cours: trigonométrie

CHAPITRE 4
COURS: TRIGONOMÉTRIE
Extrait du programme de la classe de troisième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Triangle rectangle : rela-
tions trigonométriques
Connaître et utiliser dans le triangle
rectangle les relations entre le co-
sinus, le sinus ou la tangente d’un
angle aigu et les longueurs de deux
côtés du triangle.
Utiliser la calculatrice pour détermi-
ner des valeurs approchées :
– du sinus, du cosinus et de la tan-
gente d’un angle aigu donné
– de l’angle aigu dont on connaît le
sinus, le cosinus ou la tangente
La définition du cosinus a été vue
en quatrième. Le sinus et la tan-
gente d’un angle aigu seront intro-
duits comme rapports de longueurs
ou à partir du quart de cercle tri-
gonométrique. On établira les for-
mules :
cos2x+sin2x=1 et tan x=sin x
cosx.
On n’utilisera pas d’autre unité que
le degré décimal.
1 Relations trigonométriques
Définition : Soit ABC un triangle rectangle en A; on notera bαl’angle  AC B. Alors on a :
cos bα=Côté adjacent
Hypoténuse
=AC
BC sin bα=Côté opposé Hypoténuse
=AB
BC tan bα=Côté opposé Côté adjacent
=AB
AC
Illustration :
Côté adjacent à bα
Côté opposé à bα
Hypoténuse
B
A
C
b
α
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2 Pour quoi faire ?...
2.1 ... Pour calculer des longueurs
Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’un des côtés ainsi que la mesure de l’un
des angles aigus, on peut calculer les longueurs des deux autres côtés.
Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB =12 cm et bα=30◦. Alors on
peut calculer la longueur du côté [AC ] en utilisant la formule de la tangente :
tan bα=AB
AC
d’où
AC =AB
tan bα
=12
tan30◦
≃20.8 cm
De même on peut calculer la longueur du côté [BC ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en
utilisant la formule du sinus :
sin bα=AB
BC
d’où
BC =AB
sin bα
=12
sin30◦
=24 cm
2.2 ...Pour calculer des mesures d’angles
Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux des côtés, on peut calculer les me-
sures des deux angles aigus du triangle.
Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB =12 cm et AC =16 cm.
Alors on peut calculer la mesure de l’angle  AC B en utilisant la formule de la tangente :
tan  AC B =AB
AC
=12
16
=0,75
d’où, à l’aide de la calculatrice et de sa touche
tan−1
tan ,
AC B ≃36,9◦
Comme les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la mesure
approchée de l’angle  ABC par :
ABC =90◦− AC B ≃90 −36,9 =53,1◦
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3 Formules trigonométriques
Propriété n°1 : Soit xla mesure, en degrés, d’un angle aigu bαquelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x:
0<cos x<1 et 0 <sin x<1
Preuve :
Cela provient du fait que, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long : suppo-
sons que xsoit la mesure en degrés d’un angle bα= AC B dans un triangle ABC rectangle en A(voir
figure page 1).
On a alors cos x=cos bα=AC
BC avec AC <BC (car [BC ] est l’hypoténuse), et donc il vient cosx<1.
De plus, comme AC et BC sont des longueurs, on a AC >0 et BC >0 ;
par conséquent cos x=cos bα=AC
BC
>0
Propriété n°2 : Soit xla mesure, en degrés, d’un angle aigu bαquelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x:
cos2x+sin2x=1
Remarques :
ÏOn écrit cos2xpour (cos x)2, et ceci dans le but d’éviter toute confusion avec cos x2, dans le cas où
l’on oublierait d’écrire les parenthèses...
ÏCette formule peut permettre d’obtenir le sinus d’un angle aigu lorsque l’on connaît son cosinus, et
vice-versa.
Preuve :
Supposons que xsoit la mesure en degrés d’un angle bα= AC B dans un triangle ABC rectangle en
A(voir figure page 1).
On a alors cos x=cos bα=AC
BC et sin x=sin bα=AB BC .
Ainsi on peut écrire que
cos2x+sin2x=µAC
BC ¶2
+µAB
BC ¶2
=AC 2
BC 2+AB2 BC 2=AC 2+AB2 BC 2
Or, le triangle ABC étant rectangle en A, le théorème de Pythagore nous dit que AB2+AC 2=BC 2.
On peut donc conclure :
cos2x+sin2x=AC 2+AB2
BC 2=BC 2 BC 2=1
Propriété n°3 : Soit xla mesure, en degrés, d’un angle aigu bαquelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x:
tanx=sin x
cos x
Preuve :
Supposons que xsoit la mesure en degrés d’un angle bα= AC B dans un triangle ABC rectangle en
A(voir figure page 1).
On a alors cos x=cos bα=AC
BC et sin x=sin bα=AB BC .
Ainsi on peut écrire que
sin x
cos x
=
AB
BC
AC
BC
=AB
BC
×BC
AC
=AB
BC
×
BC
AC
=AB
AC
=tan x
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4 Mais qui a bien pu inventer tout ça, et pourquoi ?
Hipparque de Nicée
-190/-120
Celui que l’on peut considérer comme le père historique de la trigonométrie (tri-
gonos = triangle, et metron = mesure en grec) est sans doute HIPPARQUE DE NI-
CEE, brillant astronome grec de l’antiquité (né dans l’actuelle Turquie au IIème
siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (don-
nant des valeurs de ce que l’on appelle aujourd’hui des sinus d’angles), et qui
s’en servit pour recenser les positions exactes de plus de 1000 étoiles au moyen de
l’une de ses inventions, l’astrolabe (qui permet de mesurer la hauteur des astres
sur l’horizon). Ces mesures d’angles permirent l’essor de la navigation, qui né-
cessite de connaître précisément la position des étoiles sur la voûte céleste. Il est
à noter que c’est lui qui a le premier utilisé la division du cercle en 360 degrés,
empruntée aux Babyloniens, toujours d’actualité aujourd’hui.
PTOLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et com-
pléta l’oeuvre d’HIPPARQUE, notamment dans un ouvrage demeuré célèbre, in-
titulé l’Almageste, traité complet d’astronomie, compilant le savoir scientifique
des Grecs de l’antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques
extrêmement précises.
Ptolémée
90/168
Al Khwarizmi
780/850
Les calculs seront encore affinés par les mathématiciens Indiens et surtout
Arabes entre le VIème et le Xème siècle ; citons notamment le mathématicien
indien ARYABHATA, mais surtout les mathématiciens arabes AL KHWARIZMI
et AL WAFA ("inventeur" de la tangente) à Bagdad. AL KHWARIZMI est un im-
mense mathématicien, né dans l’actuel Ouzbékistan au IXème siècle, et consi-
déré comme le père de l’algèbre (al-jabr en arabe, terme repris du titre de son
oeuvre majeure, intitulée Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’al-Muqàbala,
traitant de la résolution des équations)
L’astronome et mathématicien allemand REGIOMONTANUS, au XVème siècle,
est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. Après avoir pris
connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie
comme branche à part entière des mathématiques (aujourd’hui on dirait même
"pilier" des mathématiques !), indépendante de l’astronomie, dans un traité fon-
dateur intitulé De triangulis planis etspherici libri quinque, una cum tabuli si-
nuus, publié de façon posthume en 1561. Regiomontanus
1436/1476
Les applications actuelles de la trigonométrie sont nombreuses et fondamentales : les fonctions sinus
et cosinus sont certainement celles les plus rencontrées dans les sciences ! En astronomie (depuis l’An-
tiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfraction), en électricité (courant alter-
natif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hert-
ziennes ?), en mécanique, etc...
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