5 Nombres premiers

5Nombres premiers
Objectifs du chapitre
Nous allons définir ce qu’est un nombre premier.
Pour débuter
 Voici un algorithme: Algorithme 1
Entrée: N (entier naturel supérieur ou égal à 2)
d (entier naturel)
Traitement: Demander
N
Pour d allant de 2 à N – 1 faire
Si d divise N
afficher d et s’arrêter
Sinon
d prend la valeur d +1
Fin du Si
Fin du Pour
a) Implémenter et tester l’algorithme pour N = 143; N = 147 et N = 149. (Le
logiciel Algobox ne permet pas de quitter une boucle: on pourra alors utiliser
la fonction Pause et arrêter).
b) Que fait cet algorithme? Que peut-on en déduire lorsqu’aucun résultat ne
s’affiche?
 Voici un deuxième algorithme: Algorithme 2
Entrée: N (entier naturel supérieur ou égal à 2)
d (entier naturel)
Traitement: Demander
N
Pour d allant de 2 à E
N
()
faire
Si
d divise N
afficher d et s’arrêter
Sinon
d prend la valeur d +1
Fin du Si
Fin du Pour
A
B
Activité 4

a) Implémenter et tester l’algorithme ci-dessus pour N = 143 ; N = 147 et
N = 149 et comparer aux résultats obtenus avec l’algorithme 1.
b) Quelle amélioration apporte cet algorithme par rapport à l’algorithme 1?
 Modifier l’algorithme 2 pour obtenir la liste de tous les diviseurs de l’entier
N
compris entre 1 et N .
Cours
1. Nombres premiers
Un nombre entier naturel n est un nombre premier lorsqu’il admet exactement deux
diviseurs positifs distincts qui sont 1 et
n .
Définition 6
Les nombres 2, 3, 5 et 7 sont des nombres premiers.
Le nombre 6 n’est pas un nombre premier car 1, 2, 3 et 6 divisent 6.
L’entier naturel 1 n’est pas un nombre premier car 1 n’admet qu’un seul diviseur
positif.
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.
t L’entier naturel
n admet au moins un diviseur premier.
t Si
n n’est pas premier, n admet au moins un diviseur premier p tel que
pn ≤.
Propriété 10
 Si
n est premier, la propriété est vérifiée.
 Si
n n’est pas premier, c’est qu’il admet dans d’autres diviseurs que 1 et n .
Soit p le plus petit diviseur de n tel que : 1 < p < n .
Raisonnons par l’absurde.
Si p n’est pas un nombre premier, alors il admet lui-même au moins un diviseur
p’ tel que 1 < p’ < p .
Mais comme p’ divise p, p’ divise aussi n , et ceci est en contradiction avec le fait
que p est le plus petit diviseur de n compris strictement entre 1 et n .
D’où p est premier.
Conclusion : n entier et n > 1 admet au moins un diviseur premier.
 Soit
n > 1 un entier non premier ; on appelle p le plus petit diviseur de n tel
que 1 <
p < n . On a vu dans la démonstration précédente que p est premier.
De plus, il existe un entier k tel que n = kp . Ainsi, k est un diviseur de n supé-
rieur ou égal à p d’où
npkp =≥
2donc
np ≥.
C
Exemple
Démonstration

Il existe une infinité de nombres premiers.
Théorème 3
Raisonnons par l’absurde.
Soit P l’ensemble des nombres premiers. Supposons que P est fini et que P
contient
n éléments
pp p
n 12
,,,... .
Considérons l’entier naturel
kp p p
n
=×××+
12 1... .
On a
k ≥2 donc k possède au moins un diviseur premier q .
Le nombre
q est l’un des
pi
donc q divise
pp p
n 12
×××... , par suite
q divise
kp p p
n
−×××
12
... donc
q divise 1 donc q = 1. Ceci est impossible car 1 n’est
pas premier.
L’hypothèse « P fini » a conduit à une impossibilité donc P est infini.
2. Méthode de recherche des nombres
premiers
a) Crible d’Erastothène (mathématicien, astronome
et philosophe grec du IIIe siècle avant J.-C.)
Recherche des nombres premiers inférieurs à 100
On écrit la liste de tous les entiers de 0 à 99.
À chaque étape de la recherche, on supprime de la liste tous les multiples d’un
entier donné. À la fin, il ne reste dans la liste que les entiers qui ne sont multiples
d’aucun entier, c’est-à-dire des nombres premiers.
On commence par surligner 0 et 1 qui ne sont pas premiers.
Le nombre 2 est premier et on surligne tous ses multiples, c’est-à-dire les entiers
pairs à partir de 4.
Le premier nombre non surligné suivant est 3; il est premier; on surligne alors
tous les multiples de 3 qui sont encore en présence.
L’entier suivant non surligné est 5 ; il est premier ; on surligne alors tous les mul-
tiples de 5 qui sont encore en présence.
Et ainsi de suite jusqu’à 10. En effet, d’après la propriété précédente, si
n n’est
pas premier, n admet au moins un diviseur inférieur ou égal à n .
Ici,
n = 100 donc n =10.
Démonstration

