Algèbre matricielle rapide en calcul formel et calcul numérique
THÈSE EN COTUTELLE
présentée et soutenue publiquement le 7 mai 2010
au Centre International de Rencontres Mathématiques (CIRM), Marseille
pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Université de Franche-Comté – France
et
l’Université de Tunis El Manar – Tunisie
(spécialité Mathématiques Appliquées)
par
Skander BELHAJ
Algèbre matricielle rapide en calcul formel
et calcul numérique
dirigée par Henri Lombardi, Mohamed Jaoua et Amel Ben Abda
Composition du Jury
Président :
Nabil Gmati Université de Tunis El Manar
Rapporteurs : Dario Andrea Bini Université de Pise, Italie
Bernard Mourrain INRIA, Sophia Antipolis
Membres : Jean-Claude Yakoubsohn Université Paul Sabatier, Toulouse III
Mohamed Jaoua Université de Nice-Sophia Antipolis
Amel Ben Abda Université de Tunis El Manar
Henri Lombardi Université de Franche-Comté
__________________________________________________________________________________________
Laboratoire de Mathématiques de Besançon -UMR CNRS 6623- 16, route de Gray 25030 Besançon – France
LAMSIN -Ecole National d'Ingénieurs de Tunis- BP 37, 1002 Tunis – Tunisie
Table des mati`eres
Introduction 13
Notations et pr´eliminaires 19
1 Inversion rapide des matrices triangulaires de Toeplitz 21
1.1 Introduction................................ 21
1.2 Origine des matrices de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Inversion exacte d’une matrice triangulaire de Toeplitz . . . . . . . . 23
1.3.1 Inversion via substitution d’une matrice triangulaire de Toeplitz 23
1.3.2 Inversion via division polynomiale d’une matrice triangulaire
deToeplitz ............................ 24
1.4 Inversion approch´ee d’une matrice triangulaire de Toeplitz . . . . . . 24
1.4.1 Inversion via interpolation d’une matrice triangulaire de Toeplitz 24
1.4.2 Inversion via Bini d’une matrice triangulaire de Toeplitz . . . 29
1.4.3 Inversion via Bini r´evis´ee d’une matrice triangulaire de Toeplitz 31
1.5 Exemplesnum´eriques........................... 32
1.6 Conclusion................................. 33
2 Diagonalisation par blocs de la matrice de Hankel 35
2.1 Introduction................................ 35
2.1.1 Exemple et Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Diagonalisation par blocs approch´ee de la matrice de Hankel via Toeplitz 39
2.2.1 R´eduction au moyen d’une matrice triangulaire sup´erieure de
Toeplitz .............................. 39
2.2.2 Diagonalisation par blocs au moyen de matrices triangulaires
sup´erieures ............................ 43
2.3 Diagonalisation par blocs approch´ee par la m´ethode de Schur . . . . . 45
2.4 Comparaison ............................... 49
2.5 Exemplesnum´eriques........................... 50
2.5.1 Efficacit´e.............................. 51
2.5.2 Tempsdecalcul.......................... 55
2.6 Conclusion................................. 55
3
4
3 Diagonalisation par blocs de la matrice de Hankel et algorithme
d’Euclide 57
3.1 Matrice de Hankel associ´ee `a deux polynˆomes . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Algorithme d’Euclide approch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Diagonalisation par blocs approch´ee de H(u, v) ............ 61
3.3.1 R´eduction approch´ee de H(u, v)................. 61
3.4 ExempleNum´erique ........................... 63
3.5 Conclusion................................. 65
4 Diagonalisation par blocs des matrices de Hankel et de B´ezout :
connexion avec l’algorithme d’Euclide 67
4.1 Matrice de B´ezout associ´ee `a deux polynˆomes . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Diagonalisation par blocs approch´ee de JB (u, v)J.......... 69
4.2.1 R´eduction approch´ee de JB (u, v)J............... 69
4.3 Exp´erimentation num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1 Comparaison des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.2 Sensibilit´e des degr´es par rapport `a la tol´erance . . . . . . . . 77
4.3.3 Comparaison des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Conclusion................................. 77
5 Diagonalisation par blocs de la matrice de Hankel `a coefficients com-
