Logique pour les sciences humaines Feuille d`exercices I

Logique pour les sciences humaines
Feuille d’exercices I
Seiller Thomas
[e-mail]
Institut mathématique de Luminy, 163 Avenue de Luminy,
Case 907, 13288 Marseille Cedex 09, France
Exercice 1 : Tautologies et formules logiquement équiva-
lentes
Tautologies
Montrer que les formules suivantes sont des tautologies :
1. ((A∧A)⇔A)
2. ((A∧(B∨C)) ⇔((A∧B)∨(A∧C)))
3. ((A∨(B∧C)) ⇔((A∨B)∧(A∨C)))
4. ((A⇒B)⇔(¬B⇒ ¬A))
5. ¬¬A⇔A
6. (¬A⇒(A⇒B))
7. (((A⇒B)∧(B→C)) ⇒(A⇒C))
Formules logiquement équivalentes
Montrer que les formules se trouvant sur une même ligne sont deux à deux
logiquement équivalentes :
1. ¬(A⇒B),(A∧ ¬B)
2. ¬A,(¬A⇒A),((A→B)⇒A),((B⇒A)∧(¬B⇒A))
3. (A⇒B),(¬A∨B),(¬B⇒ ¬A),((A∧B)⇔A),((A∨B)⇔B)
Exercice 2 : Systèmes complets de connecteurs
Les systèmes suivants sont-ils complets ? Et s’il le sont, sont-ils minimaux ?
1. {¬,⇒,∧}
2. {∧,∨}
3. {⇒,∨,⇔}
4. {¬,∨}
5. {¬,⇒}
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Exercice 3 : D’autres règles de déduction
1. Montrer que si A⇒Best une tautologie, et que ¬Best une tautologie (on
dit aussi que Best une antilogie), alors ¬Aest également une tautologie.
2. Montrer que si A⇔Best une tautologie, alors :
(a) Si Aest une tautologie, alors Best une tautologie
(b) Si Aest une antilogie, alors Best une antilogie
Exercice 4 : >(Top) et ⊥(Bottom)
1. Montrer que la formule suivante est une tautologie :
((ϕ→ψ)→ϕ)→ϕ)
2. Montrer l’équivalence :
(ϕ→ψ)↔((ϕ∧ψ)∨ ¬ϕ)
3. On introduit une nouvelle constante ⊥, telle que pour toute distribution
de vérité ρ,ρ(⊥) = 0 par définition. Montrer que l’on a l’équivalence :
(ϕ→ ⊥)↔ ¬ϕ
4. Trouver une formule ne s’écrivant qu’avec p,¬et ∧à laquelle ⊥est logi-
quement équivalente.
5. Trouver une formule ne s’écrivant qu’avec p,¬et ∨à laquelle ⊥est logi-
quement équivalente.
6. On définit un connecteur >qui est tel que pour toute distribution de vérité
ρ,ρ(>) = 1. Montrer que l’on peut définir >en n’utilisant que p,¬et ∧.
Exercice 5 : Barres de Scheffer
1. Montrer que {⇒,¬} est un système complet minimal de connecteurs
2. On définit les deux connecteurs †et ‡tels que pour toute distribution de
valeur de vérité ρ:
–ρ(F†G) = 0 si et seulement si ρ(F) = ρ(G) = 1
–ρ(F‡G) = 1 si et seulement si ρ(F) = ρ(G) = 0
Donner les tables de vérité de ces deux connecteurs.
3. Montrer qu’il existe des formules F¬et G¬logiquement équivalentes à ¬p
telles que :
–F¬n’utilise que le connecteur †
–G¬n’utilise que le connecteur ‡
4. Montrer qu’il existe des formules F⊥et G⊥logiquement équivalentes à ⊥
telles que :
–F⊥n’utilise que le connecteur †
–G⊥n’utilise que le connecteur ‡
5. Montrer qu’il existe des formules F>et G>logiquement équivalentes à >
telles que :
–F>n’utilise que le connecteur †
–G>n’utilise que le connecteur ‡
6. Montrer que {†} et {‡} sont deux systèmes complets de connecteurs.
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