
On peut étudier certaines suites récurrentes en utilisant l’inégalité des accroissements finis.
Soit (un )n∈N une suite définie par : u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = cos(un ).
1. Montrer que l’on a : ∀n ∈ N, un ∈ [0, 1].
2. Montrer que l’équation cos(x) = x admet une unique solution réelle λ ∈ [0, 1].
3. Montrer que ∀n ∈ N, |un+1 − λ| ≤ sin(1)|un − λ|. En déduire que (un )n∈N converge vers λ.
4. Étudier de la même façon les suites (vn )n∈N et (wn )n∈N définies pour tout n ∈ N par :
v0 > −1, vn+1 =
√
1 + vn ;
w0 > 0, wn+1 =
wn + 2
.
2wn + 3
On montrera que ∀n ∈ N, vn , wn ∈ R+ .
Exercice 10. Polynômes de Legendre
Soit n ∈ N∗ \ {1, 2}. Soit Pn (x) = (x − a)n (x − b)n , où a, b sont deux réels distincts (a < b).
1. Montrer que Pn0 admet trois racines réelles distinctes.
2. Montrer que Pn00 admet au moins quatre racines réelles distinctes.
En déduire que P300 n’admet que des racines réelles.
(n)
3. On pose à présent Ln (x) = ((x − a)n (x − b)n )(n) = Pn (x) (Polynômes de Legendre).
Montrer que Ln est de degré n et possède n racines réelles distinctes.
2