Exercice

Exercice 1. Formule d'Euler zpour sin z. (voir par exemple Valiron t1, page 40, puis page 56) Montrer que pour
tout z 2 C exp z = lim n!1(1 + m )m, et montrer que cette limite est uniforme sur tout compact de C:
En dduire que pour tout z 2 C sin z = lim n!1 Q2n(x) o
Qn est un polynme impair de degr 2n ; 1 dont les
racines sont xk = n tg kn .
;1 1 ; x2 k ]
Montrer que pour tout z 2 C sin z = z: lim n!1 Qnk=1
4n2tg2
2n
;1 1 ; x2n2 2 ]
En dduire que pour tout z 2 C sin z = z: lim n!1 Qnk =1
Est-il-lgitime d'en dduire (ln sin z) 0 = cotg z = 1z ; 2z P 2n21; z2
Exercice 2. Polynmes de Bernoulli (voir Demailly ou Komornik t.1 ).
Montrer qu'il existe une unique suite de polynmes Bn tels que
B0(t) = 1
( ) Bn0 = nBn ;1
R01 Bn(t) dt = 0 si n > 1
Vrier que Bi est un polynme de degr i
On pose bi = Bi(0) Montrer que
Bp(x) = P0p mp bm xp ;m
Bp(1 ; x) = ( ; 1)pBp(x)
bi 2 Q
On considre la fonction 1 ; priodique B~p = Bp(x ; E (x)).
En utilisant la formule ( ), montrer que le n-ime coecient de Fourier de B~p est
cn( p) = ; (2ip! )p si p 0, et c0(p) = 0 si p > 1
En dduire que B2k(x) = ( ; 1)(2
1
k +12(2k)! + cos 2 nx
1 n2k ,
)2k
;
1
et discuter de la nature de la convergence
k + 1)! + sin 2 nx
B2k+1(x) = ( 1)(2k+1)22(2
1
k +1
n2k+1
Montrer que les nombres
+
1
1 n12k
2k
et
+
1
1 (n;21)k
2k
sont des nombres rationnels, et les expliciter.
Exercice 3. Application d'une formule de Taylor. Expliquer pourquoi :
En gnral, au voisinage d'un point d'inexion, une courbe traverse sa tangente
En gnral, une courbe traverse son cercle osculateur.
Soit f : U R2 ! R, de classe C 1. On suppose que f 0 (0 0)D en tout point de U , de sorte que f=0 est une courbe
lisse. On suppose que f (0 0) = 0, et on crit la formule de Taylor a l'ordre 2 : f (x y) = ax + by + ex2 + 2 fxy + g
y2 + o(x y)2. Exprimer une cns sur a b c d e f pour que (0 0) soit un point d'inexion
Exercice 4. Soit f : ] ; R R ! R une fonction de classe C 1. montrer que f est la somme d'une srie entire de
rayon de convergence > R si et seulement si pour tout 0 6 a < R il existe une constante C telle que pour tout entier
k > 0 on ait Sup jxj6a jf k](x)j 6 aCk 1(k;;( x1)!)k
a
Exercice 5. (livre de Demailly) Un lectron se promne dans un champs lctromagntique il subit donc une
force gale VC ^ BC + EC . Dcrire les trajectoires, quand EC et BC sont constants.
Exercice 6. Komornik 2 p.99. Soit an une suite de nombre rels. la fonction f (x) = Pfn/an<xg n12 est croissante
et discontinue exactement aux points an. L'ensemble des discontinuits d'une fonction croissante est dnombrable.
p. 102 Si A R est ngligeable, il existe une fonction croissante qui n'est drivable en aucun point de A.
