Coursdelogique5
Relationdeconséquencelogique
Définition:soitA1,…,AnetBdespropositionscomplexes,construitesàpartirde
propositionsélémentairesp1,…,pm,onditqueBestuneconséquencelogiquedeA1,…,An
ouqueA1,…,AnpermettentdedéduireB,etonécrit:{A1,…,An}|=Bsietseulementsidans
toutesituationattribuantdesvaleursdevéritéàp1,…,pmA1,…,Ansontvraies,Bl’est
aussi.
Exemple:ilestfaciledemontrerque:
{(a(bc)),(ab)}|=c
Onpeutfaireunetabledevéritépourcela:
abcbc(a(bc))ab
111111
110001
101110
100110
011110
010010
001110
000110
onvoitévidemmentqu’àtoutesleslignes(enl’occurrenceuneseule!)lesdeux
formules(a(bc))et(ab)sontvraies,cl’estaussi.
Danslarelation«{A1,…,An}|=B»,A1,…,AnsontappeléeslesprémissesetBlaconclusion.
Ondoitfaireattentionaufaitquelesymbole«|=»quiaétéintroduitn’estpasun
connecteurducalculpropositionnel,c’estjusteunsymboleindiquantqu’ilexisteune
relationparticulièreentre{A1,…,An}etB.C’estunmétasymbole,ousymboleduméta
langageparrapportauxsymbolesdesconnecteursusuels(,,¬,,,,T),cesderniers
faisantpartiedulangageobjet.D’unemanièregénérale,lelangageobjetd’unethéorieestle
langagedanslequelelles’écrit,alorsquelemétalangageestlelangagedanslequelon
exprimesespropriétés.Ladifférenceentrelangageobjetetmétalangageestfondamentale
danslessciences,ycomprisenlinguistique.Parexemple,lorsqu’onétudieunelangue,celle
cifigurecommelangageobjet,maislestermesqu’onemploiepourdécrirelespropriétésde
cettelangueappartiennentàunmétalangage.
Nousavonsdéjàintroduitunmétasymbole,ils’agissaitde«».
Onpeutexprimerdesrelationsintéressantesentreexpressionsdulangageetexpressionsdu
métalangage.Parexemple:
Théorème1:si«AB»estunetautologie,alorsona:AB(etréciproquement).
Démonstration:direque«AB»estunetautologie,c’estdireque,danstoutesles
situationspossibles,AetBontlamêmevaleurdevérité,c’estdoncdirequeAetBontla
mêmetabledevérité,autrementditqueAB.
Parexemple,onapudémontrerenexercicesque:
(a(bc))((ab)c)estunetautologie.Onendéduit:
(a(bc))((ab)c)
Théorème2:si«AB»estunetautologie,alors{A}|=B(etréciproquement).
Démonstration:direque«AB»estunetautologie,c’estdirequ’iln’estjamaislecasque
AsoitvraietBfaux,doncdanstoutesituationAestvrai,Bl’estaussi,cequis’exprime
justementparlarelation{A}|=B.
Théorème3:{A1,…,An}|=(AB)sietseulementsi{A1,…,An,A}|=B.
Démonstration:1)sidanstouteslessituationsA1,…,Ansontvraies,ABl’est
également,alors,danstoutescessituations,sideplusAestvraie,Bl’estaussi,doncdans
touteslessituationsA1,…,An,Asontvraies,Bl’est.2)Réciproquementsi,danstoutesles
situationsA1,…,An,Asontvraies,Bl’estaussi,alorsdanstouteslessituationsA1,…,An
sontvraies,ABl’estaussi.
Ainsi,fairelapreuveque«AB»estvraiàpartirdeprémissesdonnéesrevientà
introduireAdansl’ensembledecesprémissesetàprouverensuitequeBestvrai.Onditen
cecasquel’onposeAcommehypothèse.
Règlesd’inférence
Définition:unerègled’inférenceestunerelationdeconséquencelogiqueparticulière.
