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UFR-Sciences de Luminy L1 PC et IM & PEEI 2011–2012
Centre d’Oc´ eanologie de Marseille UEL SME 2011–2012
D´ epartement de Physique Enseignement PHY1
Dynamique des syst` emes – T.D. I
Rappels math´ ematiques
I.1 Deriv´ees. Les scalaires ωet τ´etant des constantes et tle temps, calculer :
1) les d´eriv´ees par rapport au temps de cos(ωt),sin(ωt),cos(τt2) et cos2(ωt),
2) les d´eriv´ees par rapport au temps de cos(ωt) sin(ωt) et cos(τt2) cos2(ωt).
I.2 Int´egrales. Le scalaire ω´etant une constante et tle temps, calculer :
1) les primitives par rapport au temps de cos(ωt),sin(ωt) et cos(ωt) sin(ωt),
2) les primitives par rapport au temps de eωt et tnavec n6=−1.
Calculer les int´egrales : Z1
0
dx
√x,Z2
0
dx
x+ 1.
I.3 Trigonom´etrie.
A partir des formules fondamentales suivantes : cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b),
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) et cos2(a) + sin2(a) = 1, montrer que :
1) cos(2x) = 2 cos2(x)−1,
2) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
I.4 Triangles et produit scalaire.
On consid`ere les trois vecteurs −→ OA =~ex+~ey+~ez,−−→ OB =−~ey+~ezet −−→ OC =−~ex+~ey−~ez
o`u Od´esigne une origine de l’espace euclidien tridimensionnel et (~ex, ~ey, ~ez) une base
orthonorm´ee directe de R3.
1) Calculer les produits scalaires ~a ·~ b,~ b·~c et ~c ·~a ainsi que les normes a,bet cdes cˆot´es
~a =−−→ BC,~ b=−→ CA et ~c =−−→ AB du triangle ABC.
2) Quels sont les angles aux sommets ˆ A,ˆ Bet ˆ Cde notre triangle ?
I.5 Produit vectoriel.
Calculer les produits vectoriels ~a ×~ b,~ b×~c et ~c ×~a o`u ~a,~ bet ~c sont les vecteurs de
l’exercice (I.4).
I.6 Triangles et produit vectoriel.
1) Justifier que S(A, B, C) = 1
2||−−→
AB ×−→ AC || donne la surface d’un triangle ABC.
2) Calculer la surface du triangle ABC de l’exercice (I.4).
I.7 Double produit vectoriel.
Etablir la formule importante : ~a ×(~ b×~c ) = ~ b(~a ·~c )−~c (~a ·~ b).
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D´ epartement de Physique Enseignement PHY1
Dynamique des syst` emes – T.D. II
Cin´ ematique galil´ eenne
II.1 Record du monde.
Un sprinter court le 100 m en 9,58 s. Trouver sa vitesse moyenne en km ·h−1et . . . son
nom.
II.2 Vitesse moyenne.
1) Un avion relie les villes Aet B`a vitesse v1pendant la moiti´e de la dur´ee totale du
voyage et `a vitesse v2pendant l’autre moiti´e du voyage. Quelle est sa vitesse moyenne ?
2) Un avion relie les villes Aet B`a vitesse v1sur la moiti´e de la distance totale du voyage
et `a vitesse v2sur l’autre moiti´e du voyage. Quelle est sa vitesse moyenne ?
II.3 Base polaire.
Le vecteur ~er= cos θ ~ex+ sin θ ~eyest d´efini pour chaque angle θ. D´eterminer sa d´eriv´ee
~eθ=d~er/dθ et v´erifier que (~er, ~eθ) est une base orthonorm´ee (directe) du plan euclidien.
II.4 Vitesse et acc´el´eration en coordonn´ees polaires.
On munit le plan d’un rep`ere cart´esien orthonorm´e {O, (~ex, ~ey)}fixe. Les coordonn´ees
polaires (r, θ) sont reli´ees aux coordonn´ees cart´esiennes (x, y) par
x=rcos θ
y=rsin θ
et la position de tout point Mdu plan est donn´ee par le vecteur ~r =−−→ OM.
1) Ecrire l’expression du vecteur ~r dans le rep`ere cart´esien et calculer sa norme.
2) Posant r=||~r ||, on d´efinit, pour chaque angle θ, le vecteur
~er=~r
r= cos θ ~ex+ sin θ ~ey.
V´erifier que ~erest un vecteur unitaire.
3) En d´eduire que le vecteur ~eθ=d~er/dθ est unitaire et orthogonal `a ~er. Montrer que la
base polaire (~er, ~eθ) est directe.
4) On suppose que le point Md´ecrit une trajectoire t7→ M(t) dans le plan, ses coordonn´ees
cart´esiennes – comme ses coordonn´ees polaires (r, θ) – d´ependant diff´erentiablement du
temps t. Exprimer la vitesse ~v =˙ ~r et l’acc´el´eration ~a =˙ ~v de ce point dans la base polaire.