Exercice 7. Portrait de phase d'une particule un degr de libert dans un champ Newtonien (Arnold MMMC)
D'aprs Newton, une particule dans un champs newtonien un degr de libert suit l'quation dtd22 x = ; u 0(x), o
est
une certaine fonction, appele le potentiel. A cette quation, on associe le plan des phases (x y) et l'quation direntielle
1
(*) dtd x = y dtd y = ; u 0(x).
a) Dessiner le champ de vecteur associ quand u(x) = x2/2
b)Dessiner le champ de vecteur associ l'quation ( ) quand u(x) = x3 ; x
c)Dessiner le champ de vecteur associ quand u est une fonction paire qui a deux niveaux minimums pour x = ;
1 et x = 1, un maximum local et un seul entre les deux en x = 0 et qui vaut x2 si jx j > 2.
d) On considre la fonction y2/2 + u(x) = H (x y). H est l'nergie totale, u l'nergie potentielle, et y2/2 l'nergie
cintique. Montrer que si x0 est un maximum local de l'energie potentielle, (x0 0) est un point d'quilibre instable
du champ de vecteur alors que si c'est un minimum local c'est un point d'quilibre stable.
Montrer que le long d'une trajectoire, H reste constant.
Soient (x1 y1) et (x2 y2) deux points d'une mme trajectoire atteints des instants t1 et t2: Montrer que si t2 est le
premier instant ou la trajectoire passe en x1 l'instant t1, et si h est le niveau d'energie de cette trajectoire, On a
t2 ; t1 = Rxx12 p2(hdx
; u(x))
Dans les cas a b, Discuter suivante les valeurs initiales, la priodicit de la solution de telle que x(0) = x0 y(0) =
y0:
p
Si u est paire, strictement croissante sur 0 b] et si si UR (b) = H (b 0) = h > 0, montrer que y = 2(h ; u(x) est
b
dx
l'quation d'une trajectoire priodique de priode T = 4 0 p2(h ; u(x))
b2 + o(b3))
Cas du pendule pesant u(x) = k(1 ; cos x). Montrer que T = 2k (1 + 16
Exercice 8. Normes d'applications linaires, developpements limits. Soit E un espace vectoriel norm de dimension nie. On munit L(E ) de la norme associe Si A B GL(E ), on pose A B ] = ABA; 1B ; 1.
Montrer que si kId ; A k < 1 alors A est inversible, et que (I ; A); 1 = I ; A + A2 + o(kA k2)
Montrer que il existe un " > 0 tel que kId ; A k < " et kId ; B k < " alors k Id ; ABA; 1B ; 1k < 12 kId ; B k
En dduire que si G Gl(E ) est un sous-groupe discret, alors le sous-groupe H engendr par B (Id ") \ G est nilpotent.
01 1 01 01 0 01
Dans Gl(3 R), montrer que le groupe engendr par @ 0 1 0 A et @ 0 1 1 A est conjugu un sous-groupe engendr
par deux matrices arbitrairement petites.
0 0 1
0 0 1
Exercice 9. Livre de Gelbaum-Olmsted "counter examples in Analysis" Trouver des exemples de sries numrqiues
doubles apq telles que les sommes suivantes existent et soient distinctes p(
q apq) q(
p(apq ) .
Exercice 10. Pour qu'une srie (un) soit absolument convergente, il faut et il sut que pour toute bijection de N,
la srie u '(n) soit convergente.
Si une srie de nombre relsP
est convergente, mais pas absolument convergente, pour tout nombre rel x il existe une
bijection de N telle que x = a '(n) cela est il encore vrai pour les sries de nombres complexes ?
Exercice 11. Transforme de Legendre (Arnold Equadi 2) Soit f : I R ! R une fonction strictement convexe
C 2 et soit J = f 0(I ) l'image par la drive f 0 de I . Si p 2 J , on pose g(p) = sup x( px ; f (x)):
Montrer que g: J ! R est strictement convexe.
Montrer que sur I J , on a f (x) + g( p) > px, et que si f 00 > 0 il y a galit ssi p = f 0(x)
La fonction g s'appelle transforme de Legendre de f . Montrer que f est la transforme de Legendre de g.
Calculer g si f (x) = x
dy x ; g( dy ), ou g est strictement convexe.
Considrons l'quation de Clairaut y = dx
dx
Montrer que l'enveloppe des solutions anes y = px ; g( p) p = cte est le graphe de f .
Peut on gnraliser Rn que vaut g si f est une norme strictement convexe ?
* Que penser d'un espace de Banach norme strictement convexe C 2?
2