Corrigé

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ES1
Spé
janvier 2009
Corrigé
A1 Conductivité d’un métal
A11 Conductivité statique
a) En appliquant une tension entre deux points du conducteur.
m
dv
dv
soit  v  qE  m

dt
dt
c) La résolution donne, compte tenu des conditions initiales :
b) PFD :
f F m
t

q E
q E
( 1  e  ) ; vitesse limite en régime permanent : v o 
m
m
 est le temps de relaxation, caractéristique d’atteinte de la vitesse limite.
1
Lorsque t =  , v  vo ( 1  )  0,63vo
e
v
d)
jo   E   vo  nqvo
en A.m-2
e)
j o   E   v o  nqv o 
nq 2
ne 2
E d’où  
 3,7.107 S.m 1
m
m
A12 Conductivité dynamique
a) L’équation différentielle vérifiée par la vitesse s’écrit, en formalisme complexe,
j
dv 1
q
q j
1
1
 v E
 v( i  )  ( i  )
dt 
m
m

nq

On en déduit  
b)  
nq 2
m( 1    )
2 2
1
2
nq2
m( 1  i )
 diminue quand  augmente.
nq 2
on retrouve l’expression du régime permanent
m
Haute fréquence :   0
Allure de  en fonction de la pulsation :
Basse fréquence :  

 max

La pulsation de coupure  c est telle que  
D’où  c 
1

 max
2
, soit
nq 2
m( 1   c  )
2 2
1
2

nq 2
m 2
 1,38.1014 rad .s 1
A2 Effet de peau
A21 Equations de Maxwell
rotE  
a)
B
t
rotB  o ( j   o
divE  0
E
)
t
divB  0
si    o alors rotB  o j , ce qui revient à négliger le courant de
déplacement par rapport au courant de conduction dans le métal.
b) ARQS
c) Pas de courant surfacique puisqu’il y a pénétration de l’onde électromagnétique
dans le métal, c’est-à-dire diminution progressive de la densité volumique de
courant.
La relation de discontinuité du champ magnétique s’écrirait, en présence d’une
densité surfacique de courant : B2  B1  o j s  n12
Le champ magnétique est donc ici continu en z = 0.
A22 Onde transmise
a) rotE  
D’où


B
d’où rotrotE   rotB  grad( divE )   E   o j
t
t
t
2 E
E
 o
 0 avec l’onde transmise telle que E t  f ( z )eit u x
2
z
t
On en déduit l’équation différentielle :
2 f
z 2
 io f  0
b) La solution générale de cette équation est
i

o
avec   e 4 o  ( 1  i )
2
f ( z )  f 1e z  f 2e z
le champ électrique ne pouvant diverger
dans le métal, on a f 2  0 et la solution se ramène à
f ( z )  f 1e  z
la continuité du champ électrique en z = 0 entraîne f 1  Eto

z
d’où E t ( z,t )  Etoe e

z
i( t  )

u x avec
2

o
Le champ électrique est la partie réelle de l’expression complexe :
z
z
E t ( z,t )  Et ,o exp(  )cos( t  )u x


 a la dimension d’une longueur. C’est l’épaisseur de peau.
AN
  8,27.105 m
A23 Discussion
a)  diminue quand  augmente.
Pour un conducteur parfait,    et   0

z
b) E t ( z,t )  Etoe  e
z
i( t  )

u x  Etoei( t kz ) u x ; en posant k  k'  ik'' l’identification
des parties réelles et imaginaires donne k ' 
1

et k''  
1

A3 Rappels sur le solénoïde long
A31 Bobine en régime continu
a) B  o ni  o
N
i
D
b) Flux propre :  p  BSN  o
N2
N2 2
i r 2  Li d’où L  o
r
D
D
N
 r' 2
 r' 2 N ' i  Mi d’où M  o
avec   NN'
D
D
d) Résultats non modifiés dans l’ARQS
c)   BS' N '  o
A32 Bobine en régime variable
di
dt
En régime sinusoïdal permanent établi : e  ( R  RG )i  iLi
a) La loi des branches donne e  ( R  RG )i  L
D’où i( t ) 
Em cos( t )
( R  RG )  L 
2
2
2
et tan  e 
L
R  RG

R  RG
UL
iL
c
b)
avec c 


L
U e R  RG  iL 1  i 
c
i
On peut par ailleurs poser x 
H
ix
1  ix

la fonction de transfert s’écrit alors
c
et GdB  20 log H ; il s’agit d’un filtre passe haut.
B_1/ A faible fréquence Bint et Bext sont très proches puis si f augmente Bint décroit .
Eint est à faible et a haute fréquence très faible devant Eext . A 106Hz on obtint un max pour EdB.
B_2 /
rot E  
B
t 
d
 E.dl   dt  B.dS et 2 E
int
L
 i Bint S
2
B_3/ BF : Eint tend vers 0 et Bint vers BO à basses fréquences.
B_4/ Bint 
LBO
L  (O hS )
2
2
soit c 
L
AN C  358 rad.s_1 soit fc=57 Hz
O hS
B-5/ Les allures sont semblables mais avec des valeurs numériques distinctes.
C_1_1/ Jusqu’à 10 3Hz la tension induite U1,eff augmentent f, avec ou sans blindage. Sur le deuxième
graphe on voit que le rapport des tensions est égal à 1.
Ensuite les comportements diffèrent avec une tension efficace qui n’évolue plus lorsque la fréquence
augmente (A), et une tension efficace qui diminue avec f dans le cas du blindage.
C_1_2 /   8.104 m , l’effet de peau n’est pas en cause à cette fréquence. A plus haute fréquence
(calcul déjà effectué pour 1MHz) l’effet de peau existe.
C_1_3/ U1,eff , A
iM 
C_1_4/
d


dt
EM
( R  RG )  ( L )
2
U1,eff ,
C_2_1/a)
EG
2
d ( O
N2
I 2 N1 r12 )
N
D
 i I M O 2 N1 r12
dt
D
on obtient donc c 
R  RG
NN
, K1= O  r12 1 2 et K=L
L
D
 0si  0 , C  620rad .s 1
rot E  
B
t , B est porté par l’axe 0z et l’étude des invariances montre que E(r).
D’où l’expression des courants dans un matériau ou la loi d’Ohm locale s’applique
b) La modélisation des courants est volumique ce qui exclu la modélisation surfacique. Les champs
sont donc continus en rc et rc+  :
rot E  
B
t , 
d ( Bint (rc   )2 )
1
, j  i Bint (rc   ) *
2 (rc   )  
2

dt
j
c) Dans ce cas on peut écrire js=jh donc  
d) Bext  Bint  iO h
c 
2
O hrc
d
 E.dl   dt  B.dS soit
h
rc
2
rc
B
r
Bint e  er  ext  1  O i h c
2
Bint
2
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