Corrigé

ES1 Spé janvier 2009 Corrigé
A1 Conductivité d’un métal
A11 Conductivité statique
a) En appliquant une tension entre deux points du conducteur.
b) PFD :
dv
f F m dt
soit
m dv
v qE m dt
c) La résolution donne, compte tenu des conditions initiales :
t
qE
v (1 e )
m
; vitesse limite en régime permanent :
oqE
vm
est le temps de relaxation, caractéristique d’atteinte de la vitesse limite.
Lorsque t = ,
oo
1
v v (1 ) 0,63v
e
d)
oo
o
j E v nqv
en A.m-2
e)
2
oo
onq
j E v nqv E
m
d’où
271
ne 3,7.10 S.m
m
A12 Conductivité dynamique
a) L’équation différentielle vérifiée par la vitesse s’écrit, en formalisme complexe,
jj
dv 1 q q 1 1
v E v(i ) (i )
dt m m nq
On en déduit
2
nq
m(1 i )
b)
2
1
222
nq
m(1 )
diminue quand augmente.
Basse fréquence :
2
nq
m
on retrouve l’expression du régime permanent
Haute fréquence : 0
Allure de en fonction de la pulsation :

La pulsation de coupure
c
est telle que
max
2
, soit
22
1
222
c
nq nq
m2
m(1 )
D’où
14 1
c11,38.10 rad.s
A2 Effet de peau
A21 Equations de Maxwell
a)
oo
B
rotE divE 0
t
E
rotB ( j ) divB 0
t
si
o
alors
o
rotB j
, ce qui revient à négliger le courant de
déplacement par rapport au courant de conduction dans le métal.
b) ARQS
c) Pas de courant surfacique puisqu’il y a pénétration de l’onde électromagnétique
dans le métal, c’est-à-dire diminution progressive de la densité volumique de
courant.
La relation de discontinuité du champ magnétique s’écrirait, en présence d’une
densité surfacique de courant :
21 12
os
B B j n
Le champ magnétique est donc ici continu en z = 0.
A22 Onde transmise
a)
B
rotE t
d’où
o
rotrotE rotB grad(divE ) E j
tt
D’où
2
o
2
EE
0
zt
avec l’onde transmise telle que
it x
t
E f( z)e u
On en déduit l’équation différentielle :
2
o
2
fi f 0
z
max

b) La solution générale de cette équation est
zz
12
f( z) f e f e
avec
io
4o
e (1 i) 2
le champ électrique ne pouvant diverger
dans le métal, on a
2
f0
et la solution se ramène à
z
1
f ( z ) f e
la continuité du champ électrique en z = 0 entraîne
to
1
fE
d’où
zz
i( t ) x
tto
E ( z,t ) E e e u
avec
o
2
Le champ électrique est la partie réelle de l’expression complexe :
tx
t,o zz
E ( z,t ) E exp( )cos( t )u
a la dimension d’une longueur. C’est l’épaisseur de peau.
AN
5
8,27.10 m
A23 Discussion
a) diminue quand augmente.
Pour un conducteur parfait, et
0
b)
zz
i( t ) i( t kz )
xx
tto to
E ( z,t ) E e e u E e u
; en posant
k k' ik''
l’identification
des parties réelles et imaginaires donne
1
k'
et
1
k''
A3 Rappels sur le solénoïde long
A31 Bobine en régime continu
a)
oo
N
B ni i
D
b) Flux propre :
22
po
N
BSN i r Li
D
d’où
22
oN
Lr
D
c)
2
oN
BS' N' r' N'i Mi
D
d’où
2
or'
MD
avec
NN'
d) Résultats non modifiés dans l’ARQS
A32 Bobine en régime variable
a) La loi des branches donne
Gdi
e ( R R )i L dt
En régime sinusoïdal permanent établi :
G
e ( R R )i iL i
D’où
m
2 2 2
G
E cos( t )
i(t ) ( R R ) L
et
eG
L
tan RR

b)
Lc
eG
c
i
U iL
U R R iL 1i
avec
G
cRR
L
On peut par ailleurs poser
c
x
la fonction de transfert s’écrit alors
ix
H1 ix
et
dB
G 20log H
; il s’agit d’un filtre passe haut.
B_1/ A faible fréquence Bint et Bext sont très proches puis si f augmente Bint décroit .
Eint est à faible et a haute fréquence très faible devant Eext . A 106Hz on obtint un max pour EdB.
B_2 /
B
rotE t
..
d
Edl B dS
dt
et
int int
22
L
E i B S
B_3/ BF : Eint tend vers 0 et Bint vers BO à basses fréquences.
B_4/
int 22
()
O
O
LB
B soit
L hS
cO
LhS
AN
358
C
rad.s_1 soit fc=57 Hz
B-5/ Les allures sont semblables mais avec des valeurs numériques distinctes.
C_1_1/ Jusqu’à 10 3Hz la tension induite U1,eff augmentent f, avec ou sans blindage. Sur le deuxième
graphe on voit que le rapport des tensions est égal à 1.
Ensuite les comportements diffèrent avec une tension efficace qui n’évolue plus lorsque la fréquence
augmente (A), et une tension efficace qui diminue avec f dans le cas du blindage.
C_1_2 /
4
8.10 m
, l’effet de peau n’est pas en cause à cette fréquence. A plus haute fréquence
(calcul déjà effectué pour 1MHz) l’effet de peau existe.
C_1_3/
2
22 1 1 2
2
1, , 1 1
()
O
eff A M O
N
d I N r N
dD
U i I N r
dt dt D
22
( ) ( )
M
M
G
E
iR R L
on obtient donc
,
G
cRR
L
K1=
O
212
1NN
rD
et K=L
C_1_4/
1, , 00 eff
G
Usi
E
,
1
620 .
Crad s
C_2_1/a)
B
rotE t
, B est porté par l’axe 0z et l’étude des invariances montre que E(r).

D’où l’expression des courants dans un matériau ou la loi d’Ohm locale s’applique
b) La modélisation des courants est volumique ce qui exclu la modélisation surfacique. Les champs
sont donc continus en rc et rc+ :
B
rotE t
,
..
d
Edl B dS
dt
soit
2
int
( ( ) )
2 ( ) c
cd B r
jrdt
,
int 1
( )* 2
c
j i B r
c) Dans ce cas on peut écrire js=jh donc
2c
hr
d)
int int
2
c
ext O r
r
B B i h B e e
int
12
ext c
O
Br
ih
B
2
cOc
hr