Espaces .vectoriels

RESU ME C HAP I TRE 12
CO M PLE MEN T S SUR LES
APPLICATIONS
GROUPES-ANNEAUX-CORPS
ESPACES VEC TORIELS
12.1 COMPLEMENTS SUR LES APPLICATIONS
12.1.1 RAPPELS
Rappel: Une application f de E dans F est définie par: un ensemble de départ, un ensemble d'arrivée
et associe à tout élément x de E un unique élément y de F noté f(x) et appelé image de x par f :
f:E → F
x → f(x)
antécédent
image
On note A(E,F) l'ensemble des applications de E dans F.
D 12.1 Egalité d'applications. Soit f et g deux applications de E dans F
"f = g" signifie : ∀ x ∈ E , f(x) = g(x)
P 12.1 Si f est une application de E dans F , alors : ∀ (x1,x2)∈ E2 , x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)
Rappel:
IdE est l'application de E dans E définie par : ∀ x ∈ E , IdE(x) = x.
∀ f ∈ A(E,E), f o IdE = IdE o f = f (IdE est élément neutre pour o A(E,E)).
12.1.2 CLASSIFICATION DES APPLICATIONS
Dans tout le §, f est une application de E dans F.
D 12.2 On dit que f est une injection ou que f est injective ssi : ∀ (x1,x2)∈ E2 , f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Cela signifie aussi que : Tout élément y de F a au plus un antécédent par f dans E.
i.e. Pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) a au plus une solution dans E.
D 12.3 On dit que f est une surjection ou que f est surjective ssi :
Tout élément y de F a au moins un antécédent par f dans E.
i.e. ∀ y ∈ F, ∃ x ∈ E, y = f(x)
i.e. Pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) a au moins une solution dans E.
D 12.4 On dit que f est une bijection ou que f est bijective ssi : f est injective et surjective
i.e. ssi : Tout élément y de F a un antécédent et un seul par f dans E.
i.e. ∀ y ∈ F, ∃! x ∈ E, y = f(x)
i.e. Pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) a une solution unique dans E.
Rappel : Soit f ∈ A(I,R) où I est un intervalle de R .
Si f est continue et strictement monotone sur I , f réalise une bijection de I sur f(I)
Th 12.2 Soit f ∈ A(E,F) et g ∈ A(F,G).
 Si f et g sont injectives , alors g o f est injective.
 Si f et g sont surjectives , alors g o f est surjective.
 Si f et g sont bijectives , alors g o f est bijective.
 Si g o f est injective , alors f est injective.
 Si g o f est surjective , alors g est surjective.
12.1.3 APPLICATION RECIPROQUE
Rappel (application réciproque) Soit f une bijection de E vers F.
L'application qui associe à tout élément y de F son unique antécédent x par f dans E est appelée application
réciproque de f i.e. y a pour image par f –1 l'élément x de E tel que y = f(x).
En abrégé, x = f –1(y) avec y ∈ F ssi y = f(x) avec x ∈ E.
f : E → F et f –1: F → E En résolvant l'équation (en x) f(x) = y, on détermine f –1
Th 12.3 Soit f ∈ A(E,F).
S'il existe g ∈ A(F,E) telle que : g o f = IdE et f o g = IdF alors f et g sont bijectives et g = f –1
Th 12.4 Soit f ∈ A(E,F)et g ∈ A(F,G). Si f et g sont bijectives , alors : (g o f) –1 = f –1 o g –1 .
12.1.4 IMAGE D'ENSEMBLE – IMAGE RECIPROQUE D'ENSEMBLE
D 12.5 Soit f ∈ A(E,F) , A ⊂ E et B ⊂ F.
f(A) = {f(x) , x ∈ A }
z ∈ f(A) ssi z = f(x) avec x ∈ A.
–1
f B = {x ∈ E , f(x) ∈ B }
x ∈ f –1 B ssi f(x) ∈ B.
Th 12.5 Propriétés des images d'ensembles et des images réciproques d'ensembles
Soit f ∈ A(E,F) , A , A' , Ai (i ∈ !1, n " ) des sous-ensembles de E
et B , B' , Bi(i ∈ !1, n " ) des sous-ensembles de F.
Alors :
1°) f(A ∩ A') ⊂ f(A) ∩ f(A')
3°) f –1 B ! B' = f –1 B ∩ f –1 B'
2°) f(A ∪ A') = f(A) ∪ f(A').
4°) f –1 B ! B' = f –1 B ∪ f –1 B'
12.2 LOI DE COMPOSITION INTERNE - LOI DE COMPOSITION EXTERNE
D 12.6 Une loi de composition interne dans E est une application de E×E dans E : * : (a,b)  a*b
D 12.7 Soit * une l.c.i. dans un ensemble E et A ⊂ E : A est stable pour * ssi : ∀ (a,b) ∈ A2 , a*b ∈ A.
D 12.8 Soit * une l.c.i. dans E.
 Associativité :* , une l.c.i. dans E , est associative ssi : ∀ (a,b,c) ∈ E3 , a*(b*c) = (a*b) *c
 Commutativité : * , une l.c.i. dans E , est commutative ssi : ∀ (a,b) ∈ E3 , a*b = b*a
 Element neutre : e est élément neutre pour * dans E ssi : ∀ x ∈ E , x*e = e*x. =x
 Element symétrique : Soit * une l.c.i. danq E et e élément neutre pour * .
a' est le symétrique de a pour *
ssi a*a' = a'*a = e
Si a a admet un symétrique pour * dans E , on dit que a est symétrisable pour *
Remarque : Si * est une l.c.i. dans E , alors : ∀ (a,b,c) ∈ E3 , a = b ⇒ a*c = b*c
D 12.9 Une loi de composition externe dans E est une application de K×E dans E :
!
