Théorème1:si«A⇔B»estunetautologie,alorsona:A≡B(etréciproquement).
Démonstration:direque«A⇔B»estunetautologie,c’estdireque,danstoutesles
situationspossibles,AetBontlamêmevaleurdevérité,c’estdoncdirequeAetBontla
mêmetabledevérité,autrementditqueA≡B.
Parexemple,onapudémontrerenexercicesque:
(a⇒(b⇒c))⇔((a∧b)⇒c)estunetautologie.Onendéduit:
(a⇒(b⇒c))≡((a∧b)⇒c)
Théorème2:si«A⇒B»estunetautologie,alors{A}|=B(etréciproquement).
Démonstration:direque«A⇒B»estunetautologie,c’estdirequ’iln’estjamaislecasque
AsoitvraietBfaux,doncdanstoutesituationoùAestvrai,Bl’estaussi,cequis’exprime
justementparlarelation{A}|=B.
Théorème3:{A1,…,An}|=(A⇒B)sietseulementsi{A1,…,An,A}|=B.
Démonstration:1)sidanstouteslessituationsoùA1,…,Ansontvraies,A⇒Bl’est
également,alors,danstoutescessituations,sideplusAestvraie,Bl’estaussi,doncdans
touteslessituationsoùA1,…,An,Asontvraies,Bl’est.2)Réciproquementsi,danstoutesles
situationsoùA1,…,An,Asontvraies,Bl’estaussi,alorsdanstouteslessituationsoùA1,…,An
sontvraies,A⇒Bl’estaussi.
Ainsi,fairelapreuveque«A⇒B»estvraiàpartirdeprémissesdonnéesrevientà
introduireAdansl’ensembledecesprémissesetàprouverensuitequeBestvrai.Onditen
cecasquel’onposeAcommehypothèse.
Règlesd’inférence
Définition:unerègled’inférenceestunerelationdeconséquencelogiqueparticulière.
Lesplus«célèbres»isont:
a. Modusponens:{A,A⇒B}|=B
b. Modustollens:{A⇒B,¬B}|=¬A
c. Syllogisme:{A⇒B,B⇒C}|=A⇒C
d. Réductionàl’absurde:{A⇒⊥}|=¬A
e. RègledeClaviusii:{A⇒¬A}|=¬A
f. RègledeDunsScotiii:{A}|=(¬A⇒B)
g. Doublenégation:{¬¬A}|=A
Onpeutavoiraussidesrèglesd’inférencesansprémisses!c’est‐à‐dire…destautologies
particulières,comme: