Encadrés des chapitres 4, 5, 22 et 23 par Marie Baudart

Représentation
graphique
Théorème des valeurs
intermédiaires.
(2 encadrés différents)
• f étant une fonction continue dans [a b],
tout réel compris entre f(a) et f(b) est l’image d’au
moins un réel compris entre a et b.
• F étant le graphique d’une fonction f continue
dans [a b],
toute parallèle à l’axe des abscisses dont l’ordonnée
est comprise entre f(a) et f(b) coupe F en au moins
un point.
L’image d’un intervalle fermé…
• L’image d’un intervalle fermé par une
fonction continue est un intervalle fermé.
Théorème des accroissements
finis de Lagrange.
• Si f est une fonction continue dans [a b] et
dérivable dans ]a b[,
f(b) f(a)
alors  c  ]a b[ : f´(c) = ba
Théorème de Rolle.
• Si f est une fonction continue dans [a b],
dérivable dans ]a b[ et telle que f(a) = f(b)
alors  c  ]a b[ : f´(c) = 0.
Fonction croissante. (2 encadrés)
• l étant un intervalle où la fonction f est
définie,
f est une fonction croissante dans l
ssi  x1, x2  l : f(x 2)-f(x 1)  0
x2-x1
(x1  x2)
• f étant une fonction dérivable dans
l’intervalle l,
f est croissante dans l
ssi f´ est positive dans l
ssi  x  l : f’(x)  0.
Fonction décroissante. (2 encadrés)
• l étant un intervalle où la fonction f est
définie,
f est une fonction décroissante dans l
ssi  x1, x2  l : f(x 2)-f(x 1)  0
x2-x1
(x1  x2)
• f étant une fonction dérivable dans
l’intervalle l,
f est décroissante dans l
ssi f´ est négative dans l
ssi  x  l : f’(x)  0.
2 définitions de maximum.
• f a un maximum en c
ssi f´ change de signe en c en passant de valeurs
positives à des valeurs négatives.
• f étant une fonction dérivable dans un
intervalle ouvert comprenant c, f a un
maximum en c
ssi f´ change de signe en s’annulant en c en
passant de valeurs positives à des valeurs
négatives.
2 définitions de minimum.
• f a un minimum en c
ssi f´ change de signe en c en passant de valeurs
négatives à des valeurs positives.
• f étant une fonction dérivable dans un
intervalle ouvert comprenant c, f a un
minimum en c
ssi f´ change de signe en s’annulant en c en
passant de valeurs négatives à des valeurs
positives.
Définition de concavité.
• F étant une fonction dérivable deux fois dans
l’intervalle l
*dans l, le graphique de f(x) tourne sa
concavité vers le haut
ssi f´ est croissante dans l
ssi f´´ est positive en tout élément de l.
*dans l, le graphique de f(x) tourne sa
concavité vers le bas
ssi f´est décroissante dans l
ssi f´´ est négative en tout élément de l.
Point d’inflexion (avec le mot
« tangente »).
• Le graphique F de la fonction f a un point
d’inflexion l ssi
1) F a une tangente en l et
2) la concavité de F change de sens en l.
Point d’inflexion (sans le mot
« tangente »).
• Le graphique de f a un point d’inflexion
d’abscisse c ssi
1) f est dérivable en c ou bien lim- f´et lim+ f´
c
c
sont infinis
1) f´´ change de signe en c.
Probabilité
La catégorie d’épreuve…
• La catégorie d’épreuve d’un phénomène
aléatoire est l’ensemble de tous ses résultats
possibles.
Un événement…
• Un événement d’un phénomène aléatoire est
une partie de sa catégorie d’épreuve.
Axiomes de Kolmogorov.
E = catégorie d’épreuve
A  E et B  E
• 0  pr (A)  1
Axiomes de Kolmogorov
• La probabilité d’un événement
est un nombre positif inférieur ou
égal à 1.
• A et B étant disjoints
• La probabilité de la réunion de
pr (A  B) = pr (A) + pr (B) deux événements disjoints est la
somme des probabilités de ces
événements.
• pr (E) = 1
• La probabilité de la catégorie
d’épreuve est 1.