ES1 Spé janvier 2009 Corrigé A1 Conductivité d’un métal A11 Conductivité statique a) En appliquant une tension entre deux points du conducteur. m dv dv soit v qE m dt dt c) La résolution donne, compte tenu des conditions initiales : b) PFD : f F m t q E q E ( 1 e ) ; vitesse limite en régime permanent : v o m m est le temps de relaxation, caractéristique d’atteinte de la vitesse limite. 1 Lorsque t = , v vo ( 1 ) 0,63vo e v d) jo E vo nqvo en A.m-2 e) j o E v o nqv o nq 2 ne 2 E d’où 3,7.107 S.m 1 m m A12 Conductivité dynamique a) L’équation différentielle vérifiée par la vitesse s’écrit, en formalisme complexe, j dv 1 q q j 1 1 v E v( i ) ( i ) dt m m nq On en déduit b) nq 2 m( 1 ) 2 2 1 2 nq2 m( 1 i ) diminue quand augmente. nq 2 on retrouve l’expression du régime permanent m Haute fréquence : 0 Allure de en fonction de la pulsation : Basse fréquence : max La pulsation de coupure c est telle que D’où c 1 max 2 , soit nq 2 m( 1 c ) 2 2 1 2 nq 2 m 2 1,38.1014 rad .s 1 A2 Effet de peau A21 Equations de Maxwell rotE a) B t rotB o ( j o divE 0 E ) t divB 0 si o alors rotB o j , ce qui revient à négliger le courant de déplacement par rapport au courant de conduction dans le métal. b) ARQS c) Pas de courant surfacique puisqu’il y a pénétration de l’onde électromagnétique dans le métal, c’est-à-dire diminution progressive de la densité volumique de courant. La relation de discontinuité du champ magnétique s’écrirait, en présence d’une densité surfacique de courant : B2 B1 o j s n12 Le champ magnétique est donc ici continu en z = 0. A22 Onde transmise a) rotE D’où B d’où rotrotE rotB grad( divE ) E o j t t t 2 E E o 0 avec l’onde transmise telle que E t f ( z )eit u x 2 z t On en déduit l’équation différentielle : 2 f z 2 io f 0 b) La solution générale de cette équation est i o avec e 4 o ( 1 i ) 2 f ( z ) f 1e z f 2e z le champ électrique ne pouvant diverger dans le métal, on a f 2 0 et la solution se ramène à f ( z ) f 1e z la continuité du champ électrique en z = 0 entraîne f 1 Eto z d’où E t ( z,t ) Etoe e z i( t ) u x avec 2 o Le champ électrique est la partie réelle de l’expression complexe : z z E t ( z,t ) Et ,o exp( )cos( t )u x a la dimension d’une longueur. C’est l’épaisseur de peau. AN 8,27.105 m A23 Discussion a) diminue quand augmente. Pour un conducteur parfait, et 0 z b) E t ( z,t ) Etoe e z i( t ) u x Etoei( t kz ) u x ; en posant k k' ik'' l’identification des parties réelles et imaginaires donne k ' 1 et k'' 1 A3 Rappels sur le solénoïde long A31 Bobine en régime continu a) B o ni o N i D b) Flux propre : p BSN o N2 N2 2 i r 2 Li d’où L o r D D N r' 2 r' 2 N ' i Mi d’où M o avec NN' D D d) Résultats non modifiés dans l’ARQS c) BS' N ' o A32 Bobine en régime variable di dt En régime sinusoïdal permanent établi : e ( R RG )i iLi a) La loi des branches donne e ( R RG )i L D’où i( t ) Em cos( t ) ( R RG ) L 2 2 2 et tan e L R RG R RG UL iL c b) avec c L U e R RG iL 1 i c i On peut par ailleurs poser x H ix 1 ix la fonction de transfert s’écrit alors c et GdB 20 log H ; il s’agit d’un filtre passe haut. B_1/ A faible fréquence Bint et Bext sont très proches puis si f augmente Bint décroit . Eint est à faible et a haute fréquence très faible devant Eext . A 106Hz on obtint un max pour EdB. B_2 / rot E B t d E.dl dt B.dS et 2 E int L i Bint S 2 B_3/ BF : Eint tend vers 0 et Bint vers BO à basses fréquences. B_4/ Bint LBO L (O hS ) 2 2 soit c L AN C 358 rad.s_1 soit fc=57 Hz O hS B-5/ Les allures sont semblables mais avec des valeurs numériques distinctes. C_1_1/ Jusqu’à 10 3Hz la tension induite U1,eff augmentent f, avec ou sans blindage. Sur le deuxième graphe on voit que le rapport des tensions est égal à 1. Ensuite les comportements diffèrent avec une tension efficace qui n’évolue plus lorsque la fréquence augmente (A), et une tension efficace qui diminue avec f dans le cas du blindage. C_1_2 / 8.104 m , l’effet de peau n’est pas en cause à cette fréquence. A plus haute fréquence (calcul déjà effectué pour 1MHz) l’effet de peau existe. C_1_3/ U1,eff , A iM C_1_4/ d dt EM ( R RG ) ( L ) 2 U1,eff , C_2_1/a) EG 2 d ( O N2 I 2 N1 r12 ) N D i I M O 2 N1 r12 dt D on obtient donc c R RG NN , K1= O r12 1 2 et K=L L D 0si 0 , C 620rad .s 1 rot E B t , B est porté par l’axe 0z et l’étude des invariances montre que E(r). D’où l’expression des courants dans un matériau ou la loi d’Ohm locale s’applique b) La modélisation des courants est volumique ce qui exclu la modélisation surfacique. Les champs sont donc continus en rc et rc+ : rot E B t , d ( Bint (rc )2 ) 1 , j i Bint (rc ) * 2 (rc ) 2 dt j c) Dans ce cas on peut écrire js=jh donc d) Bext Bint iO h c 2 O hrc d E.dl dt B.dS soit h rc 2 rc B r Bint e er ext 1 O i h c 2 Bint 2