Rappels et compléments d`Algèbre Linéaire. 1 Catalogue des

ÉCS2 Rappels et compléments d’Algèbre Linéaire. Les essentiels.
1 Catalogue des propriétés les plus utiles (ECS1)
Edésigne un espace vectoriel de dimension finie nsur le corps K(Rou C).
B= (e1, ..., en)est une base quelconque de E.
Fdésigne un espace vectoriel de dimension finie msur le corps K(Rou C).
C= (f1, ..., fm)est une base quelconque de F.
Soit D= (u1, . . . , up)une famille de pvecteurs de E.
1. Il y a équivalence entre :
(a) Dest une base de E;
(b) Dest libre et génératrice de E;
(c) Dest libre et p=n
(d) Dest génératrice et p=n
(e) p=net
∀u∈E,∃!(xi)p
i=0 ∈Kp,
u=
p
X
i=1
xiui.
2. Soit M∈Mn,p(K)dont les colonnes sont les coordonnées de u1, . . . , updans B.
(a) dim Vect(u1, . . . , up) = rg(M)
(C’est le rang de la famille D).
(b) Dest libre ssi rg(M) = p
(c) Dest génératrice de Essi rg(M) =
n
(d) Dest une base de Essi n=pet
rg(M) = n
(e) Dest une base de Essi n=pet M
est inversible
3. Soit fune application linéaire de Edans F. Soit M = matC,B(f), c’est-à-dire la
matrice dont les colonnes contiennent les coordonnées des f(ei)dans la base C.
(a) u∈Ker(f)⇔f(u)=0F
(b) finjective ssi Ker(f) = {0E}
(c) finjective ssi dim Ker(f) = 0
(d) finjective ssi (f(e1), . . . , f (en))
libre
(e) finjective ssi rg(M) = dim E
4. Im(f) = {v∈F/∃u∈E, f(u) = v}=f(E). Pour déterminer pratiquement Im(f),
mieux vaut utiliser : Im(f) = Vect(f(e1), . . . , f(en)).
Mdésigne encore matC,B(f).
(a) rg(f) = rg(M)
(b) dim E = dim Ker(f) + rg(f)
(c) fsurjective ssi Im(f)=F
(d) fsurjective ssi rg(f) = dim F
(e) fsurjective ssi (f(e1), . . . , f(en))
est génératrice de F
(f) fsurjective ssi rg(M) = dim(F)
5. Isomorphismes : lorsque dim E = dim F = n, il y a équivalence entre :
(a) fest injective
(b) fest surjective
(c) rg(f) = n
(d) rg(M) = n
(Mdésignant matC,B(f))
(e) Minversible
(M−1est alors la matrice de f−1)
(f) L’image d’une base de Eest une
base de F
2 Les bases canoniques (ECS1)
•Une notation pratique, le symbole de Kronecker.
On définit le symbole de Kronecker par
δi,j =(1si i=j
0si i6=j
Il ne faut pas y chercher de signification profonde ou de message caché, ce n’est qu’une
notation : 1si i=jet 0sinon, et c’est tout.
•Voici les bases canoniques à connaître :
+De Rn: les nvecteurs définis par (ei)j=δi,j , autrement dit :
e1= (1,0,0,...,0),
e2= (0,1,0,...,0),
.
.
.
en= (0,0,0. . . , 0,1).
+De Rn[X] : la famille de n+ 1 polynômes (1,X,X2,...,Xn) = (Xk)n
k=0 ;
À noter : on l’ordonne en général par puissances croissantes.
+De Mn,p(K): Les np matrices définies par (Ek,`)i,j =δi,j , autrement dit :
chaque matrice Ek,` ne contient que des 0, à l’exception
du coefficient situé à la kème ligne et `ème colonne qui vaut 1.
3 Changement de base (ECS2)
•Définition : si Bet Csont deux bases de E, la matrice de passage de BàC, notée
PB,Cest la matrice dont les colonnes expriment les vecteurs de la nouvelle base Cdans
l’ancienne base B. On a : PB,C=matB,C(idE).
•Théorème de changement de base :
+PB,Cest inversible, et P−1
B,C=PC,B
+vecteur : XC=PC,BXB
+endomorphisme : matC(f) = PC,BmatB(f)PB,C
Pour mémoriser ces formules, lisez les bases en indice de droite à gauche ! ! !
Lycée Henri Poincaré 1/1 lo