Lesplus«célèbres»isont:
a. Modusponens:{A,AB}|=B
b. Modustollens:{AB,¬B}|=¬A
c. Syllogisme:{AB,BC}|=AC
d. Réductionàl’absurde:{A}|=¬A
e. RègledeClaviusii:{A¬A}|=¬A
f. RègledeDunsScotiii:{A}|=(¬AB)
g. Doublenégation:{¬¬A}|=A
Onpeutavoiraussidesrèglesd’inférencesansprémisses!c’estàdire…destautologies
particulières,comme:
h. Tiersexclu:|=(A¬A)
i. Noncontradiction:|=¬(A∧¬A)
Noterquelarègle(f)signifiequesiunepropositionAestvraie,alorsonpeutdéduire
n’importequoidesanégation(Besttotalementarbitraire).Elleestenfaitéquivalenteà:
{(A∧¬A)}|=B,ouà|=B,cequisignifiequ’àpartirdufaux,onpeutdéduiren’importe
quoi,cequelesmédiévauxexprimaientparlaformulelatineadimpossibiliesequitur
quodlibet(del’impossibilitéilsuitn’importequoi).
Exercice:montrerqu’onaaussilesrèglessuivantes:
j. {(AB),(CB),(AC)}|=B
k. {A}|=AB
l. {(AB)}|=A
m. {(AB)}|=(¬B¬A)
n. {(AB),¬B}|=A
o. {(AwB),B}|=¬A(où«w»désignele«ou»exclusif)
p. {(AB)}|=((AC)(BC))
DanslesRéfutationssophistiques,Aristotemetengardecontredefaussesrègles
d’inférence,cequel’onappelledessophismes.Ainsi,unsophismecélèbre(etsouvent
pratiquédanslediscourscourant)estlesophismedit«del’affirmationduconséquent».Il
consisteàcroireque{AB,B}|=A.Cequiestévidemmentfaux(parexemple,àsupposer
quetouteslesIrlandaisessoientrousses,sijevoisunefillerousse,jenepeuxpasdéduire
quec’estuneIrlandaise!).
Apartirdecettenotionderègled’inférence,onpeutconcevoirengénéralcequ’estun
raisonnement.
Définition:étantdonnéesdesprémisses,A1,…,An,unraisonnementconduisantàune
conclusionBestunesuitedepropositionsC1,…,CmtellequeCm=Betquetouteslesautres
soient:oubiendesprémissesoubiendesconclusionsdel’applicationderèglesd’inférence
auxpropositionsprécédentes.
Exemple:unraisonnementpeutconduiredesprémissesp(qwr)et(pq)àla
conclusion:¬r.Ilsuffitdeprendrelasuitedepropositions:
C1:p(qwr)(prémisse)
C2:(pq) (prémisse)
C3:p  (règle{AB}|=AappliquéeàC2)
C4:(qwr) (modusponensappliquéàC1,C3)
C5:q  (règle{AB}|=BappliquéeàC2)
C6:¬r  (règle{AwB,A}|=¬BappliquéeàC4,C5)
Ceraisonnements’appliqueraitparexempleautextesuivant:
Sil’inflationaugmentesoitlacroissanceaugmente,soitlamonnaies’écroule.L’inflation
augmenteetlacroissanceaussi.Donclamonnaienes’écroulepas.
Compatibilitéetincohérence
Définition:unensembledepropositions{A1,…,An}estditformédepropositions
compatibles(ouestditcohérent)s’ilexisteaumoinsunesituationpossibleentermesde
valeursdevériassociéesauxpropositionsélémentairesquilescomposenttellequetoutes
soientvraies.
Untelensembleestditincohérentdanslecascontraire.
Théorème4:{A1,…,An}estincohérentsietseulementsi{A1,…,An}|=.
Démonstration:noterquedireque{A1,…,An}|=signifiequedanstoutesituationA1,
…,Ansontvraies,estaussivrai!mais,pardéfinition,n’estjamaisvrai!doncdireque
{A1,…,An}|=signifiequ’iln’existeaucunesituationtouteslesformules,A1,…,Ansont
vraies.
Théorème5:si{A1,…,An}|=,alors{A1,…,An1}|=¬An
Démonstration:noussavonsqu’encecas,{A1,…,An1}|=(An),etque(A)≡¬A.

iLaplupartdecesloisfigurentdansletraitédeGuillaumed’OccamlaSummalogicae»),moinephilosophe
duXIIIèmesiècle
iiClaviusestlenomd’unastronomeduXVIèmesiècle(lenomdelaloiluiaétéévidemmentdonnéa
posteriori!)
iiiDunsScotestlenomd’unphilosopheimportantdelafinduXIIIèmesiècle.
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