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-
PRESENTATION
TOPOLOGTSUE
DU CALCUL
PROPOSITIT}JNEL
INTUITITNNISTE.
J. DRABBE.
I, fntroduction.
La présentation élémantalre usuelle rJu
ca1cul propositronnel
classique par lrintermédiaire des tables de vérité a fait très tôt
lrobJet de généralisatlons permettant un nombre de valeurs de vérité
supérieur à 2 (voirr pâr exemple, E. P0ST "Introduction to a General
Ïheory of Elementary propositions", Amer. Journal of ilath. æ (rga1),
ep. 163-fSS). i
Notons qu'i1 résulte immédiatement du théorème de représenta-
tion de M. STONE
(fS34J pour les algèbres de Boole que si l,on
utilise les éIéments d'une algèbre de Boore (de cardinal ).2) e, v,
^ ' ' , --> (où a -+ b est défini par a, V b) comme
valeurs de
,,érité, en interorétant :
-e ttvrai" par le maximum
de B, V, Â , / , J
-a disjonction par V
-a conjonction par A
-a négation par / (comp1ément booléien)
-'implication par ---) ,
n retrouve exactement les tautologies classiques.
jette remarque sera utilj.sée plus 1oin.
Nous aI1ons montrer que la présentatlon et 1,étude É1émentaires
:u calcul propositionnel intuitionniste peuvent être réa1isécs de
-anière très simple en utilisant 1es ouverts de la droite réerre [avec
-a topologie usuelleJ comme
valeurs de vérité en adr:aettant lrouvert
-rpropre /R .orre vaLeur désignée Ivaleur ,,vraie,,).
-ette présentation résulte essentiellement de travaux de A. TARSKT
'Jer Aussagenkalkûl und die Topologie,,, Fund. Math. 3l (fS:e),
:r. 103-134 et de J. MCKTNSEY
- A. TARSKT ,'on closed Erements in
,-osure Algebras,,, Annals of Math. 42 (1g46), pp. LZZir62.
-re introduction (très détaillée) a ra logique intuitionniste peut
=:re trouvée dans 1e récent ouvrage de M. ouMrïrETT
,,Elements of
-rtuitionism', 0xford Univ. press (tSlZ).
I
ï
*
I

L2.-
II. Notatlons - Terminologie.
Désignons par 6 lfEnsemble des ouverts de la droite réerIe.
PourAc R, posons ! -A = [R.
\ R,
int A = intérieur de A.
Aa = int - A.
Nous dirons que A (€ G) est un ouvert régulier ssi Arl = A.
Lrensembre Rég dss ouverts réguriers peut être érigé en argèbre de
Boole (complète)
Rég,V,A,,,
A v B
= (nu B)ar
A A B
= AN B
Ar = A1I
A*B=(nruBJrr
ce résultat est essentierlement une conséquence
des propriétés :
Si, A, B eE , alors :
(i) n c Aal
(ii) nr= Ai-aL
(iii) Ac B + A"c Bt'
(i") (R
n s)rl = drn etr
(voir, par exampre, p. HALMos
'Lectures on Boorean Algebras*,
Van
No*rend, 1963).
III. .
Ensemble des valeurs de vérité , E
I
A
q
ÀU 8 B
p^
A ANB
q
B
^)p
int(-A) A
P:+q
A int(-n u e) B
v*eur gÉ:1g!ég : fR

Notons que Ies tables de vérité de V et A sont naturelles
car la réunion et f intersection de deux ouverts sont encore des
ouverts. Comme
il n'est pas nécessairement vrai que si A et B sont
des ouverts, -A et - A U B sont encore des suysr.fs, la 'rcorrection"
int a été apportée à 1a si-tuation classique pour définir les tables
de vérité de et :?.
Nous appellerons "tautologie intuitionniste" toute formule dont Ia
valeur de vérité est ll{ , que}res que soient l_es valeurs de vérité
attribuées à ses variables propositionnelles.
Exemples :
iil (pnq) -à p est une tautologie intuitionnlste car pour A, B €U
inr(-(nne) u A)
=lR.
.ilJ N.e g =+ p !'est pgg une tautologie intuitionniste car.^/d p è p
a Ia valeur lR\/ollorsque p reçoit ta valeur tR\lo].
ij-i) On vérifie très facilement que
pV-o
(-p :> ,,q) .+ (q
Êe sont gg des tautologies intuitionnistes.
.rv) toute tautologie intuj-tionniste est une tautologle classique
à une traductlon triviale près, 1es tables de vérité intuitionnistes
:estreintes aux cas où les variables prennent leurs veleurs dans lP,,Rl
=:nt l.es tables de vérité classiques).
:V. La structure G,v , A, ' t -,2
.
Les tables de vérité intuitionnistes fournissent une motivation
-aÈuPelle nous permettant drériger C en structure E,v, A,/ ,--+ êR
:osant : AV B = AU B
An8=AnB
Ar = Al-
A B = int [-n ..,,
e).

14.
-
Ceci va nous pcrmettre de donner une démonstration simple du théorème
de Glivenko.
Théorème de GLIVENKO
si ? est une tautologle crassique, arors ,-- y est une tautologie
intuitionnlste.
Notons que ra réciproque, est vraie mais trivi-ale en vertu de ra
propriété (iv) page 13.
V. Démonstratlon du théorème de Glivenko.
(a) en vertu des propriÉtés (iJ a (rv), page fz pour tout ouvert A,
Ara est un ouvert régulier.
Soit rl lrapplication de 6 dans Bég. définle par
A l-------------> Aa!
rl est ais6 de vérifier (en utili.sant res propriétés (iJ à (iv), page 12)
gue LL est un morphisme
de G , v, A,' , - dans Rég,
V,t\, r, è.
(U) Soit ?(pro.. .) p6 ) une formule du calcul proposj-tionnel
intultionniste. si A1
, . . ., An sont dans 6 , nous notons f,6(A1,--
'..rAn) Ia vareur topologj-que de y pour ra valuation topologique qui
donne à pg ra vateur Agr ynç (A*t , o*t ) l'ouvert
régulier, valeur booléienne de T pour ra valuation booléienne qui
donne à p, la valeur Ai-a .
En vertu de (a), on a :
(ç6n,..,A,,))tt = y*rs(oii.. ,ortt i
11 en résulte que si ,f est une tautologie classique, alors
(-u fln(ao, . , An) = /R pour tout A4, , -. ,Arr
€ E et, par conséorrTa
, uuv est une tautorogie intuitionniste.
C.
Q.
f. d.

On montre aisément en utilisant le théorème de Glivenko et
des consi-dérations topologiques érÉmentaires que si f o I est
une tautologie classique, alors
.u.uf :7 *-Y
est une tautoJ_ogie intuitionniste.
VI. Indépendance des connecteurs V , /\
positionnelle intuitionniste.
.4 , -/ en logique pro_
I1 est bien connu que chacun des connecteurs V, A r,v, =, cle
ra logique intuitionniste est indépendant.des trois autres.
Nous allons étabrir, à titre d'illustration, 1,indépendance de v
par rapport à Arurè en utilisant une méthode topologique.
Posons A =
Trivialement, I û, A, B, tR] est stable pour l,intersection. cette
partie est stable pour ,(=int-.) car d' = lR, A' - B, B, = A et
rR' = fl,
B;
U (z=,22+r)
z€z
LJ (zz
+ L, 2z
.+
z).
ze
Z
La table suivante donne les valeurs de
dans { A, A, B, A d B, IRJ
pour les arguments