Logique Formelle Feuille d`exercices n°3 Mme Kempf Logique des

Logique Formelle Feuille d’exercices n°3
Mme Kempf Logique des Prédicats
Exercice 1
La formule P(U) ⊃ (∃X) P(X), où P est un prédicat, X et U sont des variables,
est-elle un théorème ?
Pourquoi ?
Exercice 2
Connaissant l’équivalence ├ (∃X) P(X) ≡  [ (∀X) P(X) ]
montrer que (∀X) P(X) ≡  [ (∃X) P(X) ] est un théorème.
Exercice 3
P et Q sont des prédicats, X est une variable. La sentence suivante est-elle valide :
[ ((∃X) P(X)) ⊃ ((∀X) Q(X)) ] ⊃ (∀X) ( P(X) ⊃ Q(X) ) ?
Exercice 4
Parmi les mots suivants :
(m1) : ( ((∀X) P(X)) ⊃ Q(X) ) ≡ ( (Q(Y) ⊃ R(Z)) ⊃ ( ((∀X) P(X)) ⊃ R(Z)) )
(m2) : ((∀X) P(X)) ⊃ ( ((∃X) P(X)) ⊃ Q(T)) où P, Q, R sont des prédicats ;
X, Y, Z, T sont des variables,
le(s) quel(s) est (sont) logiquement valide(s) ?
Exercice 5
Soit P un prédicat binaire. Montrer que si (∀X) (∀Y) P(X,Y) est un théorème, alors (∀Z) P(Z,Z) est un théorème.
Justifier chaque étape par le nom de l’axiome et/ou de la règle utilisé(s).
Exercice 6
L’expression ( ((∀X) (P(X) ⊃ R(X)) ∧ (∃Y)  R(Y)) ⊃ (∃Z) P(Z) ) où P et R sont des prédicats unaires est-elle une tautologie ?
Cours de Logique Formelle de Mme Kempf Feuille d’exercices n°3 1 / 1