cours puissances 3eme

Séquence : Les puissances
1- Puissance d’un nombre non nul
Définition : Pour un nombre a non nul, a
n
se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».
a
n
= a x a x … x a pour n≥2
n facteurs
a
1
= a 1
n
= 1 0
n
= 0 a
0
= 1
Exemples : 5
2
= 5 x 5 = 25
(-2)
5
= (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -32
(-3)
4
= (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81
- 2
4
= - 2 x 2 x 2 x 2 = -16 (-2)
4
= (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16
Conséquences sur le signe :
Pour tout nombre entier relatif n,
• Si a est positif alors a
n
est positif (ex : 5
9
est positif)
• Si a est négatif alors a
n
est positif lorsque l’exposant n est pair et négatif lorsque l’exposant n est
impair.
Exemples : (-3)
4
est positif car -3 est négatif et que la puissance est paire.
mais (-3)
5
est négatif car la puissance est impaire.
2- Propriétés :
a, b sont des nombres entiers ou décimaux, n et p sont des nombres entiers relatifs.
a
n
x a
m
= a
n+m
a
n
x b
n
= (a x b)
n
(a
n
)
p
= (a)
n x p
Explications des formules et exemples :
• 4² x 4
5
= 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4
7
et 7 = 2 + 5 On additionne les puissances.
3
4
x3
6
= 3
4+6
= 3
10
6
7
x 6
2
= 6
9
• 2
3
x 5
3
= 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
= (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5)
= (2 x 5)
3
= 10
3
On multiplie les nombres mais la puissance ne change pas.
3
5
x6
5
= (3 x 6)
5
= 18
5

7
4
x8
4
= 56
4
• (3²)
3
= 3² x 3² x 3² = 3
6
et 6 = 2 x 3. On multiplie les puissances.
(5
4
)
5
= 5
20
a
a
p
n
= 
a
n
1
=  = 
Explications des formules et exemples :
• =
××××
××
= 7² et 2 = 5 - 3 On soustrait les puissances :
Puissance du numérateur - puissance du dénominateur
=  =
()
()
= (−) = (−)
•
= =  = 
•
3- Calculer avec des puissances
Pour calculer une expression sans parenthèse, on calcule d’abord les puissances.
2 x 3² + 5 = 2 x 9 + 5 et surtout pas 2 x 3² +5 = 6² + 5
= 18 + 5 = 36 + 5
= 23 = 41

4- Puissance de dix
a) Définition :
10
n
se lit "dix puissance n" ou "dix exposant n".
2) (pour n
n facteurs
...
n≥×××= 44 344 21 10101010
10
n
= 10…0 (n zéros) 10
-n
= 0,0…01 (n chiffres après la virgule, n zéro en comptant le 1
er
)
Exemples : 1000 = 100000 = 10
4
=
0,001 = 0,00001 = 10
–3
=
Les formules apprises ne changent pas :
10
n
x10
m
= (10
n
)
m
=
 = 
=
b) Multiplier par une puissance de 10
Règle
• Multiplier un nombre par 10
n
revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (on complète
par des zéros si nécessaire).
• Multiplier un nombre par 10
-n
revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (on complète
par des zéros si nécessaire).
Remarque : Multiplier par 10
-n
revient à diviser par 10
n
.
Exemple 1 :
208,641 x 10² = 20 864,1
54,8 x 10
5
= 5 480 000
37,1 x 10
-3
= 0,0371
Exemple 2 :
• Par combien faut-il multiplier 7,532 pour obtenir 75 320 ?
Pour passer de 7,532 à 75 320, on décale la virgule de 4 rangs vers la droite donc il faut multiplier
7,532 par 10
4
pour obtenir 75 320.
75 320 = 7,532 x 10
4
• Par combien faut-il multiplier 5 pour obtenir 0,005 ?
Pour passer de 5 à 0,005, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche donc il faut multiplier 5 par
10
-3
pour obtenir 0,005.
0,005 = 5 x 10
-3
2) (pour n
n facteurs
...
n≥
×××
=
−
44 344 21 101010 1
10

5- La notation scientifique
a) Définition
La notation scientifique d’un nombre est de la forme ax10
n
avec 1 ≤  < 10 et où n est un entier relatif.
Exemples : Écrire les nombres ci-dessous en notation scientifique
58 000 000 = 5,8 x 10 000 000 = 5,8 x 10
7
0,0287 = 0,32 =
b) Comparer deux nombres en notation scientifique
Pour comparer deux nombres en notation scientifique, on compare d’abord leurs signes.
S’ils ont le même signe, on compare leurs ordres de grandeur à l’aide de leur puissance de 10.
S’ils ont le même exposant, on compare les mantisses.
Exemples : Compare A = 2,3 x 10
7
et B = 8,1 x 10
4
Le nombre A a une puissance de 10 supérieur à celle du nombre B, donc A > B.
Puissance de
10
Multiplicateur décimal Nom Symbole Origine
10
12
1 000 000 000 000
téra T
Du grec teras, monstre
10
9
1 000 000 000
giga G
Du grec gigas, géant
10
6
1 000 000
méga M
Du grec megas, grand
10
3
1 000
kilo k
Du grec khilioi, mille
10
2
100
hecto h
Du grec hekaton, cent
10
1
10
déca da
du grec déka, 10
10
0
1 unité
10
-
1
0,1
déci d
du latin décimus, dixième
10
-
2
0,01
centi c
(1783) du latin centum, cent
10
-
3
0,001
milli m
Du latin mille, mille
10
-
6
0,000 001 micro µ
µµ
µ
Du grec mikros, petit
10
-
9
0,000 000 001 nano n
10
-
12
0,000 000 000 001
pico p
De l'italien piccolo, petit
Quelques ordres de grandeur à connaître :
Taille d’un atome :
Taille d’une bactérie :
Taille d’une alvéole pulmonaire :
Capacité de stockage d’un disque dur
Vitesse du son :
Vitesse de la lumière :
Distance Terre-Lune :
Distance Terre-Soleil :
Distance Soleil-Proxima Centauri (étoile la plus proche) :