0123456789
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
On obtient ainsi la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
b) Déterminer si un nombre donné est premier
Les nombres 367 et 511 sont-ils premiers?
Nous allons utiliser la contraposée de la proposition «si
n n’est pas premier, n
admet au moins un diviseur premier p tel que
pn ≤» à savoir «si
n n’admet
pas de diviseur premier p tel que
pn ≤»alors
n est premier».
On a 367 19 2≈,. Les nombres premiers inférieurs à
367
sont 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17 et 19.
Le nombre 2 ne divise pas 367 qui est un nombre impair.
De plus, 3 ne divise pas 367 car 3 ne divise pas la somme de ses chiffres:
3 + 6 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7 non divisible par 3
et 5 ne divise pas 367.
On a:
3677523=× +donc 7 ne divise pas 367;
367 11 33 4=×+donc 11 ne divise pas 367;
367 13 28 3=×+
donc 13 ne divise pas 367;
367 17 21 10=×+ donc 17 ne divise pas 367;
367 19 19 6=×+
donc 19 ne divise pas 367.
Il n’existe aucun nombre premier inférieur à
367
qui soit un diviseur de 367
donc 367 est un nombre premier.
On a 511 22 61≈,. Les nombres premiers inférieurs à 511sont 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17 et 19.
Le nombre 2 ne divise pas 511 qui est un nombre impair.
De plus, 3 ne divise pas 511 car 3 ne divise pas la somme de ses chiffres:
3 + 6 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7 non divisible par 3
et 5 ne divise pas 511.
On a 511 7 73=× donc 7 divise 511 donc 511 n’est pas un nombre premier.
Exemple 25
Solution

3. Décomposition en produit de facteurs
premiers
Tout entier naturel n , strictement supérieur à 1, peut s’écrire comme un produit de
nombres premiers. Cette décomposition en facteurs premiers est unique à l’ordre
des facteurs près.
Théorème 4
Unicité : admise.
Existence .
Soit
n un entier naturel strictement supérieur à 1 donc n admet un diviseur pre-
mier
p
1:
np n =×
11
avec 11
≤< nn .
Si
n
11=, la démonstration est terminée.
Sinon,
n
1 admet un diviseur premier
p
2 et
npn
122
=× où 121
≤< nn .
Ainsi np p n =××
122
.
Si
n
21=, la démonstration est terminée.
Sinon,
n
2 admet un diviseur premier
p
3 et
npn
233
=× où 132
≤< nn .
Et ainsi de suite ...
On fabrique deux suites (éventuellement finies) d’entiers naturels
pi
()
et
n
i
()
telles que np p p n
kk
=××× ×
12
... .
La suite d’entiers naturels
n
i
()
étant strictement décroissante est finie donc le
processus s’arrête pour un entier k tel que nk =1.
Les termes de la suite des entiers naturels
pi
()
ne sont pas tous nécessairement
distincts. En regroupant les éléments égaux, on obtient une décomposition du
type :
np p p
NN
=×××
12
12
αα α
... où
pp p
N 12
, , ... et sont des nombres pre-
miers distincts et
αα α
12
, , ... et
N
des entiers naturels non nuls.
 Décomposer 300 en produit de facteurs premiers.
 Décomposer 280 en produit de facteurs premiers. En déduire le nombre de
diviseurs de 280.
 On peut présenter de la manière suivanteen épuisant successivement tous les
diviseurs premiers de 300:
300 2
150 2
75 3
25 5
55
1
Ainsi 300223552 35
25
=××××= ×× .
Démonstration
Exemple 26
Solution
condition d’arrêt