Oral CCP 2015

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MP* - 15/16
Algèbre générale
1. (TPE MP)
a. Soit p un nombre premier. Déterminer les diviseurs de zéro dans Z/p2 Z.
b. Déterminer les entiers n tels que 2n2 + 13n + 20 soit divisible par 9.
Algèbre linéaire élémentaire

2. a.
3.
b.

0 −1 −1
0 −1. Déterminer
Soit P = −1
1
1
2
3
de R canoniquement associé à P .
Montrer qu'il existe
b.
B ∈ M2,3 (R)
et
telles que
P = AB .
Montrer que
BA = I2 .
f ∈ L(E) tel que f
̸= 0 et f = 0.
(
)
2
n−1
Montrer qu'il existe un vecteur a tel que B = a, f (a), f (a), . . . , f
(a) soit une base de E . Donner
la matrice de f dans cette base.
Soit
a.
A ∈ M3,2 (R)
la nature et les éléments caractéristiques de l'endomorphisme
E
Montrer qu'un endomorphisme
que
n;
un espace vectoriel de dimension
g = P (f ) ;
4. (CCP PSI)
g
de
n−1
soit
E commute avec f si et
g(a) dans la base B.
n
seulement s'il existe un polynôme
P
tel
on pourra décomposer
F
Soient
G
et
deux sous-espaces d'un espace vectoriel
condition nécessaire et susante pour qu'il existe
f ∈ L(E)
vériant
E de dimension nie. Donner
Ker f = F et Im f = G.
une
5. (TPE PSI) Soit E un espace vectoriel de dimension n, et f ∈ L(E). Soit Φ : L(E) −→ L(E), g 7−→ g ◦ f .
Déterminer le rang de
6.
Φ
en fonction de celui de
f.
L1 et L2 deux sous-espaces supplémentaires
∀(u, v) ∈ L1 × L2 u ◦ v + v ◦ u = 0.
Soient
a.
b.
c.
d.
p1 ∈ L1
Montrer qu'il existe deux projecteurs
dans
et
L(E),
p2 ∈ L2
où
E
est de dimension nie
tels que
Id = p1 + p2 .
n,
tels que
Montrer que
n =
rg(p1 ) + rg(p2 ).
Soit
u ∈ L1 ;
En déduire que
Montrer que
x ∈ Im p2 , alors u(x) = 0 ; et si x ∈ Ker p2 , alors u(x) ∈ Ker p2 .
)2
dim(L1 ) 6 n − rg(p2 ) . Quelle inégalité a-t-on pour dim(L2 ) ?
montrer que, si
(
rg(p1 ) = 0
ou
rg(p1 ) = n,
puis que
L1 = {0}
ou
L2 = {0}.
7. (TPE MP) Soient A et B dans Mn (C) ; on suppose que A est inversible, que B 3 = 0, et que AB = BA.
Montrer que
A+B
8. (ENSEA MP)
rg M = n
9.
Soit
est inversible.
(
M =
si et seulement si
A = (aij ) ∈ Mn (C) ;
b ̸= c. Soit d'autre part J
Soit
Montrer que l'application
Que vaut
det A
si
)
A B
∈ M2n (C), où A ∈ Mn (C) est supposée inversible.
C D
D = CA−1 B ; on pourra s'intéresser au noyau de M .
Montrer que
(i, j), aij vaut a si i = j , b si i < j et c si i > j , avec
Mn (C) dont tous les coecients valent 1.
x 7−→ det(A + xJ) est un polynôme en x de degré au plus 1. En déduire det A.
on suppose que, pour tout
la matrice de
b = c?
10. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) \ {0} vériant f 3 + f = 0.
a. Soit x ∈ E ; on suppose x = y + z où y ∈ Ker f et z ∈ Ker(f 2 + IdE ). Montrer que y = x + f (x) et
b.
c.
d.
e.
z = −f 2 (x).
Montrer que
E = Ker f ⊕ Ker(f 2 + IdE ).
Montrer que, si
Que vaut
∈ Ker(f 2 + IdE ) \ {0},
det(−IdE ) ?
