t .

]t .P R E S E N T A T I O NT O P O L O G T S U D
E U C A L C U L P R O P O S I T I T } J N E LI N T U I T I T N N I S T E .
J.
I,
DRABBE.
fntroduction.
La présentation
classique
lrobJet
par
de généralisatlons
supérieur
Ïheory
élémantalre
lrintermédiaire
à 2 (voirr
usuelle
des tables
permettant
pâr
propositronnel
a fait
très
un nombre de valeurs
exemple, E. P0ST "Introduction
propositions",
of Elementary
rJu ca1cul
de vérité
Amer. Journal
tôt
de vérité
to
of ilath.
a General
(rga1),
æ
ep. 163-fSS).
i
Notons qu'i1 résulte
immédiatement du théorème de représentade M. STONE(fS34J pour les algèbres de
Boole que si l,on
utilise
les éIéments d'une algèbre de Boore (de cardinal
e, v,
).2)
^ ' ' , -->
(où a -+ b est défini
par a, V b) comme valeurs de
,,érité, en interorétant
:
-e ttvrai" par le maximum de B,
V, Â , / , J
-a disjonction
par V
tion
-a conjonction
-a négation
par A
par
-'implication
n retrouve
jette
/
(comp1ément booléien)
---)
par
exactement
,
les
Nous aI1ons montrer
:u calcul
-anière
propositionnel
très
-a topologie
-rpropre
-ette
'Jer
tautologies
remarque sera utilj.sée
simple
/R .orre
présentatlon
intuitionniste
désignée
résulte
et
1,étude
peuvent être
1es ouverts
comme valeurs
vaLeur
Aussagenkalkûl
classiques.
1oin.
que la
en utilisant
usuelleJ
présentation
plus
de la
É1émentaires
réa1isécs
droite
de
réerre
[avec
de vérité
Ivaleur
essentiellement
en adr:aettant lrouvert
,,vraie,,).
de travaux
de A. TARSKT
und die Topologie,,,
Fund. Math. 3l (fS:e),
:r. 103-134 et de J. MCKTNSEY
- A. TARSKT ,'on closed
Erements in
,-osure Algebras,,, Annals of
Math. 42 (1g46), pp. LZZir62.
-re introduction
=:re
trouvée
-rtuitionism',
I
ï
*
I
(très
détaillée)
dans 1e récent
0xford
Univ.
a ra logique
ouvrage
press
intuitionniste
d e M . o u M r ï r E T T, , E l e m e n t s o f
(tSlZ).
peut
L2.-
II.
Notatlons
- Terminologie.
Désignons par
PourAc
posons !
R,
lfEnsemble
des ouverts
-A
=
[R. \
int
A = intérieur
6
= int
Aa
Nous dirons
Lrensembre
Boole
que A (€ G)
est
Rég dss ouverts
-
un ouvert
réguriers
de la
droite
réerIe.
R,
de A.
A.
régulier
peut
être
ssi
érigé
Arl
= A.
en argèbre
de
(complète)
Rég,V,A,,,
A v B = (nu B)ar
A A B = AN B
Ar
=
A1I
A*B=(nruBJrr
ce résultat
est essentierlement
Si, A, B eE
(i) n c Aal
(ii) nr= Ai-aL
(iii)
(i")
(voir,
une conséquence des propriétés
:
, alors :
Ac
B +
A"c
Bt'
(R n s)rl = drn etr
par exampre, p. HALMos'Lectures
Van No*rend,
on Boorean Algebras*,
1963).
III.
.
Ensemble des valeurs de vérité
v*eur
gÉ:1g!ég :
ÀU
8
q
p^
B
A
^)p
int(-A)
E
fR
I
A
,
q
ANB
B
P:+q
A
A
int(-n
u e)
B
Notons que Ies
car la
réunion
ouverts.
f
C o m m ei l
des ouverts,
int
et
-A et -
de
A U B sont
et
"tautologie
est
iil
(pnq)
-à
N.e
classique
la
des
A et B sont
'rcorrection"
pour définir
intuitionniste"
les
tables
toute
que soient
formule
l_es valeurs
dont Ia
de vérité
propositionnelles.
