TP no 10 – Pendule simple à excitation balistique

Lycée Jules Ferry 2016–2017
PTSI 1 & 2 Informatique
TP no10 – Pendule simple à excitation balistique
iMéthodes numériques
Les méthodes numériques utilisées dans ce sujet sont au cœur du programme d’informatique et
la probabilité qu’elles soient demandées au concours est proche de 1 : leur maîtrise est donc
indispensable !
En 1742, Benjamin Robins mit au point le pendule balistique. Ce dispositif a pour but de mesurer la
vitesse d’une balle de fusil. Il est constitué d’un pendule simple avec une masse attachée au bout d’une
barre de longueur ` et de masse négligeable. Cette barre est en liaison pivot d’axe (O, −→ z0) avec un support
supposé fixe dans un référentiel galiléen. En guise de projectile, on considérera dans notre expérience
numérique une très petite bille, de masse mp , qu’on lâche d’une hauteur H au dessus du point O . Après
une phase de chute libre, ce projectile entre dans un coude qui lui permet de modifier la direction de sa
quantité de mouvement. En sortie du coude, il arrive avec une vitesse horizontale vp vers un pendule de
masse m−mp initialement immobile. En pénétrant dans le pendule, le projectile a certes été ralenti mais
il a aussi mis en mouvement l’ensemble {masse, projectile}. On note alors θ l’angle mesurant l’écart à la
verticale de la barre (figure 1).
−→
x0
(m−mp)
G
O
Bille d’excitation
(mp)
H
`
−→
x0
−→
x1
(m)
G
θ
O
Figure 1 – Schéma du dispositif d’excitation du pendule avant et après collision.
On se propose d’étudier successivement :
(a) la phase de chute libre ;
(b) la phase de mise en mouvement suite à l’impact ;
(c) le mouvement du pendule simple ainsi excité.
1

10.1 Phase de chute libre
On lâche une bille de masse mp d’une hauteur H par rapport au point O . Cette bille est soumise
à l’action de la pesanteur et à un effort de freinage proportionnel au carré de la vitesse. L’équation de
résultante dynamique projetée dans la direction −→ x0conduit à :
mp
dvp
dt(t) = mpg−µmpvp(t)2⇐⇒ dvp dt(t) = g−µ vp(t)2
où vp est la norme de la vitesse de la bille, initialement nulle vp (0) = 0. En remplaçant simplement vp ( t )
par y(t), on peut alors formuler ce problème sous la forme d’un problème de Cauchy :
∀t > 0,
dy(t)
dt=f(y(t), t)
y(0) = α
en définissant y(t), sa valeur initiale αet la fonction de deux variables
f: (y, t)7→ g−µ y2
Pour résoudre ce problème sous forme numérique, on envisage un schéma d’Euler explicite sur l’intervalle
[0; D], où Dest la durée simulée.
Rappel – Méthode d’Euler (explicite)
Pour résoudre une équation différentielle y0 ( t ) = f ( y ( t ) , t )sur un intervalle I = [a;b] , avec la condition
initiale y (0) = α , on commence par définir une subdivision ( t0, . . . , tn )de I , de pas h =
b−a
n
, puis
on définit par récurrence une suite d’approximations y0, . . . , yn de la suite y ( t0 ) , . . . , y ( tn ), où y
désigne la solution de l’équation considérée, par :
y0=αet ∀i∈J0, n −1K, yi+1 =yi+hf(yi, ti)
Exercice 10.1 (Vitesse maximale atteinte)
1. Initialiser votre code avec l’appel aux bibliothèques « classiques » utilisées en ingénierie numérique
et la définition des constantes du problème :
g=9.81 # accélération de la pesanteur, m/sˆ2
mu=2.5e-4 # indice de viscosité, 1/m
D=100 # durée simulée, s
h=1e-3 # pas de temps, s
2. Écrire une fonction f qui prend comme arguments une valeur de y ( t )et un instant t et qui renvoie
la valeur de f(y(t), t)correspondante.
3. Écrire une fonction Euler qui prend comme arguments une fonction f , une valeur initiale y0 , une
durée D et un pas de temps h et qui renvoie deux listes listet et listey contenant respectivement
les instants (ti)06i6net les approximations de la solution correspondantes.
4. Tracer l’évolution de la vitesse de la bille vp en fonction du temps. Que peut-on remarquer pour
tout instant t>60 s ?
10.2 Phase de mise en mouvement suite à l’impact
Le principe de conservation de la quantité de mouvement lors de la collision permet de lier les
quantités de mouvement initiale du projectile lancé à une vitesse vp et de l’ensemble {masse, projectile}
immédiatement après la collision :
mpvp=m v
avec v la norme de la vitesse de l’ensemble. L’apport de cette quantité de mouvement induit une rotation
du pendule qui se traduit par une élévation de l’ensemble d’une hauteur `(1 −cos θmax) . Compte tenu du
rapport des masses m/mp , la vitesse v est suffisamment faible pour négliger les frottements avec l’air et la
liaison pivot est supposée parfaite (sans frottement). Ainsi, d’après le principe de conservation de l’énergie,
il apparaît que l’énergie cinétique de l’ensemble immédiatement après la collision Ec se transforme en
2

