Cours de logique – 5

Coursdelogique–5
Relationdeconséquencelogique
Définition:soitA1,…,AnetBdespropositionscomplexes,construitesàpartirde
propositionsélémentairesp1,…,pm,onditqueBestuneconséquencelogiquedeA1,…,An
ouqueA1,…,AnpermettentdedéduireB,etonécrit:{A1,…,An}|=Bsietseulementsidans
toutesituationattribuantdesvaleursdevéritéàp1,…,pmoùA1,…,Ansontvraies,Bl’est
aussi.
Exemple:ilestfaciledemontrerque:
{(a⇒(b⇒c)),(a∧b)}|=c
Onpeutfaireunetabledevéritépourcela:
abcb⇒c(a⇒(b⇒c))a∧b
111111
110001
101110
100110
011110
010010
001110
000110
oùonvoitévidemmentqu’àtoutesleslignes(enl’occurrenceuneseule!)oùlesdeux
formules(a⇒(b⇒c))et(a∧b)sontvraies,cl’estaussi.
Danslarelation«{A1,…,An}|=B»,A1,…,AnsontappeléeslesprémissesetBlaconclusion.
Ondoitfaireattentionaufaitquelesymbole«|=»quiaétéintroduitn’estpasun
connecteurducalculpropositionnel,c’estjusteunsymboleindiquantqu’ilexisteune
relationparticulièreentre{A1,…,An}etB.C’estunméta‐symbole,ousymboleduméta‐
langageparrapportauxsymbolesdesconnecteursusuels(⇒,∧,¬,∨,⇔,⊥,T),cesderniers
faisantpartiedulangage‐objet.D’unemanièregénérale,lelangage‐objetd’unethéorieestle
langagedanslequelelles’écrit,alorsquelemétalangageestlelangagedanslequelon
exprimesespropriétés.Ladifférenceentrelangage‐objetetmétalangageestfondamentale
danslessciences,ycomprisenlinguistique.Parexemple,lorsqu’onétudieunelangue,celle‐
cifigurecommelangage‐objet,maislestermesqu’onemploiepourdécrirelespropriétésde
cettelangueappartiennentàunmétalangage.
Nousavonsdéjàintroduitunméta‐symbole,ils’agissaitde«≡».
Onpeutexprimerdesrelationsintéressantesentreexpressionsdulangageetexpressionsdu
méta‐langage.Parexemple:

Théorème1:si«A⇔B»estunetautologie,alorsona:A≡B(etréciproquement).
Démonstration:direque«A⇔B»estunetautologie,c’estdireque,danstoutesles
situationspossibles,AetBontlamêmevaleurdevérité,c’estdoncdirequeAetBontla
mêmetabledevérité,autrementditqueA≡B.
Parexemple,onapudémontrerenexercicesque:
(a⇒(b⇒c))⇔((a∧b)⇒c)estunetautologie.Onendéduit:
(a⇒(b⇒c))≡((a∧b)⇒c)
Théorème2:si«A⇒B»estunetautologie,alors{A}|=B(etréciproquement).
Démonstration:direque«A⇒B»estunetautologie,c’estdirequ’iln’estjamaislecasque
AsoitvraietBfaux,doncdanstoutesituationoùAestvrai,Bl’estaussi,cequis’exprime
justementparlarelation{A}|=B.
Théorème3:{A1,…,An}|=(A⇒B)sietseulementsi{A1,…,An,A}|=B.
Démonstration:1)sidanstouteslessituationsoùA1,…,Ansontvraies,A⇒Bl’est
également,alors,danstoutescessituations,sideplusAestvraie,Bl’estaussi,doncdans
touteslessituationsoùA1,…,An,Asontvraies,Bl’est.2)Réciproquementsi,danstoutesles
situationsoùA1,…,An,Asontvraies,Bl’estaussi,alorsdanstouteslessituationsoùA1,…,An
sontvraies,A⇒Bl’estaussi.
Ainsi,fairelapreuveque«A⇒B»estvraiàpartirdeprémissesdonnéesrevientà
introduireAdansl’ensembledecesprémissesetàprouverensuitequeBestvrai.Onditen
cecasquel’onposeAcommehypothèse.
Règlesd’inférence
Définition:unerègled’inférenceestunerelationdeconséquencelogiqueparticulière.
Lesplus«célèbres»isont:
a. Modusponens:{A,A⇒B}|=B
b. Modustollens:{A⇒B,¬B}|=¬A
c. Syllogisme:{A⇒B,B⇒C}|=A⇒C
d. Réductionàl’absurde:{A⇒⊥}|=¬A
e. RègledeClaviusii:{A⇒¬A}|=¬A
f. RègledeDunsScotiii:{A}|=(¬A⇒B)
g. Doublenégation:{¬¬A}|=A
Onpeutavoiraussidesrèglesd’inférencesansprémisses!c’est‐à‐dire…destautologies
particulières,comme:

