groupes - Petit Fichier

En-nour 2
2éme
S.M Structures algébriques Prof :Ouchaib
I. Lois de composition interne :
A. Définition :
Soit
E
un ensemble , une loi de composition interne ( abrégé LCI ) sur
E
est. Une
application
f
de
EE
dans
E
, dont les images
,f x y
sont notées infixe , par exemple :
,*f x y x y
,
,f x y x y
,
,f x y x y
,
, ,......f x y x y
etc.
B. Méthode pratique :
Pour montrer qu’une loi
*
est Une loi de composition interne sur un ensemble
E
, il
suffit de montrer que pour tout
2
,x y E
:
*x y E
C. Propriétés des
LCI
:
Soit
,*E
un ensemble muni d’une
*LCI
. On dit que :
- La loi * est commutative sur
E
si :
2
,x y E
,
**x y y x
- La loi * est associative sur
E
si :
2
,,x y z E
,
* * * *x y z x y z
- L’élément
eE
est. Un élément neutre pour la loi * sur
E
si :
, * *x E x e e x x   
D. Proposition :
Soit
,*E
un ensemble muni d’une
*LCI
et qui admet un élément neutre.
Alors cet élément neutre est Unique.
E. Définition :
Soit
,*E
un ensemble muni d’une
*LCI
et admettant un élément neutre
e
.
- Un élément
aE
est Dit régulier ou simplifiable pour la loi * si, pour tout
2
,x y E
.
**a x a y x y  
( régulier à gauche )
**x a y a x y  
( régulier à droite )
- Un élément
aE
est. Dit symétrisable pour la loi * s’il existe
'
aE
tel que :
''
**a a a a e
Dans ce cas ,
'
a
est. Appelé le symétrique de
a
dans
E
.
F. Exemple :

- Dans
,
, tout élément est Régulier car la loi + est. Commutative et :
3
,,a x y
a x a y x y    
- Dans
,
, tout élément non nul est. Régulier car la loi est. Commutative et :
*
,,a x y   
:
a x a y x y    
G. Conséquence :
Soit
,*E
un ensemble muni d’une
LCI
et admettant un élément neutre
e
.
Si la loi * est Associative , alors tout élément symétrisable est régulier . la réciproque
est. Fausse en général.
H. Proposition : la loi * est Associative
Soit
,*E
un ensemble muni d’une
LCI
et admettant un élément neutre
e
.
Si
aE
est Symétrisable, alors il y a unicité du symétrique
'
aE
vérifiant :
''
**a a a a e
De plus , si
'
a
et
'
b
sont les symétrique de
a
et
b
respective , alors
*ab
admet un
symétrique et qui vaut
''
*ba
.
II. Structure de groupe :
A. Définition :
Un groupe est Un élément muni d’une loi de composition interne
,*G
tel que m
- La loi * est. Associative.
- La loi * admet un élément neutre
eG
- Tout élément de
G
est. Symétrique par rapport à la loi * .
Si de plus * est. Commutative , on dit alors le groupe
,*G
est. Commutative ou abélien.
B. Exemple
-
, , , , ,  
et
,
sont des groupes commutatifs.
-
**
1,1 , , , , ,   
et
*,
sont des groupes commutatifs.
- L’ensemble des homothéties et translations du plan muni de la loi ° est Un groupe.
- L’ensemble des similitudes directes dub plan muni de la loi ° est Un groupe.
-
*,
n’est pas un groupe : par exemple 2 n’a pas de symétrie dans
*,
car
*
1
2
.
- En notant
BE
l’ensemble des bijection d’un ensemble
E
dans
E
,
,BE 
est. Un
groupe non commutatif.

C. Remarque :
Si
a
et
b
sont deux éléments du groupe
,*G
, les équations
*a x b
et
*x a b
admettent une solution unique, respectivement
1*x a b
et
1
*x b a
. Les application
*x a x
et
*x a x
sont alors des bijection de
G
dans
G
.
D. Sous – groupes :
Soit
,*G
un groupe et H une partie de
G
. On dit que
H
est. Un sous groupe de
G
si :
-
H
-
H
est. Stable pour la loi * :
2
,x y H
,
*x y H
-
H
est. Stable par passage à la symétrie pour la loi * :
'
,x H x H  
(
'
x
étant le symétrique de
x
dans
G
pour la loi * ).
E. Caractérisation des sous-groupes :
Si
HG
et si
,*G
est. Un groupe , alors on a l’équivalence suivante :
H,*
est Un sous-groupe de
,*G
'
, , *
H
x y H x y H
Ou
'
y
est le symétrique de
y
dans
G
pour la loi *.
III. Morphismes de groupes :
A. Définition :
Soient
1,*G
et
2,*G
deux groupes.
Une application
f
de
1
G
dans
2
G
est. Dite un morphisme de groupes lorsque :
12
,x y G G  
:
*f x y f x f y
En particulier :
- Si
f
est Bijective, on parle d’isomorphisme.
B. Remarque :
- On à déjà signalé que l’exponentielle est. Un isomorphisme de
,
dans
*,
. On
exprime cela en disant que les groupes
,
et
*,
sont isomorphes.
- Comme pour les puissances , l’écriture
*xx
peut être notée simplement
*2
x
. De
façon générale , on appelle
iéme
n
itéré de x l’élément de
G
, noté
*n
x
définie par :

*n * *.....*x x x x
C. Proposition :
Soit
f
un morphisme de groupe
1,*G
dans
2,G
et on note
1
e
et
2
e
ses élément
neutre respectifs . on a alors les résultats suivants m
-
12
f e e
-
'
'
1,x G f x f x  
- Si
H
est. Un sous- groupe de
1,*G
, alors
fH
est Un sous – groupe de
2,G
.
- Si K est. Un sous – groupe de
2,G
, alors
1
fK
est Un sous – groupe de
1,*G
.