Logique – résumé du cours Cours de Licence de Sciences du Langage (L2) Alain Lecomte – Professeur, Université Paris 8 2 – Algèbre de Boole (suite) Les symboles usuels, pour remplacer + et . sont ceux de l’union (∪) et de l’intersection (∩). Le complémentaire d’une classe A sera noté A . 1 sera remplacé par U (« l’univers ») et 0 par ∅ (« la classe vide »). On admet les propriétés suivantes (axiomes). 2.1 Axiomes • • • • • • • (i) [commutativité] pour tout x et tout y: x∩y=y∩x;x∪y= y∪x (ii) [associativité] pour tout x, tout y et tout z: x ∩ (y ∩ z) = (x ∩ y) ∩ z ; x ∪ (y ∪ z) = (x ∪ y) ∪ z (iii) [idempotence] pour tout x, x ∪ x = x et x ∩ x = x (iv) [éléments neutres] ∅ élément neutre pour ∪, U élément neutre pour ∩ (v) [éléments absorbants] ∅ élément aborbant pour ∩, U élément absorbant pour ∪ (vi) [distributivité] pour tout x, tout y et tout z, x ∩ (y ∪ z) = (x ∩ y) ∪ (x ∩ z) (vii) [complémentation] pour tout x, il existe x tel que: x ∪ x = U; x ∩ x = ∅ 2.2 Théorèmes Unicité du complémentaire : pour tout x, x est déterminé de manière unique. Démonstration : soit x’ possédant les mêmes propriétés, c'est-à-dire : x ∪ x’= U et x ∩ x’ = ∅, alors on aurait : x’ = x’ ∩ U = x’ ∩ (x ∪ x ) = (distributivité) (x’ ∩ x) ∪ (x’ ∩ x ) = ∅ ∪ (x’ ∩ x ) = (x ∩ x ) ∪ (x’ ∩ x ) = (x ∪ x’) ∩ x = U ∩ x = x Donc x’ est nécessairement égal à x ‘d’où l’unicité). Lois d’absorption : x ∪ (x ∩ y) = x Démonstration : x ∪ (x ∩ y) = (x ∩ U) ∪ (x ∩ y) = x ∩ (U ∪ y) = x ∩ U = x De même : x ∩ (x ∪ y) = x car : x ∩ (x ∪ y) = (distributivité) (x ∩ x) ∪ (x ∩ y) = x ∪ (x ∩ y) (on retombe sur le cas précédent). Deuxième forme de distributivité : x ∪ (y ∩ z) = (x ∪ y) ∩ (x ∪z) Partons de la droite : (x ∪ y) ∩ (x ∪ z) = ((x ∪ y) ∩ x) ∪ ((x ∪ y) ∩ z) = x ∪ ((x ∪ y) ∩ z) = x ∪ ((x ∩ z) ∪ (y ∩ z) ) = (x ∪ (x ∩ z)) ∪ (y ∩ z) = x ∪ (y ∩ z) Lois de De Morgan Pour tout x et tout y: x∪ y = x∩ y et x ∩ y = x ∪ y solution: il faut utiliser l’unicité du complémentaire. Pour cela, démontrer que: ( x ∩ y ) ∪ ( x ∪ y ) = U et ( x ∩ y ) ∩ ( x ∪ y ) = ∅ DUALITE : On remarque que si, dans un théorème donné, on remplace ∪ par ∩, ∩ par ∪, U par ∅ et ∅ par U, on obtient encore un théorème ! Définition de l’inclusion : On pose x ⊂ y =def {x = (x ∩ y)} Noter qu’on a aussi dans ce cas : x ∩ y = ∅ ainsi que y = (x ∪ y) Algèbre de Boole particulière On remarque qu’on peut avoir une structure d’algèbre de Boole avec seulement deux éléments : 1 et 0. On définit alors la somme de deux « quantités » x et y (analogues à des nombres qui ne pourraient prendre pour valeur que 0 ou 1) par : + x: 0 1 y: . x: 0 1 y: 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 et le produit : et le complémentaire : x: 0 ~x : 1 1 0 ∅ est remplacé par la constante 0 et U par 1. On vérifie facilement que tous les axiomes sont valides. Dans le chapitre suivant, x, y, … seront identifiées à des propositions.