R´eponse :
~v = ˙r ~er+r˙
θ ~eθ
~a = (¨r−r˙ θ2)~er+ (r¨ θ+ 2 ˙r˙ θ)~eθ.
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5) Applications :
i) Le mouvement de la terre ⊕autour du soleil ´etant bien approxim´e par un mouvement
circulaire uniforme, donner la valeur num´erique de sa vitesse v⊕orbitale sachant que la
distance moyenne terre-soleil est l’Unit´e Astronomique 1: 1 UA ∼
=1,496 1011 m.
ii) On se donne la trajectoire suivante, param´etr´ee en coordonn´ees polaires par
r(t) = v0t+r0, θ(t) = ωt +θ0, v0ω > 0.
Calculer l’expression de la vitesse, ~v, et de l’acc´el´eration, ~a, d’un point se d´epla¸cant sur
cette spirale d’Archim`ede.
II.5 D´etermination de trajectoire.
1) Une particule est anim´ee d’un mouvement d’acc´el´eration
~a(t) = a(ωt ~ex+ cos ωt ~ey+e−ωt ~ez).
Pr´eciser les dimensions physiques de aet ω.
2) Si au temps t= 0 la particule est situ´ee en ~r0=~ 0 et sa vitesse est ~v0=a
ω(−2~ex+~ey+2~ez),
trouver la vitesse ~v(t) et la position ~r(t) de la particule `a chaque instant. (V´erifier, `a chaque
´etape, que les dimensions physiques sont correctes.)
II.6 Effet Doppler classique. On admet que la propagation d’un son pur s’effectue par
“phonons” ´emis `a intervalles de temps r´eguliers (la p´eriode du ph´enom`ene sonore) `a la
vitesse |c|∼
=340 m/s par rapport `a l’air, et ce, ind´ependamment de la vitesse de la source.
1) Un camion de pompiers (Source) actionne, `a l’arrˆet, sa sir`ene de fr´equence νS= 1/TS.
Votre voiture (R´ecepteur) le croise `a vitesse vRconstante. Tracer les lignes d’univers de
votre voiture, du camion de pompiers et de deux “phonons” successifs. Donner la p´eriode
TRdu signal sonore que vous percevez en fonction de TSet vR/c. Commentaires ?
2) Mˆeme exercice dans le cas o`u vous ˆetes `a l’arrˆet et le camion de pompiers anim´e d’une
vitesse vSpar rapport `a l’air.
3) Vous percevez (vR= 0) le son d’une sir`ene de pompier avec un d´ecalage d’un ton vers
les graves. Le camion se rapproche-t-il ou s’´eloigne-t-il ? Quelle est sa vitesse vS?
4) Si la source ´emet le La3(νS= 440 Hz), quelles sont les fr´equences νRde r´eception dans
le cas d’une vitesse relative v= 100 km/h. Discuter les diff´erents cas de figure.
5) Trouver enfin la formule g´en´erale de l’effet Doppler dans le cas : vS6= 0 et vR6= 0.
II.7 H´elice circulaire.
On consid`ere la courbe suivante dans l’espace euclidien ordinaire
x(t) = rcos(ωt)
y(t) = rsin(ωt)
z(t) = hω
2πt
o`u r > 0, het ωsont des constantes.
1) Calculer la vitesse ~v(t) et l’acc´el´eration ~a(t). Exprimer les constantes pr´ec´edentes en
fonction des conditions initiales ~r0, ~v0. Montrer que ~a(t) = ~ b×~v(t) o`u ~ best un vecteur
constant `a d´eterminer en fonction de ω.
2) Donner l’expression de l’abscisse curviligne s(t) telle que s(0) = 0 et ˙s(t)>0.
3) Trouver la tangente unitaire ~ Ten tout point.
1. 1 UA = 1,4959787066(2) 1011 m.
3

4) D´eterminer la courbure ρet la normale unitaire ~ Nen fonction de t.
5) On d´efinit la binormale ~ B=~ T×~ N. Montrer que (~ T , ~ N, ~ B) forme une base mobile
orthonorm´ee directe.
6) On d´efinit en toute g´en´eralit´e la torsion τ=−~ N·d~ B/ds. Calculer la torsion en tout
point de cette h´elice circulaire. A quelle condition a-t-on une h´elice sans torsion ?
7) A.N.Calculer courbure et torsion d’un brin d’ADN (r= 1 nm, et h= 3.4 nm).
II.8 Cyclo¨ıde.
Une roue de rayon rroule sans glisser sur le sol avec une vitesse angulaire ωconstante.
1) D´eterminer la trajectoire t7→ M(t) d’un point de la p´eriph´erie de la roue (un gravillon
encastr´e dans un pneu de bicyclette). Tracer cette courbe appel´ee cyclo¨ıde.
2) Donner la vitesse ~v(t) et l’acc´el´eration ~a(t) de ce point au cours du temps t. Quelle
distance a parcouru ce point `a l’instant t?
3) Quelle serait la vitesse du gravillon s’il ´etait ´eject´e `a t= 0, π/(2ω), π/ω, 2π/ω ? La
cyclo¨ıde poss`ede-t-elle des points de rebroussement ?
