Logique pour les sciences humaines
Feuille d’exercices I
Seiller Thomas
seiller@noos.fr
Institut mathématique de Luminy, 163 Avenue de Luminy,
Case 907, 13288 Marseille Cedex 09, France
Exercice 1 : Tautologies et formules logiquement équiva-
lentes
Tautologies
Montrer que les formules suivantes sont des tautologies :
1. ((AA)A)
2. ((A(BC)) ((AB)(AC)))
3. ((A(BC)) ((AB)(AC)))
4. ((AB)(¬B⇒ ¬A))
5. ¬¬AA
6. (¬A(AB))
7. (((AB)(BC)) (AC))
Formules logiquement équivalentes
Montrer que les formules se trouvant sur une même ligne sont deux à deux
logiquement équivalentes :
1. ¬(AB),(A∧ ¬B)
2. ¬A,(¬AA),((AB)A),((BA)(¬BA))
3. (AB),(¬AB),(¬B⇒ ¬A),((AB)A),((AB)B)
Exercice 2 : Systèmes complets de connecteurs
Les systèmes suivants sont-ils complets ? Et s’il le sont, sont-ils minimaux ?
1. ,,∧}
2. {∧,∨}
3. {⇒,,⇔}
4. ,∨}
5. ,⇒}
1
Exercice 3 : D’autres règles de déduction
1. Montrer que si ABest une tautologie, et que ¬Best une tautologie (on
dit aussi que Best une antilogie), alors ¬Aest également une tautologie.
2. Montrer que si ABest une tautologie, alors :
(a) Si Aest une tautologie, alors Best une tautologie
(b) Si Aest une antilogie, alors Best une antilogie
Exercice 4 : >(Top) et (Bottom)
1. Montrer que la formule suivante est une tautologie :
((ϕψ)ϕ)ϕ)
2. Montrer l’équivalence :
(ϕψ)((ϕψ)∨ ¬ϕ)
3. On introduit une nouvelle constante , telle que pour toute distribution
de vérité ρ,ρ() = 0 par définition. Montrer que l’on a l’équivalence :
(ϕ→ ⊥)↔ ¬ϕ
4. Trouver une formule ne s’écrivant qu’avec p,¬et à laquelle est logi-
quement équivalente.
5. Trouver une formule ne s’écrivant qu’avec p,¬et à laquelle est logi-
quement équivalente.
6. On définit un connecteur >qui est tel que pour toute distribution de vérité
ρ,ρ(>) = 1. Montrer que l’on peut définir >en n’utilisant que p,¬et .
Exercice 5 : Barres de Scheffer
1. Montrer que {⇒,¬} est un système complet minimal de connecteurs
2. On définit les deux connecteurs et tels que pour toute distribution de
valeur de vérité ρ:
ρ(FG) = 0 si et seulement si ρ(F) = ρ(G) = 1
ρ(FG) = 1 si et seulement si ρ(F) = ρ(G) = 0
Donner les tables de vérité de ces deux connecteurs.
3. Montrer qu’il existe des formules F¬et G¬logiquement équivalentes à ¬p
telles que :
F¬n’utilise que le connecteur
G¬n’utilise que le connecteur
4. Montrer qu’il existe des formules Fet Glogiquement équivalentes à
telles que :
Fn’utilise que le connecteur
Gn’utilise que le connecteur
5. Montrer qu’il existe des formules F>et G>logiquement équivalentes à >
telles que :
F>n’utilise que le connecteur
G>n’utilise que le connecteur
6. Montrer que {†} et {‡} sont deux systèmes complets de connecteurs.
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