dm fabienne 01

Exercice n°1
f(x) = – x² – 2x + 3 g(x) =
x+3
x+1
4.
f(x)= g(x)
−x2−2x+3=x+3
x+1
(−x2−2x+3)(x+1) = x+3
−x3−x2−2x2−2x+3x+3=x+3
−x3−3x2+x+3=x+3
−x3−3x2=0
−x(x2+3x) = 0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul donc :
soit
−x=0
donc
x=0
soit
(x2+3x) = 0
donc
x(x+3) = 0
:
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul donc :
soit
x=0
soit
(x+3) = 0
donc
x= −3
L'ensemble solution est donc
S= {−3;0}
Ce qui se vérifie sur la figure
5.
Résoudre graphiquement f(x) < g(x)
D'abord, il s'agit de bien différencier les deux fonctions.
f est une fonction polynomiale de degré 2, c'est donc la parabole.
g est la fonction qui connaît une asymptote en x = – 1 , car – 1 est
une valeur interdite ( elle annule son dénominateur)
on multiplie de part et d'autre par x + 1
on développe
on regroupe les termes
on simplifie
on met – x en facteur
Ssi
Ssi
Ssi
Ssi
Ssi
Ssi

On remarque graphiquement que sur l'intervalle ] - ∞ ; - 3 [ , f(x) < g(x) .
De même, il est clair que sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ , f(x) < g(x) .
L'interrogation porte donc sur ce qui se passe dans l'intervalle ] - 3 ; 0 [ :
f(x) > g(x) jusqu'à un certain point, où g(x) prend alors des valeurs très élevées.
Ce phénomène s'explique par la présence d'une asymptote d'équation x = – 1 , due à la valeur
interdite qui annule le dénominateur x + 1
Le changement intervient donc aux alentours de x = – 1 :
–g(x) < f(x) dans ] - 3 ; -1 [
–g(x) > f(x) dans ] -1 ; 0 [
Pour conclure, l'inéquation f(x) < g(x) a donc pour ensemble solution S = ] - ∞ ; - 3 [ U ] - 1 ; + ∞ [
Exercice n°2
d(x) = – 2x + 55 f(x) =
−125
x+40
2.
a) Déterminer le prix x 0 pour lequel l'offre est égale à la demande
Il s'agit de trouver x0 tel que f(x0) = d(x0) :
f(x0)=d(x0)
−125
x0
+40=−2x0+55
−125
x0
=−2x0+15
−2x0
2+15 x0+125=0
On calcule le discriminant :
∆ =
b2−4ac
∆ =
152−4×(−2)×125
∆ =
1225
∆ > 0, donc il existe deux solutions réelles à l'équation :
soit
x0=−15−
√
1225
2×(−2)=−15−35 −4=25 2=12,5
Ssi
Ssi
Ssi

soit
x0=−15+
√
1225
2×(−2)=−15+35 −4=20 −4= −5
Or, le prix x0 recherché est compris entre 10€ et 20€, donc x0 = 12,5 .
b)
On vérifie sur le graphique que les courbes représentatives des fonctions f et d se coupent bien
en un point d’abscisse x0 = 12,5
c)
Le nombre de menus est représenté par la fonction f . Le nombre de menus associé à x0 est
donc f(x0 ) , c'est à dire f(12,5).
f(12,5) = − 125
12,5 +40 = −10+40 =30
Le nombre de menus qui assure cet équilibre est donc de 30 .