p est une tautologie
g =+ p !'est
a Ia valeur
ij-i)
que si
:
inr(-(nne)
.ilJ
sont encore
encore des suysr.fs,
, que}res
ll{
à ses variables
Exemples
vrai
naturelles
sont
A
:?.
valeur
de vérité
de V et
de deux ouverts
à 1a si-tuation
Nous appellerons
attribuées
de vérité
pas nécessairement
n'est
a été apportée
de vérité
tables
intersection
pgg une tautologie
p reçoit
lR\/ollorsque
On vérifie
très
intuitionnlste
car pour A, B €U
u A) =lR.
facilement
intuitionniste
car.^/d p
è
tR\lo].
ta valeur
que
pV-o
(-p
Êe sont gg
.rv)
toute
des tautologies
tautologie
à une traductlon
:estreintes
=:nt
.+
,,q)
:>
intuj-tionniste
près,
triviale
aux cas où les
l.es tables
:V. La structure
(q
intuitionnistes.
de vérité
G,v
est
une tautologle
1es tables
variables
de vérité
prennent
leurs
classique
intuitionnistes
veleurs
dans
lP,,Rl
classiques).
, A,
'
t -,2 .
Les tables de vérité
intuitionnistes
fournissent
une motivation
-aÈuPelle nous permettant
drériger
E,v, A,/ ,--+ êR
C en structure
:osant :
AV B = AU B
An8=AnB
Ar
= Al-
A
B = int
[ - n . . , ,e ) .
p
1 4 .-
Ceci
va nous pcrmettre
de donner
une démonstration
simple
du théorème
de Glivenko.
Théorème
de GLIVENKO
si
est une tautologle
?
intuitionnlste.
Notons
que ra
propriété
V.
réciproque,
(iv)
en vertu
Ara
est
Soit
du théorème
lrapplication
est ais6
LL
gue
En vertu
de
a (rv),
valeur
la
et,
C. Q.f. d.
de ra
page fz
pour tout
ouvert
A,
A1 ,
. . .,
res propriétés
G , v, A,'
, -
An sont dans 6
ynç
booléienne
Ai-a
de
T
(A*t
pour
(iJ
à (iv),
page 12)
dans Rég, V,t\, r, è.
proposj-tionnel
, nous notons
pour ra valuation
de y
Agr
par
Aa!
f,6(A1,-qui
topologique
, o*t
ra valuation
) l'ouvert
booléienne
qui
.
on a :
(ç6n,..,A,,))tt
€ E
une tautologie
en vertu
p6 ) une formule du calcul
topologj-que
valeur
de (a),
11 en résulte
est
dans Bég. définle
6
(en utili.sant
.)
donne à pg ra vateur
donne à p,
mais trivi-ale
l------------->
de vérifier
vareur
régulier,
y
de Glivenko.
e s t u n m o r p h i s m ed e
(U) Soit
?(pro..
intultionniste.
si
'..rAn) Ia
,--
régulier.
A
rl
vraie
(iJ
des propriÉtés
un ouvert
rl
est
arors
page 13.
Démonstratlon
(a)
crassique,
que si
(-u
,f
=
est une tautologie
.
fln(ao,
p a r c o n s é o r r T a, u u v
, An) = /R
y*rs(oii..
classique,
,ortt
alors
p o u r t o u t A 4 ,, - . , A r r
est une tautorogie intuitionniste.
i
On montre aisément
des consi-dérations
une tautologie
en
classique,
est
une tautoJ_ogie
VI.
Indépendance
I1
est
que si
f
o
et
est
I
intuitionniste.
V , /\
.4
, -/
en logique
pro_
intuitionniste.
bien
connu que chacun des connecteurs
intuitionniste
Nous allons
étabrir,
par rapport
à
Posons
théorème de Glivenko
*-Y
:7
des connecteurs
positionnelle
le
érÉmentaires
alors
.u.uf
ra logique
utilisant
topologiques
à titre
Arurè
A =
est
d'illustration,
en utilisant
(z=,22+r)
LJ
( z z + L , 2 z. + z ) .
ze Z
trois
V, A r,v, =, cle
autres.
1,indépendance
de v
une méthode topologique.