gain d’énergie potentielle gravitationnelle Ep lorsque l’ensemble atteint sa hauteur maximale (l’énergie
cinétique est nulle à cet instant) ; soit :
1
2mv2=mg` (1 −cos θmax)
Par simple substitution, on obtient l’expression de la vitesse du projectile :
vp=p2g` (1 −cos θmax)m
mp
Exercice 10.2 (Angle maximal atteint)
Un projectile de masse mp = 10 g , lancé à une vitesse vp = 200 m·s−1 pénètre dans un bloc de masse
m−mp = 2 , 5kg suspendu à l’extrémité d’une barre de longueur ` = 1 m . On cherche à déterminer l’angle
maximal θmax ∈ [0; π ]atteint par la barre suite à la collision. Pour ce faire, on se propose de reformuler le
problème tel que l’on cherche un zéro de la fonction :
fθ:x7→ vpmp
m2
−2g` (1 −cos x)
dans l’intervalle [0; π ]. Pour résoudre l’équation fθ ( x )=0dans cet intervalle, on envisage d’implémenter
deux méthodes numériques :
— une recherche par dichotomie ;
— la méthode de Newton par encadrement corde-tangente ;
pour lesquelles on utilisera un seuil de précision ε= 10−8que l’on notera epsilon.
Rappel – Méthode de Newton par encadrement corde-tangente
L’objectif de la méthode de Newton par encadrement corde-tangente est de trouver une solution
x∈[a;b] tel que f ( x ) = 0, si un tel réel existe. Le principe de cette méthode est de construire
deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N vérifiant ∀n∈N, an6x6bn (sous l’hypothèse que f0 et f00 sont
strictement positives sur l’intervalle [a;b] ). En partant des deux extrémités de l’intervalle a0 = a et
b0=b, on construit ces suites avec les relations de récurrence :
∀n∈N,
an+1 =anf(bn)−bnf(an)
f(bn)−f(an)
bn+1 =bn−f(bn)
f0(bn)
où f0 est la dérivée de la fonction f dont on cherche un zéro. Pour obtenir une valeur approchée de
x à ε près, il suffit de s’arrêter lorsque bn−an< ε : an et bn sont alors la valeur approchée de x
recherchée.
1. Initialiser votre code avec les constantes du problème et la définition de la fonction fθ dont on
cherche un zéro sous le nom ft et de sa dérivée dft.
2. Définir une fonction Dichotomie qui prend comme arguments une fonction f , les bornes inférieures
et supérieures a et b d’un intervalle et le seuil de précision souhaité epsilon et qui renvoie une
valeur approchée à epsilon près du réel x∈[a, b]tel que f(x)=0, si un tel réel existe.
3. Définir une fonction Newton qui prend comme arguments une fonction f , celle correspondant à sa
dérivée df , les bornes inférieures et supérieures a et b d’un intervalle et le seuil de précision souhaité
epsilon et qui renvoie une valeur approchée à epsilon près du réel x∈ [ a, b ]tel que f ( x ) = 0, si
un tel réel existe.
4. Utiliser les deux fonctions définies pour trouver l’angle maximal sur [0; π/ 2] puis sur [0; π ]. Comparer
les deux résultats et discuter les avantages et inconvénients des deux algorithmes.
Exercice 10.3 (Durée du mouvement de montée)
Connaissant l’angle maximal atteint θmax = 15 ° , on cherche à déterminer la durée nécessaire à la barre
pour l’atteindre à partir de la position θ = 0 ° . Pour ce faire, on va exploiter le principe de conservation
de l’énergie tel qu’à chaque instant la somme de l’énergie cinétique Ec et de l’énergie potentielle Ep de
l’ensemble {masse, projectile} soit égale à l’énergie transmise par la collision E0 , respectivement définies
par :
Ec=1
2m`2˙
θ2, Ep=mg` (1 −cos θ)et E0=mg` (1 −cos θmax)
3

