dm fabienne 01

Exercice n°1
f(x) = – x² – 2x + 3
g(x) =
x+3
x+1
4.
f ( x)= g (x )
2
−x −2x+3 =
Ssi
x+3
x +1
Ssi
(−x 2−2x+3)(x+1) = x+3
Ssi
−x 3−x 2−2x2 −2x+3x+3 = x+3
3
on multiplie de part et d'autre par x + 1
on développe
−x −3 x +x+3 = x+3
Ssi
on regroupe les termes
2
3
on simplifie
2
Ssi
−x −3 x = 0
Ssi
−x ( x 2 +3x) = 0
on met – x en facteur
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul donc :
soit −x = 0 donc
x = 0
soit (x 2+3x) = 0 donc
x ( x+3) = 0 :
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul donc :
soit
x = 0
soit ( x+3) = 0 donc
x = −3
L'ensemble solution est donc S = {−3 ; 0}
Ce qui se vérifie sur la figure
5.
Résoudre graphiquement f(x) < g(x)
D'abord, il s'agit de bien différencier les deux fonctions.
f est une fonction polynomiale de degré 2, c'est donc la parabole.
g est la fonction qui connaît une asymptote en x = – 1 , car – 1 est
une valeur interdite ( elle annule son dénominateur)
On remarque graphiquement que sur l'intervalle ] - ∞ ; - 3 [ , f(x) < g(x) .
De même, il est clair que sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ , f(x) < g(x) .
L'interrogation porte donc sur ce qui se passe dans l'intervalle ] - 3 ; 0 [ :
f(x) > g(x) jusqu'à un certain point, où g(x) prend alors des valeurs très élevées.
Ce phénomène s'explique par la présence d'une asymptote d'équation x = – 1 , due à la valeur
interdite qui annule le dénominateur x + 1
Le changement intervient donc aux alentours de x = – 1 :
–
–
g(x) < f(x) dans ] - 3 ; -1 [
g(x) > f(x) dans ] -1 ; 0 [
Pour conclure, l'inéquation f(x) < g(x) a donc pour ensemble solution S = ] - ∞ ; - 3 [ U ] - 1 ; + ∞ [
Exercice n°2
d(x) = – 2x + 55
f(x) = −
125
+40
x
2.
a) Déterminer le prix x0 pour lequel l'offre est égale à la demande
Il s'agit de trouver x0 tel que f(x0) = d(x0) :
f (x 0 )=d ( x 0)
Ssi
−
Ssi
Ssi
125
+40=−2 x 0+55
x0
−
125
=−2 x 0+15
x0
−2 x 20 +15 x 0+125=0
On calcule le discriminant :
∆ = b 2−4 ac
∆ = 152−4×(−2)×125
∆ = 1225
∆ > 0, donc il existe deux solutions réelles à l'équation :
soit
x0 =
−15−√1225
−15−35
25
=
=
= 12,5
2×(−2)
−4
2
soit
x0 =
−15+√ 1225
−15+35
20
=
=
= −5
2×(−2)
−4
−4
Or, le prix x0 recherché est compris entre 10€ et 20€, donc x0 = 12,5 .
b)
On vérifie sur le graphique que les courbes représentatives des fonctions f et d se coupent bien
en un point d’abscisse x0 = 12,5
c)
Le nombre de menus est représenté par la fonction f . Le nombre de menus associé à x0 est
donc f(x0 ) , c'est à dire f(12,5).
f (12,5) = −
125
+40 = −10+40 = 30
12,5
Le nombre de menus qui assure cet équilibre est donc de 30 .