U
z€z
B;
indépendant.des
Trivialement,
I û, A, B, tR] est stable pour l,intersection.
cette
partie est stable pour ,(=int-.)
car d' = lR, A' - B, B, = A et
rR' = fl,
La table
dans
suivante
donne les
A, B, A d B, IRJ
{ A,
valeurs
de
pour
les
arguments
i5. -
6
rR
A
B
,R
rRF
B
A
AfR
AU B
û
û
rR
fR
Ar,lB
/iR
fR
fR
rK
R
IR
AB
,R
R
AB
AUB
fR
rR
I d , o , B , t R ] e s t d o n c s t a b r e pour
Not ons que lr on a to u J o u rs :
--à
X-+
p v
q ne peut
que
VII.
A
donc être
N
r
-)
,
Les
équivalente
ssi
XC.y.
à une formule
ne faisant
lntervenir
(donneràplavaleurAetàqIavaleurEl.
définitions
SiL
données dans re paragraphe
naturellement
dfintrodulre
Ia
notion
est l - a c l a s s e
O"
réelIe
plus
(par
haut.
tautologie.
1es espaces
établi
cette
dans 1,'article
"propriété
des réels)
sans point
drun
ce qui
E,
topologiques,
des teutblogies
notamment pour
celle
métrisables
Variante
de E-
topoLogique
3 peuvent
être
permet
on a
:
est E- tautologie]
est
se retrouve
induite
espace
= I'ensemble
ce résultat
mentionné
à tout
de tous
y
I
t.f
VIII.
Y=lR
Bemarque
adaptées
bres
.
résultat
et
les
de K.
de McKinsey,
universelle"
rationnels
donc pour
isorés
intuitionnistes.
Tarski
topologie
munis de 1a topologie
tous
(tnéorème
de la
les
espaces
dénombra-
de sierpinski).
GOOEL.
11 est triviar
que si E est un espace toporoglque à r élémeht,
alors lrensembre des E-tautologies est rrensemble des tautologies
classlques.
Nous allons
simple
pour
Frécise
:
Si
E est
alors,
montrer
qu'on
1e calcul
un espace topologique
des E -
Irensemble
ne peut
propositionnel
espérer
une situation
qu'un
ne contenant
tautologies
nombre fini
distinct
est
aussl
de maniàre
intuitionniste;
d'ouverts,
de lrensemble
des
a
Démonstration
que E contienne
Supposons
(a)
ff
2
est
aisé
n ouverts.
exactement
que
de vérifier
\/
V
PieP,
1<;<)1fi+'r
estuneE-tautologie.
(U) Nous montrons
tautologie
que la
intuitionniste.
supposons fl = 5 ; la
Défnissons
les
rl
Ar= H
formule
d'éviter
généralisation
ouverts
(réeIs)
n
I
-1
A. =
U
n qJ
-r
1
t.a
,
'- [ - n
+ c=. . !
^'=tl
'
-t-r,111
(m--r= , 467)
"-/-
n;-
-1
u
Posons
{ =rR, B ?= AtUAz UA3 UA4,
33=AluApuA3,
84 = A1 ù Az,
85= A','
86 = É:
triviale.
:
=..r),
r u |
, 617-ç.)
V
€
et
compliquées,
(aïTT, G)
sJ
(a=;1
ài,.r
pas una
trop
1I
rl
(-*,-4;*=i"
-t
immédiate
par
à A
n'est
des notations
sera
( e n p o s a n l- ! = - & ,
A.^
'2 =- L--,1
en (a)
considérée
Afin
1
| ,(A-.;U,
Ur---,J
ne6-.i.ffi
u(ffi.a7,
I
4-;-1)
; ffit
rr-ç=)
1 8 .-
(')""n.Ti
;:",::ï"'li"l,ï.:',:'l;""1:
ll,l"i.i::"eî::'i:
;,
! -
u
Bi)
(aucun ouvert
J_
Noter
cependant
décidabre
haut).
(voir,
/
comprenant
que le
par
calcul
exemple,
o n'est
contenu
es,,us,
propositionnel
r'ouvrage
dans - 8.. r./ B
) j :) ,l
e
intuitionniste
de Dummett mentionné
est
plus