I a/ Soit A un anneau commutatif. Montrer que A admet des éléments

I a/ Soit A un anneau commutatif. Montrer que A admet des éléments idempotents (i.e a2 = a) différents de
0 et de 1 ssi A est isomorphe à B
× C où B et C sont deux anneaux non nuls (indication : si a est un tel
élément alors (1 – a)2 = 1 – a; considérer l’application ϕ de A dans A ×(1 – a)A qui à u associe (au; (1 – a)u)
et montrer que c’est un isomorphisme d’anneaux).
b/ Soit l’anneau des fonctions continues de X dans
r . Montrer que C(X; r ) admet des nilpotents différents
de O et de 1 ssi X est non connexe (indication : X non connexe ssi il existe une fonction continue non
constante de X dans {0; 1}).
a/ Condition nécessaire : claire car si A est de la forme B
× C on a (1, 0)2 = (1, 0).
Condition suffisante : soit a un élément idempotent et considérons l'application ϕ de A dans aA×(1 – a)A qui à x
associe (ax, (1 – a)x). On a, pour tous éléments x et y de A, ϕ (x + y) = ϕ (x) + ϕ (y) et ϕ (x.y) = (a2xy, (1 – a)2xy) = (axy,
(1 – a)xy), car a2 = a et (1 – a)2 = 1 + a2 – 2a = 1 + a – 2a = 1 – a. De plus
ϕ (1) = (a, 1 – a) pour tout élément (ax, (1 –
a)x) de aA×(1 – a)A : (a, 1 – a). (ax, (1 – a)x) = (a2x, (1 – a)2x) = (ax, (1 – a)x) = (ax, (1 – a)x).(a, 1 – a), donc (a, 1 –
a) est l'élément neutre pour la multiplication. Ainsi
ϕ est un endomorphisme d'anneaux de A dans aA×(1 – a)A.
D'autre part, pour x ∈ A :
ϕ (x) = (0, 0) ssi ax = (1 – a)x = 0, d'où x = 0 donc ϕ est injective. Enfin si (ax, (1 –
a)y) ∈ aA×(1 – a)A on a
ϕ (ax + (1 – a)y) = (a2x + a(1 – a)y, (1 – a)ax + (1 – a)2y) = (ax, (1 – a)y) donc ϕ est
surjective.
b/ Soit f une fonction de C(X;
r ) idempotente et différente de 0 et de 1. Cela équivaut à f.(1 – f)= 0, i.e. f est une
fonction continue à valeurs dans {0, 1} non constante ce qui équivaut à X non connexe.