5 Nombres premiers

5 Nombres premiers
A
Objectifs du chapitre
Nous allons définir ce qu’est un nombre premier.
B
Activité 4
Pour débuter
Voici un algorithme : Algorithme 1
Entrée :
N (entier naturel supérieur ou égal à 2)
d (entier naturel)
Traitement :
Demander N
Pour d allant de 2 à N – 1 faire
Si d divise N
afficher d et s’arrêter
Sinon
d prend la valeur d +1
Fin du Si
Fin du Pour
a) Implémenter et tester l’algorithme pour N = 143 ; N = 147 et N = 149. (Le
logiciel Algobox ne permet pas de quitter une boucle : on pourra alors utiliser
la fonction Pause et arrêter).
b) Que fait cet algorithme ? Que peut-on en déduire lorsqu’aucun résultat ne
s’affiche ?
Voici un deuxième algorithme : Algorithme 2
Entrée :
N (entier naturel supérieur ou égal à 2)
d (entier naturel)
Traitement :
Demander N
Pour d allant de 2 à E
( N ) faire
Si d divise N
afficher d et s’arrêter
Sinon
d prend la valeur d +1
Fin du Si
Fin du Pour
a) Implémenter et tester l’algorithme ci-dessus pour N = 143 ; N = 147 et
N = 149 et comparer aux résultats obtenus avec l’algorithme 1.
b) Quelle amélioration apporte cet algorithme par rapport à l’algorithme 1 ?
Modifier l’algorithme 2 pour obtenir la liste de tous les diviseurs de l’entier N
compris entre 1 et N .
C
Cours
1. Nombres premiers
Définition 6
Un nombre entier naturel n est un nombre premier lorsqu’il admet exactement deux
diviseurs positifs distincts qui sont 1 et n.
Exemple
Les nombres 2, 3, 5 et 7 sont des nombres premiers.
Le nombre 6 n’est pas un nombre premier car 1, 2, 3 et 6 divisent 6.
L’entier naturel 1 n’est pas un nombre premier car 1 n’admet qu’un seul diviseur
positif.
Propriété 10
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.
t L’entier naturel n admet au moins un diviseur premier.
t Si n n’est pas premier, n admet au moins un diviseur premier p tel que p ≤ n .
Démonstration
Si n est premier, la propriété est vérifiée.
Si n n’est pas premier, c’est qu’il admet dans d’autres diviseurs que 1 et n.
Soit p le plus petit diviseur de n tel que : 1 < p < n.
Raisonnons par l’absurde.
Si p n’est pas un nombre premier, alors il admet lui-même au moins un diviseur
p’ tel que 1 < p’ < p.
Mais comme p’ divise p, p’ divise aussi n, et ceci est en contradiction avec le fait
que p est le plus petit diviseur de n compris strictement entre 1 et n.
D’où p est premier.
Conclusion : n entier et n > 1 admet au moins un diviseur premier.
Soit n > 1 un entier non premier ; on appelle p le plus petit diviseur de n tel
que 1 < p < n. On a vu dans la démonstration précédente que p est premier.
De plus, il existe un entier k tel que n = kp. Ainsi, k est un diviseur de n supérieur ou égal à p d’où n = pk ≥ p 2 donc n ≥ p.
Théorème 3
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration
Raisonnons par l’absurde.
Soit P l’ensemble des nombres premiers. Supposons que P est fini et que P
contient n éléments p1, p2 , ... , pn .
Considérons l’entier naturel k = p1 × p2 × ... × pn + 1.
On a k ≥ 2 donc k possède au moins un diviseur premier q.
Le nombre q est l’un des pi donc q divise p1 × p2 × ... × pn , par suite q divise
k − p1 × p2 × ... × pn donc q divise 1 donc q = 1. Ceci est impossible car 1 n’est
pas premier.
L’hypothèse « P fini » a conduit à une impossibilité donc P est infini.
2. Méthode de recherche des nombres
premiers
a) Crible d’Erastothène (mathématicien, astronome
et philosophe grec du IIIe siècle avant J.-C.)
Recherche des nombres premiers inférieurs à 100
On écrit la liste de tous les entiers de 0 à 99.
À chaque étape de la recherche, on supprime de la liste tous les multiples d’un
entier donné. À la fin, il ne reste dans la liste que les entiers qui ne sont multiples
d’aucun entier, c’est-à-dire des nombres premiers.
On commence par surligner 0 et 1 qui ne sont pas premiers.
Le nombre 2 est premier et on surligne tous ses multiples, c’est-à-dire les entiers
pairs à partir de 4.