En déduire que
Montrer qu'il existe une base
B
de
E
alors
(
)
x, f (x)
est une famille libre de
dim Ker(f 2 + IdE ) = 2.
dans laquelle
▹
1
f
◃
a pour matrice

0 0
0 0
0 1
Ker(f 2 + IdE ).

0
−1.
0
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Réduction des endomorphismes
11. Une symétrie d'un R-espace vectoriel est-elle diagonalisable ? Même question pour un projecteur.
Quelles sont les valeurs propres de
φ,
déni sur
Quelles sont les valeurs propres de l'application
12.
Soit
A = (aij ) ∈ Mn (C)
dénie par
C[X]
φ(P )(X) = XP (X) ?
∞
dérivation dénie sur C (R, R) ?
par
an,1 = −1, a1,n = 1,
et tous les autres coecients sont nuls.
Déterminer rg A. Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de
An pour tout n ∈ N.
A. Est-elle diagonalisable ? Calculer
13. (CCP PSI) Soit E un espace vectoriel de dimension n > 2 ; soient φ une forme linéaire non nulle sur E ,
et
a.
a ∈ E \ {0}.
f : E −→ E , x 7−→ x + φ(x)a.
f est un endomorphisme de E . Montrer
de Ker(f − IdE ).
Soit
Montrer que
dimension
que
1
f,
est valeur propre de
et donner la
b. Donner une condition nécessaire et susante pour que f soit diagonalisable.
14. (CCEM PSI) Soit f l'application qui, à chaque P ∈ R3 [X], associe le reste dans la division euclidienne
de
X 2P
Montrer
15.
X 4 − 1.
que f est un
par
endomorphisme de
R3 [X].
Est-il diagonalisable ? Est-il inversible ?
(x − a)(x − b)y ′ − nxy = ky avec a et b réels distincts et k ∈ R.
f (P )(X) = (X − a)(X − b)P ′ (x) − nXP (X). Montrer que f est
Résoudre l'équation diérentielle
Soit
f
déni sur
Cn [X] par
Cn [X].
un
endomorphisme de
Déterminer les valeurs propres de
f;
est-il diagonalisable ? Calculer
det f .
16. a.
b.
17.
Soit H un hyperplan d'un C-espace vectoriel E de dimension nie, et f ∈ L(E). Montrer que
f (H) ⊂ H si et seulement s'il existe λ ∈ C tel que Im(f − λIdE ) ⊂ H .


3 1 2
3
1 0 dans la base canonique.
Trouver tous les sous-espaces stables par f ∈ L(C ) de matrice  1
−1 1 2
Soit
u
E
un endomorphisme d'un espace
de dimension nie, vériant
u3 = u.
Montrer que
u
est
diagonalisable, et donner les valeurs possibles de ses valeurs propres.
On note
E1 , . . . , Ep
les sous-espaces propres de
u;
montrer qu'un sous-espace
et seulement si il est somme directe de sous-espaces des
18.
F
de
E
est stable par
u
si
Ei .
A ∈ Mn (R) vériant A3 = A + In ; montrer que A est diagonalisable dans Mn (C).
3
Montrer que X − X − 1 admet une seule racine réelle, qui est strictement positive. En
det A > 0.
Soit
déduire que
19. Soit A ∈ Mn (R) vériant A2 + tA = In .
a. Trouver un polynôme annulateur de degré 4 de A. Qu'en déduit-on sur la matrice et son spectre ?
b. On suppose que 0 n'est pas valeur propre de A ; montrer que A − In est inversible et que A est
symétrique.
c. On choisit n = 3 ; montrer que tr A ̸= 0.
20. (TPE MP) Soient A, B et C dans Mn (R)
Montrer que
21.
Soit
C, A
et
A ∈ Mn (C) ;
B
vériant
C = A + B , C 2 = 2A + 3B
et
C 3 = 5A + 6B .
sont diagonalisables.
on suppose qu'il existe
P ∈ C[X]
tel que
P (A)
soit triangulaire, avec des coecients
diagonaux deux à deux distincts.
Montrer que
22. (TPE MP)
A
annulateur de
23.
Soit
est diagonalisable.
