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Problème : Entier somme de deux carrés
Dans ce problème, on cherche à caractériser les entiers naturels qui sont somme de deux carrés.
Autrement dit, on cherche tous les entiers n∈Npour lesquels il existe deux entiers uet vtels que
n=u2+v2.
Partie I : Anneau des entiers de Gauss
On pose
Z[i] = {a+ib / a, b ∈Z}
l’anneau des entiers de Gauss.
Dans cette partie, on propose d’étudier les propriétés algébriques de cet ensemble. Pour cela, on pose
∀z∈C, N(z) = z·z.
1. Montrer que Z[i]est un sous-anneau de (C,+,×).
2. (a) Établir que pour tout u, v ∈C,N(uv) = N(u)N(v), et que, pour tout u∈Z[i],N(u)∈N.
(b) Montrer Z[i]?={u∈Z[i]/ N(u) = 1}et écrire Z[i]?en extension.
3. Soit nun entier naturel.
Montrer que nest somme de deux carrées si, et seulement si, il existe z∈Z[i]tel que n=N(z).
4. Division euclidienne dans Z[i].
(a) Montrer que, pour tout z∈C, il existe u∈Z[i]tel que N(u−z)<1.
(b) Montrer que, pour tout a∈Z[i], pour tout b∈Z[i]\ {0}, il existe (q, r)∈Z[i]2tel que
a=bq +ret N(r)< N(b).
Partie II : Arithmétique dans Z[i]
Pour u, v ∈Z[i], on dit que udivise vdans Z[i]s’il existe d∈Z[i]tel que v=ud.
On dit que p∈Z[i]est irréductible si p=uv ⇒u∈Z[i]?ou v∈Z[i]?.
1. Soient u, v ∈Z[i]. Montrer que si udivise vdans Z[i]alors udivise vdans Z[i].
2. Soient u, v ∈Z[i]. Montrer que si udivise vdans Z[i]alors N(u)divise N(v)dans Z.
3. Soient u, v ∈Z[i]. Montrer que udivise vet vdivise udans Z[i]si, et seulement si, il existe
d∈Z[i]?tel que v=ud.
On dit alors que uet vsont associés.
4. Existence du pgcd dans Z[i].
Soient uet vdeux éléments de Z[i]dont l’un, au moins, est non nul.
On appelle pgcd de uet vtout élément δ∈Z[i]vérifiant
—δdivise uet vdans Z[i],
— si δ0est un élément de Z[i]divisant uet vdans Z[i]alors δ0divise δdans Z[i].
(a) Montrer que tous les pgcd de uet vsont associés.
(b) Soit δ∈Z[i]. On pose
δZ[i] = {δu / u ∈Z[i]}.
i. Montrer que δZ[i]est un sous-groupe de (Z[i],+).
ii. On pose
I(u, v) = uz +vz0/ z, z0∈Z[i].
Observer que uet vsont des éléments de I(u, v).
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