R E S U M E C H A P I T R E 1 2
C O M P L E M E N T S S U R L E S
A P P L I C A T I O N S
G R O U P E S - A N N E A U X - C O R P S
E S P A C E S V E C T O R I E L S
12.1 COMPLEMENTS SUR LES APPLICATIONS
12.1.1 RAPPELS
Rappel: Une application f de E dans F est définie par: un ensemble de départ, un ensemble d'arrivée
et associe à tout élément x de E un unique élément y de F noté f(x) et appelé image de x par f :
f : E → F
x → f(x)
antécédent image
On note A(E,F) l'ensemble des applications de E dans F.
D 12.1 Egalité d'applications. Soit f et g deux applications de E dans F
"f = g" signifie : ∀ x ∈ E , f(x) = g(x)
P 12.1 Si f est une application de E dans F , alors : ∀ (x1,x2)∈ E2 , x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)
Rappel: IdE est l'application de E dans E définie par : ∀ x ∈ E , IdE(x) = x.
∀ f ∈ A(E,E), f o IdE = IdE o f = f (IdE est élément neutre pour o A(E,E)).
12.1.2 CLASSIFICATION DES APPLICATIONS
Dans tout le §, f est une application de E dans F.
D 12.2 On dit que f est une injection ou que f est injective ssi : ∀ (x1,x2)∈ E2 , f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Cela signifie aussi que : Tout élément y de F a au plus un antécédent par f dans E.
i.e. Pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) a au plus une solution dans E.
D 12.3 On dit que f est une surjection ou que f est surjective ssi :
Tout élément y de F a au moins un antécédent par f dans E.
i.e. ∀ y ∈ F, ∃ x ∈ E, y = f(x)
i.e. Pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) a au moins une solution dans E.
D 12.4 On dit que f est une bijection ou que f est bijective ssi : f est injective et surjective
i.e. ssi : Tout élément y de F a un antécédent et un seul par f dans E.
i.e. ∀ y ∈ F, ∃! x ∈ E, y = f(x)
i.e. Pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) a une solution unique dans E.
Rappel : Soit f ∈ A(I,R) où I est un intervalle de R .
Si f est continue et strictement monotone sur I , f réalise une bijection de I sur f(I)
Th 12.2 Soit f ∈ A(E,F) et g ∈ A(F,G).
Si f et g sont injectives , alors g o f est injective.
Si f et g sont surjectives , alors g o f est surjective.
Si f et g sont bijectives , alors g o f est bijective.
Si g o f est injective , alors f est injective.
Si g o f est surjective , alors g est surjective.
12.1.3 APPLICATION RECIPROQUE
Rappel (application réciproque) Soit f une bijection de E vers F.
L'application qui associe à tout élément y de F son unique antécédent x par f dans E est appelée application
réciproque de f i.e. y a pour image par f –1 l'élément x de E tel que y = f(x).
En abrégé, x = f –1(y) avec y ∈ F ssi y = f(x) avec x ∈ E.
f : E → F et f –1: F → E En résolvant l'équation (en x) f(x) = y, on détermine f –1