Logique Formelle Feuille d’exercices n°3 Mme Kempf Logique des Prédicats Exercice 1 La formule P(U) ⊃ (∃X) P(X), où P est un prédicat, X et U sont des variables, est-elle un théorème ? Pourquoi ? Exercice 2 Connaissant l’équivalence montrer que ├ (∃X) P(X) ≡ [ (∀X) P(X) ] (∀X) P(X) ≡ [ (∃X) P(X) ] est un théorème. Exercice 3 P et Q sont des prédicats, X est une variable. La sentence suivante est-elle valide : [ ((∃X) P(X)) ⊃ ((∀X) Q(X)) ] ⊃ (∀X) ( P(X) ⊃ Q(X) ) ? Exercice 4 Parmi les mots suivants : (m1) : ( ((∀X) P(X)) ⊃ Q(X) ) ≡ ( (Q(Y) ⊃ R(Z)) ⊃ ( ((∀X) P(X)) ⊃ R(Z)) ) (m2) : ((∀X) P(X)) ⊃ ( ((∃X) P(X)) ⊃ Q(T))où P, Q, R sont des prédicats ; X, Y, Z, T sont des variables, le(s) quel(s) est (sont) logiquement valide(s) ? Exercice 5 Soit P un prédicat binaire. Montrer que si (∀X) (∀Y) P(X,Y) est un théorème, alors (∀Z) P(Z,Z) est un théorème. Justifier chaque étape par le nom de l’axiome et/ou de la règle utilisé(s). Exercice 6 L’expression ( ((∀X) (P(X) ⊃ R(X)) ∧ (∃Y) R(Y)) ⊃ (∃Z) P(Z) ) où P et R sont des prédicats unaires est-elle une tautologie ? Cours de Logique Formelle de Mme Kempf Feuille d’exercices n°3 1/1