Soit
f
f
un endomorphisme de E de dimension nie. On suppose trouvé un polynôme
P (0) = 0 et P ′ (0) ̸= 0. Montrer que E = Ker f ⊕ Im f .
M ∈ Mn (C),
inversible. Montrer que
Est-ce toujours vrai si
24.
P
vériant
M
M
est diagonalisable si et seulement si
M2
l'est.
n'est pas inversible ?
E un espace vectoriel sur K de dimension n ; soient f ∈ L(E) admettant n valeurs propres distinctes,
et g ∈ L(E) vériant g ◦ f = f ◦ g .
Montrer que tout vecteur propre de f est vecteur propre de g ; montrer que f et g sont diagonalisables
Soit
dans une même base de vecteurs propres.
Montrer qu'il existe un unique polynôme
P ∈ Kn−1 [X]
▹
2
◃
vériant
g = P (f ).
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

1 0 0
25. (CCEM PSI) Trouver les matrices A ∈ M3 (R) vériant A2 = 1 2 0.
1 2 3
26. (CCP PSI) Soient E un espace de dimension nie, et f ∈ L(E) tel que rg f = 1. Montrer que f est
diagonalisable si et seulement si tr f ̸= 0.
27. (TPE PSI) Soient A et B dans Mn (C).
a. On suppose que A et B ont une valeur propre commune. Montrer qu'on peut choisir deux colonnes X
t
et Y non nulles telles que U = X Y vérie AU = U B et U ̸= 0.
b. On suppose réciproquement qu'il existe U ∈ Mn (C) non nulle telle que AU = U B . Montrer que
Ak U = U B k pour tout k ∈ N. Montrer que A et B ont une valeur propre commune.
Espaces euclidiens
28. À quelle(s) condition(s)
∑ sur les n + 1 réels a0 , . . . , an , dénit-on un produit scalaire sur E = Rn [X] par
n
k=0 P (ak )Q(ak ) ?
Déterminer dans ce cas l'orthogonal de F
la formule
(P |Q) =
{
}
∑n
= P ∈ E | k=0 P (ak ) = 0 ; calculer la distance de X n à F .
29. Soit u un endomorphisme orthogonal de E euclidien.
a. Soit v = IdE − u. Montrer que Ker v = (Im v)⊥ .
n
(
)
1 ∑ k
u (x). Montrer que la suite fn (x) converge
b. Soit x ∈ E . Pour tout n ∈ N, on pose fn (x) =
n+1
k=0
vers le projeté orthogonal de x sur Ker v .
30. Soit E un espace euclidien de dimension
n et u ∈ L(E).
)
∑n (
a. Montrer que le nombre k=1 ek | u(ek ) ne dépend pas de la base orthonormée (e1 , . . . , en ) choisie.
(
)
∑
∑
b. Montrer que le nombre nj=1 nk=1 ej | u(fk ) 2 ne dépend pas des bases orthonormées (e1 , . . . , en ) et
(f1 , . . . , fn ) choisies.
31. Soient a et b deux vecteurs de E euclidien, unitaires et linéairement indépendants.
Montrer que u, déni par u(x) = (a|x)a + (b|x)b est un endomorphisme symétrique de E .
Déterminer Ker u et en déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de u.
32. (CCEM PSI) Soit A ∈ Mn (R) une matrice symétrique. Montrer que (tr A)2 6 (rg A) tr(A2 ).
33. (TPE PSI) Soit A ∈ Mn (R) une matrice symétrique ; soit Φ : M ∈ Mn (R) 7−→ AM − M A.
Montrer qu'il existe une base (X1 , . . . , Xn ) de Mn,1 (R), orthonormale pour le produit scalaire usuel,
constituée de colonnes propres pour A.
2
t
Pour (i, j) ∈ [[1, n]] , on pose Mij = Xi Xj . Montrer que la famille des Mij est une base de vecteurs
propres pour Φ, orthonormale pour le produit scalaire usuel.
Soient λ1 , . . . , λp les valeurs propres deux à deux distinctes de A, et q1 , . . . , qp leurs multiplicités respectives. Exprimer rg Φ à l'aide des qi .