Ce qui peut se traduire par :
dθ
dt
=r2g
`(cos θ−cos θmax)
Pour déterminer la durée de montée Tm , sachant que lors de la montée on a
˙
θ> 0, il suffit de procéder
au changement de variable θ∈ [0; θmax ] →φ∈ [0; π/ 2] tel que sin θ
2
= sin θmax
2sin φ
et de calculer
l’intégrale :
Tm=sl
gZπ
2
0
fφ(φ) dφ , fφ:x7→ 1
s1−sin2θmax
2sin2x
Rappel – Intégration numérique avec la méthode des trapèzes
Pour calculer une valeur approchée de l’intégrale
Zb
a
f ( x ) d x d’une fonction f dont on connaît la
valeur en n points équirépartis dans l’intervalle [a;b] , ∀k∈J 0; n− 1 K, xk = a + kb−a
n
, la méthode
des trapèzes s’écrit :
A(n) = b−a
2n
n−1
X
k=0
(f(xk) + f(xk+1))
1. Initialiser votre code avec la définition de l’angle θmax = 15 ° et la définition d’une fonction fphi qui
prend comme argument une valeur de xet qui renvoie la valeur fφ(x)correspondante.
2. Écrire une fonction Integration qui prend comme arguments une fonction f , les bornes inférieures
et supérieures a et b d’un intervalle et un nombre de points n et qui renvoie le flottant contenant
l’approximation de l’intégrale.
3. Calculer le temps de montée Tm pour atteindre la position θmax = 15 ° avec 1 000 points d’intégration.
En déduire la période d’oscillation du pendule T.
10.3 Étude du mouvement du pendule
On cherche maintenant à résoudre numériquement l’équation de mouvement d’un pendule simple
modélisé sur la figure 2. L’ensemble {masse, projectile}, de masse m , est attaché au bout d’une barre
de longueur ` = 1 m et de masse négligeable en liaison pivot d’axe (O, −→ z0) avec un support fixe dans un
référentiel galiléen. La liaison pivot est supposée parfaite (sans frottement) et, compte tenu de la faible
vitesse du pendule, les frottements avec l’air sont aussi négligés. On note θ l’angle mesurant l’écart à la
verticale de la barre.
−→
x0
−→
x1
−→
T
m−→ g
G
θ
O
−→
z0=−→ z1
−→
x0
−→
y0
−→
x1
−→
y1
θ
.
−−→
OG =`−→ x1
Figure 2 – Modèle de pendule simple et paramétrage associé.
4

On isole l’ensemble {masse, projectile} accroché au fil en G. Ce système est soumis à :
— la pesanteur, qui se modélise comme un glisseur au centre de gravité du solide :
TP es/P end=
Gmg−→
x0
−→
0
— la tension du fil, qui se modélise par un glisseur en Gdans la direction du fil :
TF il/P end=
G−T−→
x1
−→
0
L’accélération du centre de gravité G de la masse suspendue dans le repère galiléen se calcule de la façon
suivante :
−→
aG/R0=d2−−→
OG
dt2R0
=`d2−→
x1
dt2R0
=`¨ θ−→ y1−˙ θ2−→ x1
La seconde loi de Newton nous permet alors d’écrire :
−T−→ x1+mg−→ x0=m` ¨ θ−→ y1−˙ θ2−→ x1
L’équation du mouvement s’obtient en projetant l’équation précédente dans la direction −→ y1; soit :
¨
θ=−g
`sin θ
Pour que le problème soit correctement posé sous la forme d’un problème de Cauchy, il est nécessaire de tenir
compte des conditions initiales. On suppose que le pendule part d’une position initiale θ (0) = θmax = 15 °
à vitesse nulle ˙ θ(0) = 0 ; soit :
¨
θ(t) = −g
`sin(θ(t))
˙
θ(0) = 0
θ(0) = θmax
(1)
Pour mettre cette équation différentielle du second ordre sous la forme d’une équation différentielle
matricielle du premier ordre, il est nécessaire d’introduire une nouvelle variable ω ( t )associée à la vitesse
de rotation du pendule et égale à
˙
θ ( t ). Le système (1) devient alors équivalent au système d’équations
différentielles d’ordre un : 
˙ω(t) = −g
`sin (θ(t))
˙
θ(t) = ω(t)
ω(0) = 0
θ(0) = θmax
(2)
que l’on peut mettre sous forme matricielle :
∀t > 0,
dY(t)
dt=f(Y(t), t)
Y(0) = Y0
avec les deux matrices lignes
Y(t) = ω(t)θ(t), Y0=0θmax, Y (t), Y0∈ M1,2(R)
et la fonction de deux variables
f: ((a, b), t)7→ −g
`sin(b)a
On remarquera que dans le cas d’un pendule, la fonction f ne dépend pas explicitement de la variable t :
c’est un système d’équations différentielles homogènes.
Pour trouver une solution approchée de ce système sur l’intervalle I = [0; D ], où D est la durée simulée,
il est nécessaire de construire une approximation de la dérivée première en temps de la matrice Y ( t ). Selon
le point de vue adopté, le schéma numérique construit sera dit explicite ou implicite.
5