Problème : Entier somme de deux carrés

Problème : Entier somme de deux carrés
Dans ce problème, on cherche à caractériser les entiers naturels qui sont somme de deux carrés.
Autrement dit, on cherche tous les entiers n∈Npour lesquels il existe deux entiers uet vtels que
n=u2+v2.
Partie I : Anneau des entiers de Gauss
On pose
Z[i] = {a+ib / a, b ∈Z}
l’anneau des entiers de Gauss.
Dans cette partie, on propose d’étudier les propriétés algébriques de cet ensemble. Pour cela, on pose
∀z∈C, N(z) = z·z.
1. Montrer que Z[i]est un sous-anneau de (C,+,×).
2. (a) Établir que pour tout u, v ∈C,N(uv) = N(u)N(v), et que, pour tout u∈Z[i],N(u)∈N.
(b) Montrer Z[i]?={u∈Z[i]/ N(u) = 1}et écrire Z[i]?en extension.
3. Soit nun entier naturel.
Montrer que nest somme de deux carrées si, et seulement si, il existe z∈Z[i]tel que n=N(z).
4. Division euclidienne dans Z[i].
(a) Montrer que, pour tout z∈C, il existe u∈Z[i]tel que N(u−z)<1.
(b) Montrer que, pour tout a∈Z[i], pour tout b∈Z[i]\ {0}, il existe (q, r)∈Z[i]2tel que
a=bq +ret N(r)< N(b).
Partie II : Arithmétique dans Z[i]
Pour u, v ∈Z[i], on dit que udivise vdans Z[i]s’il existe d∈Z[i]tel que v=ud.
On dit que p∈Z[i]est irréductible si p=uv ⇒u∈Z[i]?ou v∈Z[i]?.
1. Soient u, v ∈Z[i]. Montrer que si udivise vdans Z[i]alors udivise vdans Z[i].
2. Soient u, v ∈Z[i]. Montrer que si udivise vdans Z[i]alors N(u)divise N(v)dans Z.
3. Soient u, v ∈Z[i]. Montrer que udivise vet vdivise udans Z[i]si, et seulement si, il existe
d∈Z[i]?tel que v=ud.
On dit alors que uet vsont associés.
4. Existence du pgcd dans Z[i].
Soient uet vdeux éléments de Z[i]dont l’un, au moins, est non nul.
On appelle pgcd de uet vtout élément δ∈Z[i]vérifiant
—δdivise uet vdans Z[i],
— si δ0est un élément de Z[i]divisant uet vdans Z[i]alors δ0divise δdans Z[i].
(a) Montrer que tous les pgcd de uet vsont associés.
(b) Soit δ∈Z[i]. On pose
δZ[i] = {δu / u ∈Z[i]}.
i. Montrer que δZ[i]est un sous-groupe de (Z[i],+).
ii. On pose
I(u, v) = uz +vz0/ z, z0∈Z[i].
Observer que uet vsont des éléments de I(u, v).
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iii. Montrer que l’ensemble
A={N(w)/ w ∈I(u, v)\ {0}}
possède un minimum d > 0.
(c) Soit δ∈I(u, v)\ {0}tel que N(δ) = d. Montrer que I(u, v) = δZ[i].
(d) En déduire que δest un pgcd de uet vdans Z[i].
5. Théorème de Bézout dans Z[i]: Soient u, v ∈Z[i]\ {0}.
Montrer que 1est un pgcd uet vsi, et seulement si, il existe z, z0∈Z[i]tels que uz +vz0= 1.
6. Théorème de Gauss dans Z[i]: Soient u, v, w ∈Z[i]\ {0}.
Montrer que si udivise vw et si 1est pgcd de uet valors udivise w.
7. Lemme d’Euclide dans Z[i]: Soient p, u, v ∈Z[i]\ {0}.
Montrer que si pdivise vw et si pest irréductible alors pdivise vou pdivise w.
Partie III : Nombres premiers sommes de deux carrés
Dans cette partie, on cherche à caractériser les nombres premiers qui sont somme de deux carrés.
1. Soient p>3un nombre premier et aun entier non congru à 0modulo p.
(a) Montrer que p≡1 [4] ou que p≡3 [4].
(b) Montrer que
∀x∈[[1, p −1]],∃!y∈[[1, p −1]] / xy ≡a[p].(?)
Indication : On pourra appliquer le théorème de Bézout à xet p.
(c) En appliquant (?)àa= 1, montrer le théorème de Wilson
(p−1)! ≡ −1 [p].
(d) On dit que aest un carré modulo ps’il existe 16x6p−1tel que a≡x2[p]. Un tel xest
appelé une racine carrée de amodulo p.
Si aest un carré modulo pet si xdésigne l’une de ses racines carrées modulo p, déterminer
toutes les racines carrées de amodulo pen fonction de x.
(e) En déduire que
ap−1
2≡1 [p]si aest un carré modulo p,
−1 [p]si an’est pas un carré modulo p.
2. Dans la suite de cette partie, pdésigne un nombre premier quelconque.
Montrer que −1est un carré modulo psi, et seulement si, p≡1 [4] ou p= 2.
3. (a) Montrer que si pest somme de deux carrés alors p= 2 ou p≡1 [4].
(b) Montrer que 2est somme de deux carrés.
(c) Montrer que si p≡1 [4] alors pest somme de deux carrés.
Indication : On pourra montrer que p=u2+v2avec u+iv un pgcd de pet a+ioù
a2≡ −1 [p].
4. Conclure.
Partie IV : Entier somme de deux carrés
Dans cette dernière partie, on cherche enfin à caractériser les entiers naturels qui sont sommes de deux
carrés.
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1. Montrer que si net msont deux entiers naturels sommes de deux carrées alors nm est également
somme de deux carrés.
2. Soit pun nombre premier différent de 2. Montrer que si pn’est pas irréductible alors pest
somme de deux carrés.
3. Soient u, v ∈N,n=u2+v2un entier somme de deux carrés et p≡3 [4], un nombre premier
diviseur de n.
(a) Montrer que pdivise u+iv dans Z[i].
(b) En déduire que p2divise ndans Z.
4. Établir que les entiers naturels non nuls qui sont somme de deux carrés sont les nombres n
vérifiant
∀p∈P,p≡3 [4] ⇒vp(n)est pair .
* * * FIN DU SUJET * * *
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