Logique – résumé du cours

Logique – résumé du cours
Cours de Licence de Sciences du Langage (L2)
Alain Lecomte – Professeur, Université Paris 8
2 – Algèbre de Boole (suite)
Les symboles usuels, pour remplacer + et . sont ceux de l’union (∪) et de l’intersection (∩).
Le complémentaire d’une classe A sera noté
A
. 1 sera remplacé par U (« l’univers ») et 0 par
∅ (« la classe vide »). On admet les propriétés suivantes (axiomes).
2.1 Axiomes
• (i) [commutativité] pour tout x et tout y:
x ∩ y = y ∩ x ; x ∪ y = y ∪ x
• (ii) [associativité] pour tout x, tout y et tout z:
x ∩ (y ∩ z) = (x ∩ y) ∩ z ; x ∪ (y ∪ z) = (x ∪ y) ∪ z
• (iii) [idempotence] pour tout x, x ∪ x = x et x ∩ x = x
• (iv) [éléments neutres] ∅ élément neutre pour ∪, U élément neutre pour ∩
• (v) [éléments absorbants] ∅ élément aborbant pour ∩, U élément absorbant pour ∪
• (vi) [distributivité] pour tout x, tout y et tout z,
x ∩ (y ∪ z) = (x ∩ y) ∪ (x ∩ z)
• (vii) [complémentation] pour tout x, il existe x tel que:
x ∪ x = U; x ∩ x = ∅
2.2 Théorèmes
Unicité du complémentaire : pour tout x, x est déterminé de manière unique.
Démonstration : soit x’ possédant les mêmes propriétés, c'est-à-dire : x ∪ x’= U et x ∩ x’ =
∅, alors on aurait :
x’ = x’ ∩ U = x’ ∩ (x ∪ x) = (distributivité) (x’ ∩ x) ∪ (x’ ∩ x) = ∅ ∪ (x’ ∩ x) = (x ∩ x)
∪ (x’ ∩ x) = (x ∪ x’) ∩ x = U ∩ x = x
Donc x’ est nécessairement égal à x ‘d’où l’unicité).
Lois d’absorption :
x ∪ (x ∩ y) = x
Démonstration : x ∪ (x ∩ y) = (x ∩ U) ∪ (x ∩ y) = x ∩ (U ∪ y) = x ∩ U = x
De même :
x ∩ (x ∪ y) = x
car : x ∩ (x ∪ y) = (distributivité) (x ∩ x) ∪ (x ∩ y) = x ∪ (x ∩ y) (on retombe sur le cas
précédent).
Deuxième forme de distributivité :
x ∪ (y ∩ z) = (x ∪ y) ∩ (x ∪z)
Partons de la droite :

(x ∪ y) ∩ (x ∪ z) = ((x ∪ y) ∩ x) ∪ ((x ∪ y) ∩ z) = x ∪ ((x ∪ y) ∩ z) = x ∪ ((x ∩ z) ∪ (y ∩
z) ) = (x ∪ (x ∩ z)) ∪ (y ∩ z) = x ∪ (y ∩ z)
Lois de De Morgan
Pour tout x et tout y:
yxyx ∩=∪
et yxyx ∪=∩
solution: il faut utiliser l’unicité du complémentaire. Pour cela, démontrer que:
Uyxyx =∪∪∩ )()( et =∪∩∩ )()( yxyx ∅
DUALITE :
On remarque que si, dans un théorème donné, on remplace ∪ par ∩, ∩ par ∪, U par ∅
et ∅ par U, on obtient encore un théorème !
Définition de l’inclusion :
On pose x ⊂ y =def {x = (x ∩ y)}
Noter qu’on a aussi dans ce cas : =∩ yx ∅ ainsi que y = (x ∪ y)
Algèbre de Boole particulière
On remarque qu’on peut avoir une structure d’algèbre de Boole avec seulement deux
éléments : 1 et 0. On définit alors la somme de deux « quantités » x et y (analogues à des
nombres qui ne pourraient prendre pour valeur que 0 ou 1) par :
+ y : 0 1
x :
0 0 1
1 1 1
et le produit :
. y : 0 1
x :
0 0 0
1 0 1
et le complémentaire :
x : 0 1
~x : 1 0
∅ est remplacé par la constante 0 et U par 1. On vérifie facilement que tous les axiomes sont
valides. Dans le chapitre suivant, x, y, … seront identifiées à des propositions.