Le premier nombre non surligné suivant est 3 ; il est premier ; on surligne alors
tous les multiples de 3 qui sont encore en présence.
L’entier suivant non surligné est 5 ; il est premier ; on surligne alors tous les multiples de 5 qui sont encore en présence.
Et ainsi de suite jusqu’à 10. En effet, d’après la propriété précédente, si n n’est
pas premier, n admet au moins un diviseur inférieur ou égal à n .
Ici, n = 100 donc n = 10.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
On obtient ainsi la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
b) Déterminer si un nombre donné est premier
Exemple 25
Solution
Les nombres 367 et 511 sont-ils premiers ?
Nous allons utiliser la contraposée de la proposition « si n n’est pas premier, n
admet au moins un diviseur premier p tel que p ≤ n » à savoir « si n n’admet
pas de diviseur premier p tel que p ≤ n »alors n est premier ».
On a 367 ≈ 19, 2. Les nombres premiers inférieurs à 367 sont 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17 et 19.
Le nombre 2 ne divise pas 367 qui est un nombre impair.
De plus, 3 ne divise pas 367 car 3 ne divise pas la somme de ses chiffres :
3 + 6 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7 non divisible par 3
et 5 ne divise pas 367.
On a :
367 = 7 × 52 + 3 donc 7 ne divise pas 367 ;
367 = 11× 33 + 4 donc 11 ne divise pas 367 ;
367 = 13 × 28 + 3 donc 13 ne divise pas 367 ;
367 = 17 × 21+ 10 donc 17 ne divise pas 367 ;
367 = 19 × 19 + 6 donc 19 ne divise pas 367.
Il n’existe aucun nombre premier inférieur à
donc 367 est un nombre premier.
367 qui soit un diviseur de 367
On a 511 ≈ 22, 61. Les nombres premiers inférieurs à 511 sont 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17 et 19.
Le nombre 2 ne divise pas 511 qui est un nombre impair.
De plus, 3 ne divise pas 511 car 3 ne divise pas la somme de ses chiffres :
3 + 6 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7 non divisible par 3
et 5 ne divise pas 511.
On a 511 = 7 × 73 donc 7 divise 511 donc 511 n’est pas un nombre premier.
3. Décomposition en produit de facteurs
premiers
Théorème 4
Tout entier naturel n, strictement supérieur à 1, peut s’écrire comme un produit de
nombres premiers. Cette décomposition en facteurs premiers est unique à l’ordre
des facteurs près.
Démonstration
Unicité : admise.
Existence.
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 donc n admet un diviseur premier p1 : n = p1 × n1 avec 1 ≤ n1 < n.
Si n1 = 1, la démonstration est terminée.
Sinon, n1 admet un diviseur premier p2 et n1 = p2 × n2 où 1 ≤ n2 < n1.
Ainsi n = p1 × p2 × n2.
Si n2 = 1, la démonstration est terminée.
Sinon, n2 admet un diviseur premier p 3 et n2 = p 3 × n3 où 1 ≤ n 3 < n2.
Et ainsi de suite ...
On fabrique deux suites (éventuellement finies) d’entiers naturels
telles que n = p1 × p2 × ... × pk × nk .
( pi )
et (ni )
La suite d’entiers naturels (ni ) étant strictement décroissante est finie donc le
processus s’arrête pour un entier k tel que nk = 1.
Les termes de la suite des entiers naturels ( pi ) ne sont pas tous nécessairement
distincts. En regroupant les éléments égaux, on obtient une décomposition du
type : n = p1 α1 × p2 α 2 × ... × pN αN où p1, p2 , ... et pN sont des nombres premiers distincts et α1, α 2 , ... et αN des entiers naturels non nuls.
Exemple 26
Décomposer 300 en produit de facteurs premiers.
Décomposer 280 en produit de facteurs premiers. En déduire le nombre de
diviseurs de 280.
Solution
On peut présenter de la manière suivante en épuisant successivement tous les
diviseurs premiers de 300 :
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
condition d’arrêt
Ainsi 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 22 × 3 × 55.
k
Ainsi 280 = 23 × 5 × 7.
Liste des diviseurs de 280 :
1 est un diviseur de 280.