34. (CCP PSI) Soit A ∈ Mn (R), antisymétrique (c'est-à-dire vériant tA = −A).
a. Montrer que, pour toute colonne X , on a t XAX = 0.
b. Soit B ∈ Mn (R), symétrique et à valeurs propres strictement positives. Montrer que A + B est
inversible.
35. (CCP PSI) Soit A ∈ Mn (R), nilpotente, qui commute avec sa transposée.
Montrer que
t
AA
est nilpotente ; en déduire que
A = 0.
Espaces vectoriels normés
36. (CCP PSI) Soit u un endomorphisme
d'un espace vectoriel normé E de dimension nie, vériant
∥u(x)∥ 6 ∥x∥ pour tout x ∈ E .
∗
k
Soit x ∈ Ker(u − IdE ) ∩ Im(u − IdE ), soit y vériant u(y) − y = x. Pour tout k ∈ N , exprimer u (y) en
fonction de x et y .
Montrer que E = Ker(u − IdE ) ⊕ Im(u − IdE ).
37. (TPE MP) Soit E l'espace des suites réelles bornées, muni de la norme ∥ ∥∞ . Soit F l'ensemble des
suites nulles à partir d'un certain rang. Montrer que F est un sous-espace de E ; est-il ouvert ? fermé ?
▹
3
◃
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Suites et séries numériques
38. (CCP PSI) Pour tout n ∈ N, montrer que l'équation
R;
dans
on note
un
n ∈ N, un ∈ [n, n + 1] ;
équivalent de un − n.
R+ ;
on note
Montrer que la suite
xn
(un ) ?
quelle est la limite de
39. (CCP PSI) Pour tout n ∈ N∗ , montrer que l'équation
solution dans
admet une et une seule solution
cette solution.
Montrer que, pour tout
Déterminer un
x − e−x = n
x + x2 + · · · + xn = 1
admet une et une seule
cette solution.
(xn ) converge,
un − ℓ.
et déterminer sa limite
ℓ.
Donner un équivalent de
40. (CCEM PSI)
a.
b.
41.
un =
Quelle est la limite de
Quelle est la limite de
Montrer que
Soit
∑
n>1 un
k=1
n
∑
1
n+k
(
ln 1 +
k=1
1
n(n + 1)
>1
R2 ; pour
(a, ∑
b) ∈
la série
vn =
n
∑
quand
n
1 )
n+k
tend vers
quand
n
n ∈ N∗ ,
on pose
un = ln n + a ln(n + 2) + b ln(n + 3).
+∞
∑
(−1)n
43. (CCP PSI) On rappelle que
n
k=1
avoir justié leur convergence.
(a, b, c) ∈ R3
(
)
un = ln 2n + (−1)n − ln(2n)
1
44.
Étudier la convergence de la
45.
Soient
b.
et
+∞ (
∑
k=1
+∞
k=1
Calculer
+∞
∑
b ∈ R∗+ .
dt
et la calculer.
4t3 − t
[
( n + 1 )]
∑
.
série
cos πn2 ln
n
Étudier la convergence de la série
C2
(a, b) ∈ R2
est dénie et de classe
Montrer qu'il existe
f (0) = f (1) = 0.
∑[ (
b )]n
tan a +
n
48.
f (1) = a.
sur
tel
[0, 1], et calculer H ′′ .
que f : x 7−→ H(x) + ax + b
∫1
0
suivant les valeurs de
|x − t|g(t) dt. Montrer
vérie les conditions :
f ′′ = 2g
et
Existe-t-il d'autres fonctions vériant ces conditions ?
47. (TSP MP) Soit a ∈ R ; soit{ E
et
1
.
−k
4k 3
k=1
46. (TPE PSI) Soit g une fonction continue de [0, 1] dans R ; soit H : x ∈ [0, 1] 7−→
H
converge, mais pas
1
1 ) ∑( 1
1)
−
et
−
, après
2k − 1 2k
2k + 1 2k
Intégration
que
(a, b)
+∞
Justier la convergence de
[ π[
a ∈ 0,
2
= − ln 2. Calculer
1
a
b
c
=
+
+
.