4) Trouver le rayon de courbure R(t) de la trajectoire.
II.9 Courbure.
On consid`ere une courbe t7→ ~r de l’espace euclidien R3; son abscisse curviligne s(t) est
telle que v(t) = ˙s(t)>0 dans un certain intervalle de temps.
1) Prouver que ~v =v~ Tet ~a = ˙v~ T+ρ v2~ N.
2) En d´eduire la formule suivante de la courbure (ind´ependante du param´etrage) :
ρ=||~v ×~a ||
||~v ||3.
3) Calculer la courbure d’une h´elice circulaire (cf. exercice (II.7)). Mˆeme question pour
une spirale d’Archim`ede r=kθ, pour une chaˆınette y=kch(x/k) dans le plan z= 0.
II.10 Course poursuite.
Un cycliste roulant `a vitesse constante v > 0 sur une route en ligne droite observe, `a
un instant donn´e, une voiture distante de dqui d´emarre devant lui avec une acc´el´eration
constante a > 0.
1) Dans un r´ef´erentiel Rli´e `a la route pour lequel le choix de l’origine des temps et de
l’espace aura ´et´e pr´ecis´ee, ´ecrire l’´equation horaire du cycliste et de la voiture. Donner la
nature de chacun des mouvements.
2) Si aet vsont fix´ees, pour quelles valeurs de dle cycliste rattrapera-t-il la voiture ?
3) D´eterminer le temps tde la course poursuite en fonction de a, v, et d.
4) Tracer les “lignes d’univers” (t, x(t)) du cycliste et de la voiture. Discuter graphiquement
les divers sc´enarios de la course poursuite,
(i) dans le r´ef´erentiel Rli´e `a la route,
(ii) dans un r´ef´erentiel galil´een R∗li´e au cycliste.
5) A.N.Calculer les dates de croisement pour d= 10 m, a= 2 m/s2et v= 36 km/h.
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Dynamique des syst` emes – T.D. III
Dynamique
III.1 L’´equation du sprinter.
Lors d’une comp´etition sportive, la vitesse v(t) d’un coureur `a pied sur des distances
inf´erieures `a 200 m satisfait `a l’´equation suivante
dv
dt =A−B v(t)
o`u Aet Bsont des constantes positives donn´ees.
1) Quelles sont les dimensions physiques de Aet de B?
2) Trouver la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle pr´ec´edente.
3) Sachant que le signal du d´epart est donn´e au temps t= 0, trouver la vitesse v(t) du
sprinter `a chaque instant t≥0.
4) Montrer qu’il existe une vitesse limite v∞= limt→∞ v(t) que l’on exprimera en fonction
de Aet de B.
5) Trouver l’acc´el´eration a(t) au temps t. Exprimer Aen fonction de l’acc´el´eration initiale
a0=a(0).
6) D´eterminer la position x(t) du coureur au temps tsi x(0) = 0, en fonction de a0et v∞.
7) D´eduire de la question pr´ec´edente la dur´ee t1du sprint en fonction de la vitesse v1du
coureur sur la ligne d’arriv´ee, de la longueur x1de la piste, et des donn´ees a0et v∞.
III.2 Equations diff´erentielles et exemples de processus chimiques.
Dans une r´eaction chimique A→Bmole pour mole, la vitesse de disparition de A, et donc
la vitesse de formation de B, sont `a chaque instant proportionnelles `a la concentration de
Aqui vaut C0`a l’instant initial. Etablir et int´egrer les ´equations diff´erentielles auxquelles
satisfont les concentrations CA(t) et CB(t).
III.3 Mouvement d’un projectile.
Au voisinage de la surface terrestre, on admet que le champ de pesanteur ~g est uniforme
et que l’on peut n´egliger les autres forces, en particulier celle due au frottement de l’air.
1) Ecrire les ´equations du mouvement pour la vitesse ~v(t) et la position ~r(t) d’un projectile.
2) Donner le mouvement d´efini par les conditions initiales, ~r0=~r(0) et ~v0=~v(0).
3) On choisit un rep`ere cart´esien {O, (~ex, ~ey, ~ez)}tel que ~g =−g~ezavec g= const. >0. Le
projectile est lanc´e, `a la date t= 0, de l’origine ~r0=~ 0, avec la vitesse ~v0=v0(cos α ~ex+
sin α ~ez), o`u αest l’angle de tir. A partir de l’´equation du mouvement pour ~r(t), montrer
que la trajectoire est une parabole z=ax2+bx +c, les constantes a,bet cs’exprimant
en fonction de v0, tg αet g.
4) En terrain horizontal, la vitesse initiale v0´etant donn´ee, quelle(s) valeur(s) faut-il donner
`a l’angle de tir αpour atteindre une cible Cde coordonn´ees (xC,0, zC) ?
5) En d´eduire l’ensemble des points accessibles par le projectile pour une vitesse initiale v0
donn´ee (parabole de sˆuret´e).
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