h. Tiersexclu:|=(A∨¬A)
i. Noncontradiction:|=¬(A∧¬A)
Noterquelarègle(f)signifiequesiunepropositionAestvraie,alorsonpeutdéduire
n’importequoidesanégation(Besttotalementarbitraire).Elleestenfaitéquivalenteà:
{(A∧¬A)}|=B,ouà⊥|=B,cequisignifiequ’àpartirdufaux,onpeutdéduiren’importe
quoi,cequelesmédiévauxexprimaientparlaformulelatineadimpossibiliesequitur
quodlibet(del’impossibilitéilsuitn’importequoi).
Exercice:montrerqu’onaaussilesrèglessuivantes:
j. {(A⇒B),(C⇒B),(A∨C)}|=B
k. {A}|=A∨B
l. {(A∧B)}|=A
m. {(A⇒B)}|=(¬B⇒¬A)
n. {(A∨B),¬B}|=A
o. {(AwB),B}|=¬A(où«w»désignele«ou»exclusif)
p. {(A⇒B)}|=((A∧C)⇒(B∧C))
DanslesRéfutationssophistiques,Aristotemetengardecontredefaussesrègles
d’inférence,cequel’onappelledessophismes.Ainsi,unsophismecélèbre(etsouvent
pratiquédanslediscourscourant)estlesophismedit«del’affirmationduconséquent».Il
consisteàcroireque{A⇒B,B}|=A.Cequiestévidemmentfaux(parexemple,àsupposer
quetouteslesIrlandaisessoientrousses,sijevoisunefillerousse,jenepeuxpasdéduire
quec’estuneIrlandaise!).
Apartirdecettenotionderègled’inférence,onpeutconcevoirengénéralcequ’estun
raisonnement.
Définition:étantdonnéesdesprémisses,A1,…,An,unraisonnementconduisantàune
conclusionBestunesuitedepropositionsC1,…,CmtellequeCm=Betquetouteslesautres
soient:oubiendesprémissesoubiendesconclusionsdel’applicationderèglesd’inférence
auxpropositionsprécédentes.
Exemple:unraisonnementpeutconduiredesprémissesp⇒(qwr)et(p∧q)àla
conclusion:¬r.Ilsuffitdeprendrelasuitedepropositions:
C1:p⇒(qwr)(prémisse)
C2:(p∧q) (prémisse)
C3:p  (règle{A∧B}|=AappliquéeàC2)
C4:(qwr) (modusponensappliquéàC1,C3)

C5:q  (règle{A∧B}|=BappliquéeàC2)
C6:¬r  (règle{AwB,A}|=¬BappliquéeàC4,C5)
Ceraisonnements’appliqueraitparexempleautextesuivant:
Sil’inflationaugmentesoitlacroissanceaugmente,soitlamonnaies’écroule.L’inflation
augmenteetlacroissanceaussi.Donclamonnaienes’écroulepas.
Compatibilitéetincohérence
Définition:unensembledepropositions{A1,…,An}estditformédepropositions
compatibles(ouestditcohérent)s’ilexisteaumoinsunesituationpossibleentermesde
valeursdevéritéassociéesauxpropositionsélémentairesquilescomposenttellequetoutes
soientvraies.
Untelensembleestditincohérentdanslecascontraire.
Théorème4:{A1,…,An}estincohérentsietseulementsi{A1,…,An}|=⊥.
Démonstration:noterquedireque{A1,…,An}|=⊥signifiequedanstoutesituationoùA1,
…,Ansontvraies,⊥estaussivrai!mais,pardéfinition,⊥n’estjamaisvrai!doncdireque
{A1,…,An}|=⊥signifiequ’iln’existeaucunesituationoùtouteslesformules,A1,…,Ansont
vraies.
Théorème5:si{A1,…,An}|=⊥,alors{A1,…,An‐1}|=¬An
Démonstration:noussavonsqu’encecas,{A1,…,An‐1}|=(An⇒⊥),etque(A⇒⊥)≡¬A.
iLaplupartdecesloisfigurentdansletraitédeGuillaumed’Occam(«laSummalogicae»),moinephilosophe
duXIIIèmesiècle
iiClaviusestlenomd’unastronomeduXVIèmesiècle(lenomdelaloiluiaétéévidemmentdonnéa
posteriori!)
iiiDunsScotestlenomd’unphilosopheimportantdelafinduXIIIèmesiècle.