3
4X − X
X
2X − 1 2X + 1
tel que
∫
et
Pour quelles valeurs de
est-elle convergente ? Calculer sa somme pour les valeurs trouvées.
absolument.
a
+∞ ?
tend vers
converge et calculer sa somme.
42. (CCP PSI) Montrer que la série de terme général
Déterminer
+∞ ?
Déterminer
inf
∫1
0
l'ensemble des fonctions de classe
′
f (t) dt; f ∈ E
2
}
C1
; on notera que, si
de
[0, 1]
f ∈ E,
dans
alors
R
f (x)
vériant f (0)
∫x
= 0 f ′ (t) dt.
f : R −→ C une fonction continue ; soient a et b deux réels vériant 0 < a < b.
∫ b +
∫ bx
f (t)
f (t)
lim+
dt, puis calculer ℓ = lim+
dt.
t
t
x→0
x→0
1
ax
∫ +∞
∫ +∞
f (at) − f (bt)
f (t)
dt converge ; montrer que lim+
dt = ℓ.
On suppose que
t
t
x→0
x
∫ 1 1
t−1
Montrer que
dt = ln 2.
ln t
0
Soit
49. (CCP PSI)
▹
4
◃
=0
Déterminer
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∫
a.
Justier l'existence de
b.
Montrer que
∀x ∈ R
c.
En déduire :
∀A > 0
d.
En déduire la valeur de
+∞
sin5 x
dx.
x2
0
sin(5x) − 5 sin(3x) + 10 sin x
sin5 x =
.
16
∫ +∞
∫
∫ 5A
5A
sin5 x
1(
sin x
sin x )
dx
=
10
dx
−
15
dx .
x2
16
x2
x2
A
A
3A
I.
I=
Intégrales dépendant d'un paramètre
∫
50. (TPE PSI) Pour tout n ∈ N, on pose In = 01 (1 − x)n e−2x dx.
a. Déterminer la limite de la suite (In ).
b. Pour n ∈ N, trouver une relation entre In et In+1 . En déduire la limite de (nIn ).
c.
Déterminer
51. (CCEM PSI)
(In ),
puis celle
(1)
b
c
+ 2 +o 2
au voisinage de +∞.
n n
n
∫ +∞
ln(1 + x/n)
∗
Pour n ∈ N , justier l'existence de In =
dx. Déterminer
x(1 + x2 )
0
de (nIn ), quand n tend vers +∞.
(a, b, c) ∈ R3
In = a +
tel que
la limite de
52. (CCP PSI) Résoudre l'équation √shx = 1.
Pour tout
n ∈ N,
soit
In =
Montrer que, pour tout
simple, de
∫ ln(1+
2)
0
(sht)n dt.
Déterminer la limite de la suite
√
= 2.
n > 2, nIn + (n − 1)In−2
In .
∫
53. (CCEM PSI) Pour n ∈ N, on pose
+∞
Bn =
1
En déduire un encadrement, puis un équivalent
dt
.
1 + t + t2 + · · · + tn
a. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles Bn est déni.
b. Déterminer la limite de la suite (Bn ).
∑
∑
c. Étudier la convergence des séries (−1)n Bn et Bn .
∫
54. (CCP PSI) La série de terme général un = (−1)n 0π/2 cosn t dt
somme ?
55. (TPE PSI) Soit f
a.
b.
56.
∫
:
1
x ∈ D,
Montrer que
converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa
tx
dt.
t+1
x 7−→
0
Déterminer le domaine de dénition
Pour
(In ).
D
de
f,
et étudier sa continuité.
f (x) + f (x + 1). En déduire une expression de f
∫ +∞ −xt
e
g : x 7−→
dt est dénie et continue sur R∗+ .
t
+1
0
calculer
comme somme de série.
Montrer qu'elle y est dérivable ; déterminer une équation diérentielle vériée par
g
en
+∞.
