gain d’énergie potentielle gravitationnelle
Ep
lorsque l’ensemble atteint sa hauteur maximale (l’énergie
cinétique est nulle à cet instant) ; soit :
1
2mv2=mg` (1 −cos θmax)
Par simple substitution, on obtient l’expression de la vitesse du projectile :
vp=p2g` (1 −cos θmax)m
mp
Exercice 10.2 (Angle maximal atteint)
Un projectile de masse
mp
= 10
g
, lancé à une vitesse
vp
= 200
m·s−1
pénètre dans un bloc de masse
m−mp
= 2
,
5kg suspendu à l’extrémité d’une barre de longueur
`
= 1
m
. On cherche à déterminer l’angle
maximal
θmax ∈
[0;
π
]atteint par la barre suite à la collision. Pour ce faire, on se propose de reformuler le
problème tel que l’on cherche un zéro de la fonction :
fθ:x7→ vpmp
m2
−2g` (1 −cos x)
dans l’intervalle [0;
π
]. Pour résoudre l’équation
fθ
(
x
)=0dans cet intervalle, on envisage d’implémenter
deux méthodes numériques :
— une recherche par dichotomie ;
— la méthode de Newton par encadrement corde-tangente ;
pour lesquelles on utilisera un seuil de précision ε= 10−8que l’on notera epsilon.
Rappel – Méthode de Newton par encadrement corde-tangente
L’objectif de la méthode de Newton par encadrement corde-tangente est de trouver une solution
x∈[a;b]
tel que
f
(
x
) = 0, si un tel réel existe. Le principe de cette méthode est de construire
deux suites
(an)n∈N
et
(bn)n∈N
vérifiant
∀n∈N, an6x6bn
(sous l’hypothèse que
f0
et
f00
sont
strictement positives sur l’intervalle
[a;b]
). En partant des deux extrémités de l’intervalle
a0
=
a
et
b0=b, on construit ces suites avec les relations de récurrence :
∀n∈N,
an+1 =anf(bn)−bnf(an)
f(bn)−f(an)
bn+1 =bn−f(bn)
f0(bn)
où
f0
est la dérivée de la fonction
f
dont on cherche un zéro. Pour obtenir une valeur approchée de
x
à
ε
près, il suffit de s’arrêter lorsque
bn−an< ε
:
an
et
bn
sont alors la valeur approchée de
x
recherchée.
1.
Initialiser votre code avec les constantes du problème et la définition de la fonction
fθ
dont on
cherche un zéro sous le nom ft et de sa dérivée dft.
2.
Définir une fonction
Dichotomie
qui prend comme arguments une fonction
f
, les bornes inférieures
et supérieures
a
et
b
d’un intervalle et le seuil de précision souhaité
epsilon
et qui renvoie une
valeur approchée à epsilon près du réel x∈[a, b]tel que f(x)=0, si un tel réel existe.
3.
Définir une fonction
Newton
qui prend comme arguments une fonction
f
, celle correspondant à sa
dérivée
df
, les bornes inférieures et supérieures
a
et
b
d’un intervalle et le seuil de précision souhaité
epsilon
et qui renvoie une valeur approchée à
epsilon
près du réel
x∈
[
a, b
]tel que
f
(
x
) = 0, si
un tel réel existe.
4.
Utiliser les deux fonctions définies pour trouver l’angle maximal sur [0;
π/
2] puis sur [0;
π
]. Comparer
les deux résultats et discuter les avantages et inconvénients des deux algorithmes.
Exercice 10.3 (Durée du mouvement de montée)
Connaissant l’angle maximal atteint
θmax
= 15
°
, on cherche à déterminer la durée nécessaire à la barre
pour l’atteindre à partir de la position
θ
= 0
°
. Pour ce faire, on va exploiter le principe de conservation
de l’énergie tel qu’à chaque instant la somme de l’énergie cinétique
Ec
et de l’énergie potentielle
Ep
de
l’ensemble {masse, projectile} soit égale à l’énergie transmise par la collision
E0
, respectivement définies
par :
Ec=1
2m`2˙
θ2, Ep=mg` (1 −cos θ)et E0=mg` (1 −cos θmax)
3