Diviseurs premiers : 2, 5 et 7 ;
Diviseurs produits de deux facteurs premiers :
2 × 2 = 4 , 2 × 5 = 10, 2 × 7 = 14 , 5 × 7 = 35 ;
Diviseurs produits de trois facteurs premiers :
2 × 2 × 2 = 8, 2 × 2 × 5 = 20, 2 × 2 × 7 = 28 et 2 × 5 × 7 = 70 ;
Diviseurs produits de quatre facteurs premiers :
2 × 2 × 2 × 5 = 40, 2 × 2 × 2 × 7 = 56 et 2 × 2 × 5 × 7 = 140 ;
Diviseurs produits de cinq facteurs premiers : 2 × 2 × 2 × 5 × 7 = 280.
Ainsi, 280 possèdent 16 diviseurs. Ce qui précède se généralise et on a le théorème suivant :
Théorème 5
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est :
n = p1 α1 × p2 α 2 × ... × pk αk .
Alors les diviseurs de n dans
N sont les entiers naturels
p1 β1 × p2 β2 × ... × pk βk
où pour tout 1 ≤ i ≤ k , 0 ≤ βi ≤ αi .
Démonstration
Les entiers naturels de la forme N = p1 β1 × p2 β2 × ... × pk βk où pour tout
1 ≤ i ≤ k , 0 ≤ βi ≤ αi sont des diviseurs de n.
En effet, si N ′ = p1 γ 1 × p2 γ 2 × ... × pk γ k où pour tout 1 ≤ i ≤ k , γ i = αi − βi
alors :
(
β
N × N ′ = p1 1 × p2
= p1
β1 + γ 1
β2
× p2
×... × pk
β2 + γ 2
βk
)(
γ
× p1 1 × p2
×... × p
βk + γ k
γ2
= p1
×... × pk
α1
× p2
α2
γk
)
×... × p
αk
=n.
Montrons que tous les entiers naturels de n sont de la forme voulue.
Soit d un diviseur de n, on peut donc écrire n = d × d ′. Celle-ci étant unique, la
décomposition en produit de facteurs premiers de n est le produit des décompositions de d et de d ’ de sorte que d est bien de la forme p1 β1 × p2 β2 × ... × pk βk
où pour tout 1 ≤ i ≤ k , 0 ≤ βi ≤ αi .
k
Exemple 27
Solution
Déterminer l’ensemble des diviseurs de 308.
On a : 308 = 22 × 7 × 11. L’arbre suivant nous donne alors les diviseurs positifs de 308.
70
20
71
70
21
71
70
22
71
110
20 ⫻ 70 ⫻ 110 = 1
111
20 ⫻ 70 ⫻ 111 = 1
110
7
111
77
110
2
111
22
110
14
111
154
110
4
111
44
110
28
111
308
Plus généralement, en appliquant un raisonnement similaire, on a le corollaire
suivant.
Corollaire
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est :
n = p1 α1 × p2 α 2 × ... × pk αk .
Alors le nombre de diviseurs positifs de n est ( α1 + 1) × ( α 2 + 1) × ... × ( αk + 1).
Exemple 28
Solution
Quel est le nombre de diviseurs positifs de 102014 ?
La décomposition en produit de facteurs premiers de 102014 est 22014 × 52014.
Il admet donc ( 2014 + 1) × ( 2014 + 1) = 4 060 225.
D
Exercice 22
Exercices d’apprentissage
Décomposer 45 045 en produit de facteurs premiers. En déduire le nombre de
diviseurs de 45 045.
Décomposer 24 206 en produit de facteurs premiers.
Simplifier
Exercice 23
45 045
.
24 206
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 2 + x + 41.
Pour 1 ≤ n ≤ 15, calculer f (n ). Que constatez-vous ?
Le nombre f (n) est-il premier pour tout n de
N?
Exercice 24
Déterminer tous les nombres premiers p tels que 11p + 1 soit le carré d’un entier.
Exercice 25
Soit n un entier naturel non nul. Montrer que n est un carré d’entier si, et seulement si, il admet un nombre impair de diviseurs positifs (on pourra écrire la
décomposition en produit de facteurs premiers de n).
Exercice 26
Soit N le nombre formé par les 15 chiffres du numéro INSEE. Ce numéro se
décompose en 13 premiers chiffres qui forment un nombre n et en deux derniers
chiffres qui constituent la clé c de N (revoir l’activité 2 pour le calcul de la clé).
Le but de l’exercice est de montrer que, s’il y a un chiffre erroné dans le numéro
INSEE, alors le numéro n’est pas valide.
Soit M le nombre M = N + c. Montrer que, pour tout numéro INSEE correct, M
est divisible par 97.
Soit N un numéro INSEE et N ’ le numéro erroné dont un chiffre diffère de celui
de N (on supposera que N > N ’).
a) Calculer M – M ’.
b) Justifier que 97 ne divise pas M – M ’.
c) Conclure.