57. (CCP PSI) On rappelle que
58. (CCP PSI)
Montrer que
∫
+∞
e
0
−t2
g,
√
π
.
dt =
2
et un équivalent de
∫
Pour tout
x > 0,
calculer
+∞
F (x) =
0
f (x) − f (0)
∞
si x ̸= 0,
Soit f ∈ C (R, R). On pose g(x) =
x
∫1 ′
∀x ∈ R g(x) = 0 f (xt) dt puis que g ∈ C ∞ (R, R).
et
1 − e−xt
dt.
t2
2
g(0) = f ′ (0).
Suites et séries de fonctions
59. Pour tout n ∈ N∑et tout t ∈ [0, π/2], on pose fn (t) = cosn t sin t. Étudier la convergence simple de la
série de fonctions
n>0
fn ,
et calculer sa somme. La convergence est-elle uniforme sur
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions
60. (CCP PSI) Soit f
continuité de
f
sur
∑+∞
: x 7−→
D, et ses
−nx
(fn ).
). Déterminer le domaine de dénition
n=0 ln(1 + e
limites aux bornes de D .
▹
5
◃
[0, π/2] ?
D
de
f.
Étudier la
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61. (TSP PSI) Soit f
:
x 7−→
∑ (−1)n
.
n+x
Montrer que
f
est dénie et continue sur
R∗+ .
Montrer que
f (x)
n>0
est équivalent à
1/x
en
0+ .
ln(1 + n2 x2 )
.
n3
∑+∞
1
Montrer que S(x) =
n=1 fn (x) est dénie sur R, qu'elle y est de classe C , et qu'elle est
dérivable sur ]0, +∞[ (on pourra mener l'étude sur [a, +∞[ pour tout a > 0).
∫ +∞
+∞
∑
√
(−1)n n!
e−x cos x dx converge, puis que I =
.
63. (TPE PSI) Montrer que I =
(2n)!
0
n=0
∫ 1
∑ 1
tt dt converge.
64. Montrer que la série
converge ; montrer que l'intégrale
nn
0
∫1 n
2
Pour (n, p) ∈ N , on pose In,p =
t (ln t)p dt. Justier l'existence de In,p , et la calculer.
0
∫ 1
+∞
∑
(−1)n−1
.
Montrer que
tt dt =
nn
0
n=1
62.
n ∈ N∗ ,
Pour tout
soit
fn : R −→ R, x 7−→
deux fois
Séries entières
65.
Soit
a.
b.
66.
∗
s∈N
. On considère la série entière
:
R de cette série.
S(x) pour x ∈ ] − R, R[.
Déterminer le rayon de convergence
Donner une expression simple de
n
∑
1
∗
Pour n ∈ N , on pose Sn =
. Déterminer le rayon de convergence
k=1
k
Calculer la somme de cette série sur
An − An+1 .
67.
S
+∞ ( )
∑
n n
x 7−→
x .
s
n=s
Développer
ln(1 − x − 2x2 )
et
] − R, R[ ;
Arctan
on pourra poser
1 − x2
1 + x2
R
An =
Pour
n ∈ N∗
et
x ∈ R,
Sn xn .
k=n
xk ,
et noter que
xn =
en série entière au voisinage de 0.
3n
x
, et u0 (x) = 1.
(3n)!
∑
Donner le rayon de convergence de S(x) =
n>0 un (x).
′′
′
Montrer que S vérie une équation diérentielle du type y + ay + by = f
a et b. Intégrer l'équation et en déduire S .
68.
∑+∞
∑
n>1
de la série entière
on pose
un (x) =
où l'on précisera
f
et les réels
Équations diérentielles
69. (TPE PSI) Soit (E) : 2(x − 1)y′ + y = sin(2x) + x2 . Montrer que (E) admet une unique solution f
] − ∞, 1[
Donner un DL4
70. a.
b.
Résoudre l'équation diérentielle
f0
sur
f (0) = 0.
en 0 de f .
vériant
f0 (0) = 0.
que f0 est développable
(E) : (1 − x2 )y ′ − xy = 1
sur
] − 1, 1[ ;
déterminer l'unique solution
vériant
Montrer
en série entière au voisinage de
0,
et déterminer le rayon de conver-
gence de ce développement.
c. Montrer que f0 réalise une bijection de classe C ∞ de ] − 1, 1[ dans R.
x
71. Résoudre (1 − x2 )y′′ − 3xy′ + y = √
sachant que
y1 : x 7−→
2
|1 − x |
l'équation homogène associée.