!
(λ, u )  λ. u
12.3 GROUPES-ANNEAUX-CORPS-ESPACES VECTORIELS
D 12.10
(G, *) groupe (une l.c.i.)
G1 * l.c.i. : ∀ (a,b) ∈ G2, a*b ∈ G
G2 * associative
G3 G a un élément neutre pour *
G4 Tout élément de G a un
symétrique dans G
G commutatif si * commutative
(E,+,.) K-espace vectoriel
(+ l.c.i. et . l.c.e.: K×E E )
K = R ou C
(E,+) groupe commutatif
! ! !
i.e. ∀ ( u , v , w ) ∈ E3
! ! !
! ! !
1) u +( v + w ) = ( u + v )+ w
! ! ! !
2) u + v = v + u
! ! !
3) u + o = u
!
!
!
! !
4)∀ u ∈ E,∃ (- u ) ∈ E : u +(- u )= o
ET
! !
∀ (α,β) ∈ K2 , ∀ ( u , v )∈ E2 :
(A,+,×) anneau (deux l.c.i.) :
 (A,+) est un groupe commutatif.
 × est associative
 A possède un élément neutre 1A pour ×
 × est distributive par rapport à +.
Notation : 0A : élément neutre pour +
1A : élément neutre pour ×
(K,+,×) corps (deux l.c.i.)
 (K,+,×) anneau
 Tout élément de K−{0} a un
symétrique pour × : ∀ a ∈ K−{0} ,
∃ a-1 ∈ K ,a × a-1 = a-1 × a = 1K.
(K− {0} ,× ) est alors un groupe.
! !
!
!
$5) & .(u + v ) = & .u + & .v
!
!
!6) (& + % ).u = & .u + % .u!
!
!
!
#
!7) & .(!% .u )! = (& .% ).u
!"8) 1 K .u = u
12.4 GROUPES - SOUS-GROUPES – MORPHISMES DE GROUPES
12.4.1 Calculs dans un groupe
Th 12.6 Soit (G, *) un groupe et (a,b,c) ∈ E3 : a*c = b*c ⇒ a = b
et c*a = c*b ⇒ a = b
P 12.7 Soit (G, *) un groupe et (a,b) ∈ G2 : (a*b)' = b' * a' (i.e. sym(a*b) = sym(b) * sym(a) )
12.4.2 Sous-groupe
D 12.11 Un sous-groupe H d'un groupe (G, *) est un sous-ensemble de G tel que :
SG1 : e ∈ H (ou SG'1 : H ≠ ∅)
SG2 : H est stable pour * i.e. ∀ (a,b) ∈ H2 , a*b ∈ H
SG3 : Pour tout a de H , a' ∈ H ( a' : symétrique de a ) i.e. ∀ a ∈ H , a' ∈ H
12.4.3 Morphismes de groupe
D 12.12 f est un morphisme de groupes du groupe (G, *) dans le groupe ((F,T) ssi :
f ∈ A(G,F) et : ∀ (a,b) ∈ G2 , f(a*b) = f(a) T f(b)
Un isomorphisme est un morphisme bijectif .
Un endomorphisme de G est un morphisme de G dans G
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
P 12.8 (propriétés des morphismes )
Soit f un morphisme de (G,*) dans (F,T) , eG l'élément neutre de G et eF l'élément neutre de F.
Alors :
 f(eG ) = eF.
 ∀ a ∈ G , f(a') = [f(a)]' ( a' désignant le symétrique de a )
12.5 CALCULS DANS UN ANNEAU
Soit (A,+, ×) un anneau.
 ∀ a ∈ A , 0 × a = a × 0 = 0 (0 étant l'élément neutre pour + )
 Formule du binôme : Si a et b commutent , càd a × b = b × a , alors :
n
(a + b)n = "
k=0
()
n
k
n
a k b n!k = "
k=0
( )a
n
k
n!k
bk .
 Factorisation de (an − bn) : Si a et b commutent , càd a × b = b × a , alors :
#n
&
an − bn =(a − b). % " a n ! k b k !1 ( càd
an − bn =(a − b).(an-1 + an-2.b + ... + a.bn-2 + bn-1 )
$ k =1
'
Soit (A,+, ×) un anneau et B ⊂ A.
B est sous-anneau de (A,+, ×) ssi :
 1A ∈ B
 ∀ (a,b) ∈ B2, a+(−b) ∈ B (−b:symétrique de b pour +)
 ∀ (a,b) ∈ B2 a × b ∈ B
(B,+, ×) est alors un anneau.
12.6 IMAGE ET NOYAU D'UN MORPHISME DE GROUPES
D 12.13 Soit f un morphisme de (G,*) dans (F,T).
Im(f) = f(G) = {f(x), x ∈ G}
Ker(f) = f –1({eF}) = {x ∈ G, f(x) = eF}
P 12.9 Avec les notations de D 12.9,
Im(f) est un sous-groupe de (F, T)
Ker(f) est un sous-groupe de (G, *)