plexes 79
5.1 Diagonalisation par blocs approch´ee d’une matrice de Hankel complexe
viaToeplitz ................................ 80
5.1.1 L’algorithme pour une matrice complexe de Hankel via Toeplitz 80
5.2 Diagonalisation par blocs approch´ee d’une matrice de Hankel complexe
viaSchur.................................. 82
5.2.1 L’algorithme pour une matrice complexe de Hankel via Schur 82
5.3 Exemples Num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3.1 Comparaison des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3.2 Efficacit´e.............................. 84
5.3.3 Tempsdecalcul.......................... 88
5.3.4 Application `a l’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4 Conclusion................................. 89
6 Une ´etude exp´erimentale 91
6.1 Efficacit´e.................................. 92
6.2 Stabilit´e .................................. 100
6.3 Tempsdecalcul.............................. 107
6.4 Influence d’inverser les Toeplitz-sup´erieures . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5 Comparaison par rapport `a l’approche via B´ezout . . . . . . . . . . . 120
6.5.1 Efficacit´e.............................. 121
6.5.2 Stabilit´e.............................. 123
6.6 Sensibilit´e par rapport `a la tol´erance ................. 127
5
7 G´en´eralisations et perspectives 129
A : Notions fondamentales 131
A.1 Conditionnement et stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2Normesetdistances ............................ 132
A.2.1 Normes vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.2.2 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.3 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.4SVDetrangapproch´e........................... 135
A.3.1 SVD des matrices de B´ezout et de Hankel . . . . . . . . . . . . 136
A.5FFT..................................... 137
A.6DCT .................................... 139
A.6.1DCT-I................................ 139
A.6.2DCT-II ............................... 140
A.6.3DCT-III............................... 140
A.6.4DCT-IV............................... 140
A.6.5Applications ............................ 140
B : Codes Matlab 143
B.1 Les programmes communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.1.1DCT-II ............................... 143
B.1.2 Calcul du rang approch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.1.3 Compteur des blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.1.4 Compteur des blocs via SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.1.5 Construction d’une matrice de Hankel via deux polynˆomes . . . 144
B.1.6 Construction d’une matrice de B´ezout via deux polynˆomes . . . 145
B.1.7 Transformation de deux polynˆomes en une matrice de Hankel . 145
B.1.8 Transformation de deux polynˆomes en une matrice de B´ezout . 145
B.1.9 Euclide de deux polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.2 Les programmes d’inversion de matrices sup´erieures de Toeplitz . . . . 147
B.2.1 Inversion via FFT Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.2.2 Inversion via Least Square Division . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.2.3 Inversion via substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.2.4 Inversion via interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
B.2.5 Inversion via Bini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
B.3 Les programmes de diagonalisation par blocs de matrices de Hankel . . 148
B.3.1 R´eduction de la matrice de Hankel r´eelle via Toeplitz . . . . . . 148
B.3.2 R´eduction de la matrice de Hankel complexe via Toeplitz . . . . 149
B.3.3 R´eduction de la matrice de Hankel r´eelle via Schur . . . . . . . 149
B.3.3 R´eduction de la matrice de Hankel complexe via Schur . . . . . 150
B.3.5 Diagonalisation par blocs de Hankel-r´eelle via Toeplitz . . . . . 150
B.3.6 Diagonalisation par blocs de Hankel-complexe via Toeplitz . . . 151
B.3.7 Diagonalisation par blocs de Hankel-r´eelle via Schur . . . . . . 152
B.3.8 Diagonalisation par blocs de Hankel-complexe via Schur . . . . 153
6
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