√
1
|1 − x2 |
est solution de
72. (TPE PSI) Soit f une fonction continue et intégrable sur R+ ; soit (E) : y′′ + f (x)y = 0.
a. Montrer que, si y1 et y2 sont des solutions de (E) sur R+ , alors y1 y2′ − y1′ y2 est constante.
b. Soit y une solution de (E) qui soit bornée sur R+ . Montrer que y′ admet une limite nie en +∞, puis
c.
que cette limite est nulle.
Montrer que
(E)
admet des solutions non bornées.
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Fonctions de plusieurs variables
73. Déterminer coordonnées et natures des extremums de f
:
(x, y) 7−→ x2 + (y 3 − y)2 .
Probabilités
74. (TPE MP) Soient A1 , . . . , An des événements mutuellement indépendants d'un espace (probabilisé.
Mon)
∑
trer que la probabilité qu'aucun de ces événements ne se produise est majorée par
n
k=1
exp −
P (Ak )
.
75. (TPE MP) On choisit aléatoirement une partie (éventuellement vide) de [[1, n]], toutes les parties étant
supposées équiprobables ; soit
X
la variable aléatoire donnant la somme des éléments de cette partie. On
demande de calculer l'espérance de
X
de deux manières :
a. en introduisant les variables Yi , prenant la valeur 1 si i appartient à la partie choisie, et 0 sinon ;
b. en introduisant la variable Z , somme des éléments n'appartenant pas à la partie.
76. (TPE PSI) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, suivant la même loi géométrique
G(p),
où
p ∈ ]0, 1[.
U = min{X, Y } et V = max{X, Y }.
(U, V ), puis les lois de U et V ; sont-elles
U + V ; admet-elle une espérance ?
On pose
Donner la loi conjointe de
Déterminer la loi de
indépendantes ?
77. (CCP PSI) On considère une urne contenant N − 1 boules noires et 1 boule blanche.
a. On eectue une suite innie de tirages avec remise dans cette urne ; on note T la variable aléatoire
donnant le rang du premier tirage amenant la boule blanche. Déterminer la loi de
T,
son espérance et
sa variance.
b.
On eectue maintenant des tirages sans remise. Soit
X
tirage amenant la boule blanche. Déterminer la loi de
Soit
Y
la variable aléatoire donnant le rang du premier
X,
son espérance et sa variance.
la variable donnant le nombre de boules restant dans l'urne après le tirage de la boule blanche.
Donner la loi de
Y,
son espérance et sa variance.
78. (CCEM PSI) Une urne contient 2N
boules de couleurs diérentes ; N de ces boules sont numérotées de
N , les autres portent le numéro 0. On tire simultanément N boules de l'urne. Pour k ∈ [[1, N ]], on
note Uk la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule numéro k fait partie des boules tirées, la
1 à
valeur 0 sinon.
a.
b.
c.
d.
Pour
k ∈ [[1, N ]],
donner la loi de
Soit
X = U1 + U2 + · · · + UN .
Soit
S
Uk ,
son espérance et sa variance. Calculer
Que représente
X?
Calculer
Z la variable aléatoire
E(Z) et V (Z).
pour
i ̸= j .
Calculer son espérance et sa variance.
la somme des numéros des boules tirées. Calculer l'espérance de
On note
Cov(Ui , Uj )
S.
donnant le nombre de boules numérotées 0 parmi les boules tirées.
Indications
2. b. Introduire une base de R3 adaptée à P , et étudier les applications linéaires canoniquement associées
à
A, B
3. b.
et
P.
La décomposition de g(a) donne un polynôme
k
relation tient avec f (a) au lieu de a.
P
tel que
g(a) = [P (f )](a) ;
montrer que la même
5. Déterminer le noyau de Φ ; calculer sa dimension en étudiant les matrices des endomorphismes concernés
dans une base bien choisie.
6. a. Écrire p1 = Id ◦ p1 = p1 ◦ Id. c. Étudier la matrice des éléments de L1 dans une base bien choisie.
