Rappels et compléments d’Algèbre Linéaire. ÉCS2 1 Catalogue des propriétés les plus utiles (ECS1) Les essentiels. 5. Isomorphismes : lorsque dim E = dim F = n, il y a équivalence entre : (a) (b) (c) (d) E désigne un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps K (R ou C). B = (e1 , ..., en ) est une base quelconque de E. F désigne un espace vectoriel de dimension finie m sur le corps K (R ou C). C = (f1 , ..., fm ) est une base quelconque de F. Soit D = (u1 , . . . , up ) une famille de p vecteurs de E. f est injective f est surjective rg(f ) = n rg(M) = n (M désignant matC,B (f )) (e) M inversible (M−1 est alors la matrice de f −1 ) (f) L’image d’une base de E est une base de F 1. Il y a équivalence entre : (a) D est une base de E ; (b) D est libre et génératrice de E ; 2 (e) p = n et ∀u ∈ E, ∃!(xi )pi=0 ∈ Kp , p X u= xi ui . Les bases canoniques (ECS1) • Une notation pratique, le symbole de Kronecker. On définit le symbole de Kronecker par( (c) D est libre et p = n 1 si i = j δi,j = (d) D est génératrice et p = n i=1 0 si i 6= j Il ne faut pas y chercher de signification profonde ou de message caché, ce n’est qu’une 2. Soit M ∈ Mn,p (K) dont les colonnes sont les coordonnées de u1 , . . . , up dans B. notation : 1 si i = j et 0 sinon, et c’est tout. • Voici les bases canoniques à connaître : (d) D est une base de E ssi n = p et (a) dim Vect(u1 , . . . , up ) = rg(M) + De Rn : les n vecteurs définis par (ei )j = δi,j , autrement dit : rg(M) = n (C’est le rang de la famille D). e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), (b) D est libre ssi rg(M) = p e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), (c) D est génératrice de E ssi rg(M) = (e) D est une base de E ssi n = p et M .. . n est inversible en = (0, 0, 0 . . . , 0, 1). + De Rn [X] : la famille de n + 1 polynômes (1, X, X2 , . . . , Xn ) = (Xk )nk=0 ; À noter : on l’ordonne en général par puissances croissantes. + De Mn,p (K) : Les np matrices définies par (Ek,` )i,j = δi,j , autrement dit : chaque matrice Ek,` ne contient que des 0, à l’exception du coefficient situé à la k ème ligne et `ème colonne qui vaut 1. 3. Soit f une application linéaire de E dans F. Soit M = matC,B (f ), c’est-à-dire la matrice dont les colonnes contiennent les coordonnées des f (ei ) dans la base C. (a) u ∈ Ker(f ) ⇔ f (u) = 0F (b) f injective ssi Ker(f ) = {0E } (c) f injective ssi dim Ker(f ) = 0 (d) f injective ssi (f (e1 ), . . . , f (en )) libre (e) f injective ssi rg(M) = dim E 3 Changement de base (ECS2) 4. Im(f ) = {v ∈ F/∃u ∈ E, f (u) = v} = f (E). Pour déterminer pratiquement Im(f ), mieux vaut utiliser : Im(f ) = Vect(f (e1 ), . . . , f (en )). • Définition : si B et C sont deux bases de E, la matrice de passage de B à C, notée PB,C est la matrice dont les colonnes expriment les vecteurs de la nouvelle base C dans M désigne encore matC,B (f ). l’ancienne base B. On a : PB,C = matB,C (idE ). • Théorème de changement de base : (a) rg(f ) = rg(M) (e) f surjective ssi (f (e1 ), . . . , f (en )) + PB,C est inversible, et P−1 est génératrice de F (b) dim E = dim Ker(f ) + rg(f ) B,C = PC,B + vecteur : X = P X C C,B B (c) f surjective ssi Im(f ) = F + endomorphisme : matC (f ) = PC,B matB (f )PB,C (d) f surjective ssi rg(f ) = dim F (f) f surjective ssi rg(M) = dim(F) Pour mémoriser ces formules, lisez les bases en indice de droite à gauche ! ! ! Lycée Henri Poincaré 1/1 lo