Logique propositionnelle

Logique propositionnelle
Définitions et théorèmes
1 Tautologies, contradictions et contingences
1.1 Tautologies
Définition 1 (Tautologie)
Une formule ϕest une tautologie, ssi pour toute valuation V, on a V(ϕ) = 1.
Une tautologie est donc une formule toujours vraie.
Notation 1
On écrit |=ϕpour signifier que la formule ϕest une tautologie.
Attention ! Le symbole |=n’appartient pas à LP0.LP0est le langage qui nous permet
d’écrire des formules, et |=ϕn’est pas une formule. C’est un constat que l’on pose à propos
d’une formule (représentée ici par ϕ).
Quelques tautologies remarquables :
a. (ϕ→ϕ)
b. ((ϕ∧ψ)→ϕ)
c. (ϕ→(ϕ∨ψ))
d. (¬ϕ→(ϕ→ψ)) (ex falso sequitur quodlibet)
e. (ϕ∨ ¬ϕ)(loi du tiers exclu)
f. ((ϕ→(ψ→χ)) →((ϕ→ψ)→(ϕ→χ)))
g. ((ϕ→ψ)∨(ψ→ϕ))
h. (((ϕ→ψ)→ϕ)→ϕ)(loi de Pierce)
Si une formule ϕn’est pas une tautologie, on le note en écrivant : 6|=ϕ. Dire que ϕ
n’est pas une tautologie signifie simplement qu’il existe au moins une valuation Vtelle que
V(ϕ) = 0. Dans ce cas, une telle valuation Vs’appelle un contre-exemple de ϕ.
1.2 Contradictions
Une contradiction est une formule toujours fausse.
Définition 2 (Contradiction)
Une formule ϕest une contradiction, ssi pour toute valuation V, on a V(ϕ)=0.
1

La contradiction par excellence est (ϕ∧ ¬ϕ)
(une porte ne peut pas être à la fois ouverte
et fermée).
ϕ¬ϕ ϕ ∧ ¬ϕ
1 0 0
0 1 0
Théorème 1
Si ϕest une tautologie, alors ¬ϕest une contradiction.
Donc, par exemple, ¬(ϕ→(ϕ∨ψ)) et ¬(ϕ∨ ¬ϕ)sont des contradictions.
Théorème 2
Si ϕest une contradiction, alors ¬ϕest une tautologie.
Cela permet d’obtenir la tautologie ¬(ϕ∧¬ϕ), que l’on appelle la loi de non-contradiction.
Notation 2
Pour indiquer que ϕest une contradiction, on écrit : |=¬ϕ(en vertu du théorème 2).
1.3 Formules contingentes
Il reste toutes les autres formules, celles qui ne sont ni des tautologies ni des contra-
dictions. On les appelle des formules contingentes, ou parfois des contingences (lo-
giques). Une formule contingente est une formule qui, dans certains cas, est vraie, et, dans
les autres cas, est fausse.
Définition 3 (Formule contingente)
Une formule ϕest une formule contingente, ssi il existe une valuation V1telle que
V1(ϕ) = 1, et une valuation V2telle que V2(ϕ)=0.
Théorème 3
Si ϕest contingente, alors ¬ϕest contingente.
Remarque : par nature, les lettres propositionnelles (p,q,r,. . .) sont contingentes.
2 Équivalence logique
Définition 4 (Equivalence logique)
Deux formules ϕet ψsont dite logiquement équivalentes, ssi, pour toute valuation V,
on a V(ϕ) = V(ψ).
Donc deux formules sont logiquement équivalentes ssi leurs tables de vérité donne la
même colonne de résultat.
Le tableau 1 présente quelques équivalences logiques classiques.
Remarque. Si on emploie le terme d’équivalence logique, c’est pour bien faire la dis-
tinction avec l’équivalence matérielle (↔). Rappelons que l’équivalence matérielle est un
connecteur du langage LP0, qui nous permet de construire des formules. Ainsi, on a par-
faitement le droit d’écrire la formule (¬p↔(p∧q)), car elle est bien formée. Mais elle ne
signifie aucunement que ¬pet (p∧q)sont logiquement équivalentes (elles ne le sont pas).
L’équivalence logique est un concept externe, qui porte sur des formules. Lorsque l’on parle
d’équivalence logique, on se place, là encore, dans un métalangage par rapport au langage
LP0.
Mais il existe un lien assez étroit entre les deux types d’équivalence :
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Table 1 – Quelques équivalences logiques
Sont logiquement équivalentes :
ϕet ¬¬ϕ(double négation)
(ϕ∧ψ)et (ψ∧ϕ)(commutativité de ∧)
(ϕ∨ψ)et (ψ∨ϕ)(commutativité de ∨)
(ϕ→ψ)et (¬ψ→ ¬ϕ)(loi de contraposition)
¬(ϕ∧ϕ)et (¬ϕ∨ ¬ψ)(loi de Morgan)
¬(ϕ∨ϕ)et (¬ϕ∧ ¬ψ)(loi de Morgan)
(ϕ→ψ)et (¬ϕ∨ψ)
(ϕ∧(ψ∨χ)) et ((ϕ∧ψ)∨(ϕ∧χ)) (distributivité de ∧sur ∨)
(ϕ∨(ψ∧χ)) et ((ϕ∨ψ)∧(ϕ∨χ)) (distributivité de ∨sur ∧)
Théorème 4
ϕet ψsont logiquement équivalentes, ssi |=(ϕ↔ψ).
Démonstration 1 (du théorème précédent)
Supposons que ϕet ψsont logiquement équivalentes. Donc, par définition, pour toute
valuation V,V(ϕ) = V(ψ). Or la table de vérité de ↔nous dit que quand V(ϕ) = V(ψ),
V(ϕ↔ψ)=1. Et puisque cela vaut pour tout V, on a bien prouvé que (ϕ↔ψ)est
une tautologie. Réciproquement, supposons que (ϕ↔ψ)est une tautologie. Alors, par
définition, V(ϕ↔ψ)=1, pour tout V. Par la sémantique de ↔, on en déduit que V(ϕ) =
V(ψ), pour tout V. Donc ϕet ψsont logiquement équivalentes.
Maintenant, pour montrer que deux formules sont logiquement équivalentes, on a le
choix : soit on calcule les deux tables de vérité, et on vérifie qu’elles donnent un résultat
identique ; soit on calcule la table de l’équivalence matérielle entre les deux formules, et
on vérifie qu’on obtient toujours la valeur 1. Les deux méthodes reviennent exactement au
même.
Théorème 5
Toutes les tautologies sont logiquement équivalentes entre elles, et toutes les contradictions
sont logiquement équivalentes entre elles.
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