7. Écrire A + B = A(In + A−1 B) puis penser à la(série
) géométrique.
( )
X
8. Chercher les colonnes de Ker M sous la forme Y , et étudier l'application X
7−→ Y sur Ker M .
Y
13. b. À part ceux trouvés en a, les seuls vecteurs propres possibles sont ceux de Vect a.
16. a. Si H est stable et si E = H ⊕ Vect a, décomposer f (a) en λa + h, où h ∈ H . b. Si Im(f − λIdE )
est inclus dans un plan, alors
f − λIdE
n'est pas bijective.
18. Noter que A ∈ Mn (R), ce qui impose des contraintes à ses valeurs propres non réelles.
19. b. Si X ∈ Ker(A − In ), appliquer l'équation initiale à X .
20. Exprimer A comme un polynôme en C de deux manières.
22. Écrire P = XQ, et montrer qu'on peut appliquer le lemme des noyaux.
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25. Diagonaliser la matrice donnée, et commencer par prouver que les solutions doivent commuter avec cette
matrice.
27. b. Montrer que χA (B) n'est pas inversible ; en déduire que χA et χB ne sont pas premiers entre eux.
29. b. Décomposer x suivant Ker
∑ v ⊕ Im v .
30. b. Le nombre donné est ∥u(fk )∥2 . L'exprimer à l'aide de t V V , où V est la matrice de u dans
(f1 , . . . , fn ). On peut aussi le considérer comme la somme des carrés des coecients de la matrice, et prouver
que cette somme n'est pas modiée par une multiplication par une matrice orthogonale.
31. Les
vecteurs propres pour des valeurs propres non nulles sont forcément dans
Vect(a, b).
Au vu des
symétries du problème. . .
t
Montrer que XBX
34. b.
> 0 pour toute colonne X ̸= 0, en diagonalisant B dans le groupe orthogonal.
38. Pour l'équivalent, écrire l'équation vériée par hn = un − n, et commencer par montrer que hn a pour
limite 0.
39. Pour la convergence, étudier le sens de variation de la suite. Pour la limite, transformer l'équation (série
géométrique) et commencer par prouver que
étudier l'équation vériée par
hn ,
tend vers 0. Pour l'équivalent, poser
en commençant par noter que
de limite 0.
40. a.
(un )n
C'est une somme de Riemann.
b.
Majorer
hn
| ln(1 + x) − x|
Taylor-Lagrange.
∫
un = ℓ + hn
et
est dominé par des suites géométriques
sur
[0, 1]
en utilisant par exemple
∫
47. Utiliser Cauchy-Schwarz pour les intégrales, en écrivant f ′ = 1 · f ′ .
48. Pour l'application, commencer par poser u = − ln t.
49. d. Majorer | sin x−x| au voisinage de 0 en utilisant Taylor-Lagrange pour obtenir la limite des diérentes
intégrales du c.
50. c. Le b donne déjà un développement asymptotique à un terme. Dans la relation trouvée en b, remplacer
In+1
par ce développement.
52. Pour l'encadrement,
étudier le sens de variation de (In ).
∑
53. c. Pour Bn , montrer que n2 Bn a une limite nie à l'aide du changement de variable tn+1 = u ; pour
l'hypothèse de domination, utiliser
|ex − 1| 6 xex
après l'avoir justié.
56. Pour l'équivalent, faire une intégration par parties.
∫
∫
57. Calculer F ′ (x). Trouver la limite en 0 ; on pourra couper l'intégrale dénissant F (x) en 01 + 1+∞ pour
dominer.
64. Pour le calcul de In,p , procéder par récurrence sur p.
72. Montrer que l'on arrive à une absurdité si l'on suppose que (E) a deux solutions indépendantes bornées.
73. Déterminer les points critiques. Ceux en lesquels f s'annule sont évidemment des minimums. Pour les
autres, étudier
f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 )
74. Utiliser ex > 1 + x.
75. b. X + Z est constante.
76. Noter que l'une des deux variables U
et
pour de petites" valeurs de
V
est égale à
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X,
h
et l'autre à
et
Y.
k.